高三数学二轮复习教案专题二第1讲三角函数的图像与性质

专题二 三角函数、解三角形、平面向量

第1讲 三角函数的图象与性质

自主学习导引

真题感悟

1．(·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是

解析 利用三角函数的图象与变换求解．

结合选项可知应选A. 答案 A

2．(·湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sinωx,23cos ωx)，设函数f(x)

?1?＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈?，1?. ?2?

(1)求函数f(x)的最小正周期；

?π??3π?上的取值范围．

(2)若y＝f(x)的图象经过点?，0?，求函数f(x)在区间?0，

5??4???

解析 (1)因为f(x)＝sinωx－cosωx＋23sin ωx·

cos ωx＋λ

π??＝－cos 2ωx＋3sin 2ωx＋λ＝2sin?2ωx－?＋λ. 6??

由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，

π??可得sin?2ωπ－?＝±1. 6??

ππk1

所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即 ω＝＋(k∈Z)．

6223

5?1?又 ω∈?，1?，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 6?2?

6π

所以f(x)的最小正周期是.

5?π??π?(2)由y＝f(x)的图象过点?，0?，得f??＝0， ?4??4?

2

2

π?5ππ?即λ＝－2sin?×－?＝－2sin＝－2. 4?626?

?5π?即λ＝－2，故f(x)＝2sin?x－?－2.

6??3

3ππ5π5π

由0≤x≤，有－≤x－≤，

563661? 5π?所以－≤sin?x－?≤1，

6?2?3

?5π?得－1－2≤2sin?x－?－2≤2－2，

6??33π

故函数f(x)在[0，]上的取值范围为[－1－2，2－2]．

5

考题分析

本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，去求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下．

网络构建

高频考点突破

考点一：三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用

【例1】(·北京东城模拟)在平面直角坐标系xOy中，将点A(1，3)绕原点O顺时针旋转90°到点B，那么点B的坐标为________；若直线OB的倾斜角为α，则sin 2α的值为________． [审题导引] 根据三角函数的定义求出点B的坐标，进而求出角α，可求sin 2α.

[规范解答] 如图所示， ∵点A的坐标为(3，1)，

∴∠AOx＝60°，又∠AOB＝90°，∴∠BOx＝30°， 过B作BC⊥x轴于C， ∵OB＝2，

∴OC＝3，BC＝1，

∴点B的坐标为(3，－1)，

5π5π

则直线OB的倾斜角为，即α＝，

66

∴sin 2α＝sin

5π2π3

＝－sin ＝－. 332

3

2

[答案] (3，－1) －【规律总结】

三角函数的定义与诱导公式的应用

(1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单．

(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件． 【变式训练】

1．(·惠州模拟)在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围为

5π??ππ???π??π5π??π??5π3π?A.?，?∪?π，? B.?，π? C.?，? D.?，π?∪?，? 4?4?2??42???4??4?4??4

?π5π?解析 在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x＞cos x，则x∈?，?.

4??4

答案 C

π?1?2．(·海淀一模)若tan α＝，则cos?2α＋?＝________.

4?2?

π??解析 cos?2α＋?＝－sin 2α＝－2sin αcos α 2??

12×22sin αcos α2tan α4

＝－＝－＝－＝－. 222sinα＋cosα1＋tanα5?1?2

1＋???2?

4

答案 － 5

考点二：三角函数图象变换及函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

π??【例2】(1)(·宿州模拟)函数y＝sin?2x＋?的图象可由y＝cos 2x的图象经过怎样的变换得到 3??

π

A．向左平移个单位

6

π

B．向右平移个单位

6

ππ

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

1212

?π?(2)(·泰州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f??的

?6?

值是________．

[审题导引] (1)应用诱导公式把两个函数化为同名函数，然后比较二者的差异可得；

(2)先由图象求出f(x)的周期，从而得ω的值，再由关键点求φ，由最小值求A，故得f(x)，可求f.

π??[规范解答] (1)y＝sin?2x＋? 3??

π??π??π??＝cos? －?2x＋??＝cos?2x－? 3??6???2?＝cos 2?x－

?

?

π??， 12?

π?π?故函数y＝sin?2x＋?的图象可由y＝cos 2x的图象向右平移个单位得到，故选D. 3?12?T7ππ

(2)如图所示，＝π－＝，

41234

∴T＝π.则ω＝2.

ππ又2×＋φ＝π，∴φ＝，

33又易知A＝2，

π??故f(x)＝2sin?2x＋?，

3??2π6?π?∴f??＝2sin ＝. 32?6?[答案] (1)D (2)【规律总结】

求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式及其图象变换的规律方法

(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A，由函数的周期确定ω，由图象上的关键点确定φ.

(2)一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作把曲线y＝sin ωx上所有点向左(当φ＞0时)或向右(当

?φ?φ＜0时)平移??个单位长度而得到的． ?ω?

