《中考真题》专题13 锐角三角函数、视图与投影(第一篇)——2022

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【母题来源一】【2019?天津】2sin60°的值等于

A ．1 B

C

D ．2

【答案】C

【解析】2sin60°

=2=，故选C ． 【名师点睛】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

【母题来源二】【2019?宜昌】如图，在5×

4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为

A ．43

B ．34

C ．35

D ．45

【答案】D

【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，

则∠ADC =90°，

∴

AC =

==5．

专题13 锐角三角函数、视图与

投影

2 ∴sin ∠BAC 45

CD AC =

=． 故选D ． 【名师点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．

【母题来源三】【2019?甘肃】在△ABC 中，∠C =90°，tan

A 3

=，则cos B =__________． 【答案】12

【解析】∵tan

A 3=

A =30°， ∵∠C =90°，∴∠

B =60°，

∴cos B =cos60°12

=．故答案为：12． 【名师点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值；也可利用特殊角的三角函数值求解．

【母题来源四】【2019?柳州】如图，在△ABC 中，sin B 13=，tan

C 2

=，AB =3，则AC 的长为__________．

【解析】如图，过A 作AD ⊥BC ，

在Rt △ABD 中，sin B 13=

，AB =3， ∴AD =AB ·sin B =1，

在Rt △ACD 中，tan

C 2

=，

3

∴2

AD CD =，即

CD = 根据勾股定理得：

AC =

=

． 【名师点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

【母题来源五】【2019?贺州】如图，在A 处的正东方向有一港口B ．某巡逻艇从A 处沿着北偏东60°方向

巡逻，到达C 处时接到命令，立刻在C 处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B ．求A ，B

≈1.73

≈1.4，结果保留一位小数）．

【解析】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，则∠ACD =60°，∠BCD =45°，如图所示．

在Rt △BCD 中，sin ∠BCD BD BC =，cos ∠BCD CD BC

=， ∴BD =BC ·sin ∠BCD =20×

32?≈42，CD =BC ·cos ∠BCD =20×

32?≈42； 在Rt △ACD 中，tan ∠ACD AD CD

=， ∴AD =CD ·tan ∠ACD

=42≈72.7．

∴AB =AD +BD =72.7+42=114.7．

∴A ，B 间的距离约为114.7海里．

【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．

【母题来源六】【2019?河南】数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进

21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．

（精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67

≈1.73）

【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55 m，

∴tan∠CAE

CE AC =，

∴AC

55

tan340.67

CE

==≈

?

82.1 m，

∵AB=21 m，

∴BC=AC-AB=61.1 m，

在Rt△BCD中，

tan60°

CD

BC

==

∴

CD=≈1.73×61.1≈105.7 m，

∴DE=CD-EC=105.7-55≈51 m，

答：炎帝塑像DE的高度约为51 m．

【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．

【母题来源七】【2019?眉山】如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C

处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了

D处，此时在D处测得楼顶A的仰

角为30°，求楼AB的高度．

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