北京市第十一学校2016届高三12月月考理数试题含解析

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.复平面内，复数

i对应的点在（ ） 1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】

i??1?i?i11????i即复数i对应的点在第二象限，选B 试题分析：由题

1?i?1?i???1?i?221?i考点：复数的运算

x????1??2.已知集合A??x|???1?，集合B??x|lgx?0?，则A?B?（ ）

????2??A．?x|x?0? B．?x|x?1? C．?x|x?1???x|x?0? D．? 【答案】A

考点：集合的运算

x2y2??1表示双曲线”的（ ） 3.“m?8”是“方程

m?10m?8A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A

考点：充要条件

4.下列函数既是奇函数，又在区间??1,1?上单调递减的是（ ） A．f?x??sinx B．f?x???x?1 C．f?x??lnD．f?x??2?x 2?x1xa?a?x?a?0,a?1? 2??【答案】C 【解析】

试题分析：A．f?x??sinx是奇函数，在区间??1,1?上单调递增；B．f?x???x?1非奇非偶；D．f?x??1xa?a?x?a?0,a?1?是偶函数，故只有C满足题意 2??考点：函数的单调性，奇偶性

5.已知圆C:?x?1???y?1??1与x轴的公共点为A，与y轴的公共点为B，设劣弧AB的

22中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（ ） A．y?x?2?2 B．y?x?1?【答案】A 【解析】

试题分析：由题意，M为直线y??x与圆的一个交点，代入圆的方程可得：

1 C．y?x?2?2 D．y?x?1?2 2?x?1?2???x?1??1由题劣弧AB的中点为M2，

?x?22?1,y?1?22，

由由已知可知过点M的圆C的切线的斜率为1，

∴过点M的圆C的切线方程是考点：圆的切线方程

y?1?22?x??122，即y?x?2?2

??????120?a6.已知平面向量a,b的夹角为，且a?b??1，则?b的最小值为（ ）

A． 1 B． 3 C． 2 D． 6 【答案】6

考点：向量的数量积，基本不等式 7.已知函数f?x?满足f?x??1?1，当x??0,1?时，f?x??x，若在区间??1,1?上方程

f?x?1?f?x??mx?m?0恰好有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（ ）

A．?0,? B．?0,? C．?0,? D．?,???

?2??2??2? ?3?【答案】A 【解析】

试题分析：设x???10，由题当x??0,1?时，，?,则?x?1??（01，）?1??1??1??1?f?x??x?（fx?1）?x?1．f?x??1??x,x??0,1??， ?（fx）??1?1,x???1,0???x?1111?f?x???1??1f?x?1?f?x?1?x?1则方程f?x??mx?m?0，化为f?x??mx?m

fx），y?m（x?1），M（，11），N（?1，0）．画出图象y?（ kMN?由题意在区间??1,1?上方程f?x??mx?m?0有两个不同的实根，

0?11?， ?1?12?0＜m?1，故选A． 2

考点：分段函数，函数的零点

【名师点睛】本题考查了方程的实数根转化为函数交点问题、函数的图象，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属中档题．解题时首先要根据已知条件写出分段函数的解析式，将问题转化为函数图像交点的问题来解决

8.正方体ABCD?A?B?C?D?的棱长为1，E,F分别是棱AA?,CC?的中点，过直线E,F的平面分别与棱BB?、DD?交于M,N，设BM?x,x??0,1?，给出以下四个命题： ①平面MENF?平面BDD?B?； ②当且仅当x?1时，四边形MENF的面积最小； 2③四边形MENF周长L?f?x?,x??0,1?是单调函数； ④四棱锥C??MENF的体积V?h?x?为常值函数；

以上命题中假命题的序号为（ ） ．．．

A．①④ B．② C．③ D．③④ 【答案】C

考点：面面垂直判定定理，几何体的体积

【名师点睛】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，属难题.本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．

二、填空题：（本题共6道小题，每小题5分，满分30分）

9.在极坐标中，点?2,【答案】1 【解析】

?????到圆??2cos?的圆心的距离为_____________ 4?试题分析：将圆??2cos?的化为直角坐标方程

?2?2?cos??x2?y2?2x??x?1??y2?1，点

2????2,?得直角坐标为?1,1?，则点?1,1?到圆心?1,0?的距离为1

4??考点：极坐标与直角坐标的互化

10.若点P(4,4)为抛物线y?2px上一点，则抛物线焦点坐标为____________；点P到抛物线的准线的距离为______________.