【变式训练】

3．(·临沂模拟)若函数y＝3sin x－cos x的图象向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 πππ2πA. B. C. D. 6433

?π?解析 y＝3sin x－cos x＝2sin?x－?，函数图象向右平移m(m＞0)个单位长度，得到的函数解析式为y＝

6??

π?πππ?2sin?x－m－?，要使所得到的图象关于y轴对称，则有m＋＝＋kπ，k∈Z，即m＝＋kπ，k∈Z，所以6?623?

π

当k＝0时，m＝，选C.

3

答案 C

4．(·房山一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.

6 2

T3π5π＝π－，∴T＝， 2842π8

∴ω＝＝.

T583π3π9

又×＋φ＝，∴φ＝π. 58210

89

答案 π

510

考点三：三角函数图象与性质的综合应用

解析

【例3】(·北京东城11校联考)已知函数f(x)＝cosωx－3sin ωx·cos ωx(ω＞0)的最小正周期是π. (1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心； (2)若A为锐角△ABC的内角，求f(A)的取值范围．

[审题导引] 把f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式后求单调区间与对称中心，再根据A的范围求f(A)的取值范围．

[规范解答] (1)f(x)＝1＋cos 2ωx3

－sin 2ωx

22

2

π?1?＝cos?2ωx＋?＋，

3?2?

2π

T＝＝π，ω＝1.

2ω

π?1?f(x)＝cos?2x＋?＋， 3?2?

π

－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z，

3

2ππ－＋kπ≤x≤－＋kπ.

36

?2π＋kπ，－π＋kπ?，k∈Z，

函数f(x)的单调增区间为?－?6?3?

πππkπ

令2x＋＝＋kπ，x＝＋，

32122

πkπ1??∴对称中心为?＋，?，k∈Z. ?1222?πππ4π

(2)0＜A＜，＜2A＋＜，

2333

π?1?－1≤cos?2A＋?＜， 3?2?

π?11?－≤cos?2A＋?＋＜1， 3?22?

?1?所以f(A)的取值范围为?－，1?. ?2?

【规律总结】

三角函数性质的求解方法

(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求解．

(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期．

[易错提示] (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x的范围对最值的影响，往往结合图象求解．

(2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解． 【变式训练】

?π?5．(·朝阳模拟)已知函数f(x)＝cos?x－?.

4??

72

(1)若f(α)＝，求sin 2α的值；

10

?π??ππ?(2)设g(x)＝f(x)·f?x＋?，求函数g(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．

2???63?

π?72?解析 (1)因为f(α)＝cos?α－?＝，

4?10?所以

272

(cos α＋sin α)＝， 210

7所以cos α＋sin α＝. 5

4922

平方得，sinα＋2sin αcos α＋cosα＝，

25所以sin 2α＝

24. 25

(2)因为g(x)＝f(x)·f?x＋

??

π?? 2?

?π??π?＝cos?x－?·cos?x＋?

4?4???

22

(cos x＋sin x)·(cos x－sin x) 221122

＝(cosx－sinx)＝cos 2x. 22

?ππ??π2π?当x∈?－，?时，2x∈?－，?.

3??63??3

1

所以，当x＝0时，g(x)的最大值为；

2

π1当x＝时，g(x)的最小值为－. 34

名师押题高考

π3?π?【押题1】已知＜θ＜π，sin?＋θ?＝－，则tan(π－θ)的值为 25?2?

＝

3434

A. B. C．－ D．－ 4343

3?π??π?解析 ∵sin?＋θ?＝cos θ＝－，θ∈?，π?，

5?2??2?

44

∴sin θ＝，∴tan θ＝－，

53

4

tan(π－θ)＝－tan θ＝.

3

答案 B

[押题依据] 本题以选择题的形式考查了同角三角函数的基本关系式及诱导公式，重点突出、考查全面，题目考查内容基础性较强，符合高考的方向，故押此题．

【押题2】(·北京东城一模)已知函数f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)2－2sin22x. (1)求f(x)的最小正周期

π

(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x

8

?∈?0，?

π?

?时，求y＝g(x)的最大值和最小值． 4?

解析 (1)因为f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)－2sin2x

π??＝sin 4x＋cos 4x＝2sin?4x＋?， 4??π

所以函数f(x)的最小正周期为. 2

??π?π?(2)依题意，y＝g(x)＝2sin? 4?x－?＋?＋1

8?4???

π??＝2sin?4x－?＋1. 4??πππ3π

因为0≤x≤，所以－≤4x－≤.

4444ππ3π

当4x－＝，即x＝时，g(x)取最大值2＋1；

4216ππ

当4x－＝－，即x＝0时，g(x)取最小值0.

44

[押题依据] 将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，也是三角函数的重要内容，本题考查内容重点突出，难度适中，故押此题．

22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5vr7.html