九年级数学相似三角形--母子型

九年级数学相似三角形--母子型

相似三角形之母子三角形

【知识要点】

一、直角三角形相似

1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：

1、条件：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．（射影定理） 结论：（1）△ACD∽△CBD，△BDC∽△BCA，△CDA∽△BCA

（2）△ACD∽△CBD中，CD2 ADBD

△BDC∽△BCA中，BC2 BDAB

△CDA∽△BCA中，AC2 ADAB

2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC（母子）

结论：△ACD∽△ABC中，AC2 ADAB

【例题解析】

类型一：三角形中的母子型 1.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=【例1】,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.

【练】如图，D 是 △ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC的长.

C

A

DB

【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD2

FB FC

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【练】已知CD是 ABC的高，DE CA,DF CB，如图3-1，求证： CEF∽ CBA

类型二：直角三角形中的母子型

【例1】.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证：DF2 FG FH

A

E

B

【练】如图5,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.

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【练】如图，CD 是 Rt△ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD的长.

A

类型三：四边形中的母子型

【例1】1.如图，矩形ABCD中，BH⊥AC于H，交CD于G，求证：BC2 CG CD。

C

A

22.如图，菱形ABCD中，AF⊥BC于F，AF交BD于E，求证：AD 1DE DB。 2

D

A

BC

【练】如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H，求证：QH⊥DH．

类型四：圆中的母子型

【例1】1.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E， 求证：EB2 DE AE。

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B C

E

2.如图，PA切⊙O于A，AB为⊙O的直径，M为PA的中点，连BM交⊙O于C， 求证：（1）AM2 MC MB （2）∠MPC=∠MBP。

P

B

【练】1.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于D，弧AC=弧CE，AE交CD于F，求证：CE2 AF AE。

A

B

2.如图，点A是⊙O上一点，以A为圆心的圆交⊙O于B、C两点，E为⊙O上一点，AE与BC相交于点D，求证：AB2 AD AE

E

3.如图11，点O是四边形AEBC外接圆的圆心，点O在AB上，点P在BA的延长线上，

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且∠PEA＝∠ADE，CD⊥AB于点H，交⊙O于点D。

（1）求证：PE是⊙O的切线；

（2）若D为劣弧BE的中点，且AH＝16，BH＝9，求EG的长．

P

B

图11

【家庭作业】

1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE AB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ）

A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm

2、如图1-1，在RtABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）条线段的长，就可以求其他线段的长.

A、1 B、2 C、3 D、4

AC3BD ，则 （ ） AB4CD

34169A、 B、 C、 D、 439163、在RtABC中， BAC 90，AD BC于点D，若

4、如图1-2，在矩形ABCD中，DE AC, ADE 1 CDE，则 EDB （ ） 3

A、22.5 B、

30 C、

45 D、

60

5、AD=6，BD=12，， ABC中，AD BC于点D，则CD= A 90，

AB2:AC2

6、如图，在Rt ABC中， ACB 90，CD AB，

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AC=6，AD=3.6，则BC= ．

7、已知 CAB 90，AD CB， ACE， ABF是正三角形，求证：DE DF

8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E是弧CB的中点，EF⊥AC于F. （1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）连接CE、AE、CO，AE交CO于N，若CE=6，AE=8，求AN

的值. NE

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