【答案】则抛物线焦点坐标为(1,0)，点P到抛物线的准线的距离为5

2考点：抛物线的定义及简单性质

11.在?ABC中，若?A?120?,AB?5,BC?7，则【答案】

sinB的值为___________ sinC3 5【解析】

试题分析：在?ABC中，?A?120?,AB?5,BC?7，由余弦定理可得

49?25?b2?10b?cos120?

解得b?3．由正弦定理可得考点：正弦定理，余弦定理

12.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为_________________；表面积为________________.

sinBbb3??? sinCcAB5

【答案】体积为

8；表面积为6?42?23 3

考点：三视图，几何体的体积，表面积

?x?1,?y?0,?13.若不等式组?表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是

?2x?y?6,??x?y?a__________.

（3，5）【答案】

【解析】

试题分析：作出不等式组对应的平面区域， 当直线x?y?a （3，0）经过点A时，对应的平面区域是三角形，此时a?3，

当经过点B时，对应的平面区域是三角形， 由?11?x＝?x＝（1，4），即B，此时a?1?4?5， ???2x?y＝6?y＝4（3，5）故要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为

考点：简单的线性规划

14.曲线C是平面内到直线l1:x??1和直线l2:y?1的距离之积等于常数k?k?0?的点的

2轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点??1,1?；②曲线C关于点??1,1?对称；③若点P在曲线C上，点A,B分别在直线l1,l2上，则PA?PB不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x??1，点??1,1?及直线y?1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形

2P0P1P2P3的面积为定值2k.

其中，所有正确结论的序号是_____________. 【答案】②③④

考点：命题的真假判断与应用

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 15.已知函数f?x??cosx?sin?x?（I）求f?x?的最小正周期； （II）求f?x?在区间??????32,x?R. ??3cosx?3?4????,?上的最大值和最小值. 44??【答案】（I）T??；（II）当x?最大值??4时，f?x?取到最大值

1?；当x??时，f?x?取到4121 2

所以，f?x?的最小正周期T?（II）当x???2??? 2??5???????,? ,?时，2x????3?66??44?故由当2x???5??????????,??，即x???,??时，f?x?单调递减； 3?62??412?故由当2x?????????????,?，即x???,?时，f?x?单调递增； 3?26??124?

以及f??得当x?1??????,4?4?1???f?????,2?12????1f??? ?4?41； 441?当x??时，f?x?取到最大值?

212时，f?x?取到最大值

考点：三角函数的性质.

16.已知?an?是首项为1，公差为2的等差数列. （I）求?an?的通项公式及???1??的前n项和；

?anan?1?（II）设Sn表示?an?的前n项和，?bn?是首项为2的等比数列，公比q满足

q2??a4?1?q?S4?0，求?bn?的通项公式及其前n项和Tn.

【答案】（I）an?2n?1（II）bn?22n?1，Tn?2n4?1? ?3试题解析：（I）因为?an?是首项a1?1，公差d?2的等差数列，所以

考点：等差数列、等比数列、数列求和.

17.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAD?平面ABCD，E,F分别为PA,BD中点，PA?PD?AD?2. （I）求证：EF//平面PBC； （II）求二面角F?ED?P的余弦值；

（III）在棱PC上是否存在一点G，使GF?平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.

【答案】（I）见解析（II）二面角F?ED?P的余弦值为?一点G，使得GF?平面EDF 【解析】

5（III）在棱PC上不存在5

试题解析：（I）如图，连接AC.因为四边形ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分. 又因为F是BD中点，所以F是AC中点.

在?PAC中，E是PA中点，F是AC中点，所以EF//PC， 又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC， 所以EF//平面PBC.

（II）取AD中点O.在?PAD中，因为PA?PD， 所以PO?AD.

因为平面PAD?平面ABCD，且平面PAD?平面ABCD?AD， 所以PO?平面ABCD 因为OF?平面ABCD，

所以PO?OF. 又因为F是AC中点，

所以OF?AD.

（III）假设在棱PC上存在一点G,使得GF?平面EDF.

