用二分法求方程的近似解-经典例题及答案上课讲义

用二分法求方程的近似解-经典例题及答案

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例1:利用计算器，求方程X 2 2x 1 0的一个近似解(精确到0.1)

【解】设f (x) x 2 2x 1，

先画出函数图象的简图.'i (如右图所示)

丨 因为

； f(2)

1 0, f (3)

2 0，

所以在区间(2,3)内，方程x

2.5，因为

f (2.5) 0.25 0，

所以 2人 2.5.

再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)

0.4375 0， 所以2.25 治 2.5.

如此继续下去，得

f(2) 0, f(3) 0 人(2,3) f(2) 0, f(2.5) 0 捲(2,2.5)

f(2.25)

0, f (2.5) 0 x 1 (2.25, 2.5) f (2.375) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.375,2.5) f (2.375) 0, f (2.4375) 0 为(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到

0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为

洛 2.4 .

利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 .

点评：①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算 机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一 个长度为1的区间；

②建议列表样式如下：

零点所在 区

间

区间中点函数 值 区间长 度 [2,3]

f(2.5) 0 1 [2,2.5]

f (2.25) 0 0.5 [2.25,2.5]

f (2.375) 0 0.25 [2.375,2.5] f (2.4375) 0 0.125

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一 步. 1 0有一解，记为x 1.取2与3的平均数 例2:利用计算器，求方程lgx 3 x 的近似解(精确到0.1)

1-- 3 4 I I 斗- 3-' 分析：分别画函数y lg x 和y 3 x

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此，这个点的横坐标就是方程Igx 3 x 的解?由函数y Igx 与y 3 x 的图 象可以发现，方程Igx 3 x 有惟一解，记为x i ，并且这个解在区间(2,3)内.

【解】设f(x) Igx x 3，利用计算器计算得

f(2)

0, f(3) 0 x 1 (2,3) f (2.5) 0, f (3) 0 x 1 (2.5,3) f(2.5) 0, f (2.75) 0 x 1 (2.5,2.75) f (2.5)

0, f (2.625) 0 x 1 (2.5,2.625) f (2.5625) 0, f (2.625) 0 x 1 (2.5625,2.625)

因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为

x 1 2.6 .

思考：发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法 ――迭代法.

除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等.

例3:利用计算器，求方程2x x 4的近似解(精确到0.1)

与y 4 x 的图象，由图象可以知道，方程2x x 4的解在区间(1,2)内，那么

对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为

x 1.4. 追踪训练一

1. 设X 。是方程In x x 4的解，贝U X 。所在的区间为(B )

A . (3,4)

B. (2,3) C . (1,2)

D . (0,1) 2.

估算方程5x 2 7x 1 0的正根所在的区间是 (B ) A . (0,1)

B . (1,2)

C . (2,3)

D. (3,4) 3. 计算器求得方程5x 2 7x 1 0的负根所在的区间是(A ) A . ( 1，0) B . 2, 1

【解】方程2x 可以化为2x 4

x 4

x .

分别画函数y 2x

C. 2.5, 2

D. 3, 2.5

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4. 利用计算器，求下列方程的近似解（精确到0.1）

(1) Ig 2x x 1

(2) 3x x 4 答案：(1) 0.8(2) X i 3.9 , X 2

1.6

例4:二次函数f （x ） px 2 qx r 中实数p 、q 、r 满足」-

m 2

其中m 0 ,求证:

⑴p f （角0）；

（2）方程f （x ） 0在（0,1）内恒有解. 分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据: 内的数，且pf （旦）0，这就启发我们把区间（0,1）戈扮为（0,

m 1

—，1 ）来处理.

m 1 【解】（1）

2 2 r m(m 2) (m 1) p m[ 2 ] (m 1) (m 2) 2 p m

2 ，

(m 1)2(m 2) 由于f （x ）是二次函数,故p 0，又m 0，所以，pf （—二）0 .

m 1

⑵由题意，得f （0） r , f （1） p

①当p 0时，由（1）知f （匹）

m 1

若 r 0,贝 U f （0） 0，又 f （卫） m

m 1 所以f （x ）在（0， -------- ）内有解.

m 1

是区间(0,1) m 1 pf(jm -) m 1 P[P 宀2 m 1

q ([) m 1 r] pm[^m? (m 1)

丄] m

pm[* (m 1)

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若 r 0，贝U f(1) p q r p (m 1)

(_E

L) r -B

- 0,又 f(-^)

0,所以 f(x) 0在

m 2 m m 2 m m 1 (旦，1 )内有解.

m 1

②当p 0时同理可证.

点评：(1)题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p 0 .若将题中 的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.

(2)对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对 p 分类，然后对r 分类显然是比较好.

追踪训练二

1.

若方程2ax 2 x 1 0在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是

(B ) 1

A . [ -,

) B . (1,) 8 1 C . ( ,1) D . [ -,1) 8

2. 方程x 2 2x 2k 1

0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围 是1

k 1 ; 23. 已知函数f(x) 2mx 4，在[2,1]上存在X 。，使f(x 。)0 ,则实数m 的取 值范围是 ____ m 1或 m 2 _______________ .

4. 已知函数f x x 3 4 x

⑴试求函数y f x 的零点；

⑵是否存在自然数n ，使f n 1000 ?若存在，求出n ，若不存在，请说明理 由. 答案：(1)函数y f (x)的零点为x 0 ;

(2)计算得 f (9) 738， f (10) 1010，

由函数的单调性，可知不存在自然数

n ，使f n 1000成立.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5vbq.html