设G(x1,y1,z1),则FG?(x1,y1?1,z1).由(II)知平面EDF的一个法向量是n?(1,?1,?3) 因为GF?平面EDF，所以可设FG??n?则x1??,y1?1??,z1??3?.

又因为点G在棱PC上，所以CG与PC共线 因为PC??1,2,?3,CG??x1?1,y1?2,z1?，

???,??,?3??，

??所以

x1?1y1?2z1?????1?3?，无解 ??1，即???12?12?3?3故在棱PC上不存在一点G，使得GF?平面EDF 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角

x24a?1??1?2a?x?ln?2x?1?,a?0. 18.已知函数f?x??22（I）求函数f?x?的单调区间； （II）当a?11?1?2时，存在x0??,???，f?x0???2a，求实数a的取值范围. 42?2?【答案】（I）0?a?11??1??1??时，f?x?的增区间为??,2a?和?,???，减区间为?2a,?； 42??2??2??a?11?1??11?时，f?x?的增区间为??,???；a?时，f?x?的增区间为??,?和?2a,???，44?2??22?减区间为?,2a?；（II）?,?1?2???1e?1??

?44?试题解析：（I）函数的定义域为???1?,???，求导?2?f??x??x??1?2a??4a?1?2x?1??x?1?2a??4a?1?2x?1??x?2a???

2x?12x?12x?1

iii、当0?2a?

所以f?x?的增区间为??综上所述：

11，即0?a?时， 24x ?1???,2a? ?2?2a 1???2a,? 2??? 1 20 ?1??,??? ?2?f??x? ? f?x? 0 ? 1??1??1??,2a?和?,???，减区间为?2a,?

2??2??2??0?a?11??1??1??时，f?x?的增区间为??,2a?和?,???，减区间为?2a,? 42??2??2??a?1?1?时，f?x?的增区间为??,??? 4?2?1?11??1?时，f?x?的增区间为??,?和?2a,???，减区间为?,2a? 4?22??2?a?考点：导数综合

【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查求函数单调性的基本步骤，突出化归思想与分类讨论思想的考查，属于中档题．

x2y219.已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的右焦点为F(1,0)，短轴的端点分别为B1,B2，且

abFB1?FB2??a.

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点F且斜率为k?k?0?的直线l交于椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D.与MN的交点为P，试求

DPMN的取值范围.

x2y2?1???1（II）?0,? 【答案】（Ⅰ）43?4?【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用数量积即可得到1?b??a，又a?b?1，即可解得a、b；

（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段MN的中点P的坐标，利用弦长公式即可得到MN，利用点斜式即可得到线段MN的垂直平分线DP的方程，利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到DP，进而得出的关于斜率k的表达式，即可得到其取值范围．

222DPMN

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 20.若数列?,a?2,a?1,a0,a1,a2,?满足an?an?1?an?1?n?Z?，则称?an?具有性质A. 3（I）若数列?an??、bn?具有性质A，k为给定的整数，c为给定的实数.以下四个数列中哪些具有性质A？请直接写出结论.

①??an?；②?an?bn?；③?an?k?；④?can?. （II）若数列?an?具有性质A，且满足a0?0,a1?1. （i）直接写出a?n?an?n?Z?的值； （ii）判断?an?的单调性，并证明你的结论.

（III）若数列?an?具有性质A，且满足a?2004?a2015.求证：存在无穷多个整数对?l,m?，满足at?am?l?m?.

【答案】（I）①②③④（II）（i）a?n?an?0,?n?Z?（ii）?an?单调递增，证明见解析（III）见解析 【解析】

试题分析：（I）根据定义验证可知①②③④均具有性质A

（II）（i）a?n?an?0,?n?Z? （ii）（1）用数学归纳法证明n?N时，有an?1?an（2）当n?0时，

由（ii），有an??a?n,an?1??a??n?1?

当?n???n?1??0,得a?n?a??n?1?,即?an??an?1,an?1?an 由（1）（2），有an?1?an?n?Z?，故?an?单调递增

（2当n?0时，由（ii），有an??a?n,an?1??a??n?1?

当?n???n?1??0,得a?n?a??n?1?,即?an??an?1,an?1?an 由（1）（2），有an?1?an?n?Z?，故?an?单调递增

考点：数列综合

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5ve8.html