2017优质课《2.3.1平面向量基本定理》教案

《2.3.1平面向量基本定理》教案

参赛号：70

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 了解平面向量基本定理及其意义，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.

过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.

情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的探究；

教学难点：如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.

三、教学过程

1、情景创设

七个音符谱出千支乐曲，26个字母写就百态文章！ 在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？

?问题1 给定一个非零向量a，允许做线性运算，你能写出多少个向量？

??a ?a

?????问题2 给定两个非零向量e1 ,e2，允许做线性运算，写出尽量多的向量？ ??????????????? 1、e1 //e2 通过线性运算会得到?1e1 ?2e2 ?1e1+?2e2的形式，本质上它

??们表示的都是e1的数乘。

??????????2、e1 ，不共线 通过线性运算会得到?1e1+?2e2，它表示的是什么向量？ e2 e1 e2

????????????????????不妨我们作出几个向量e1+e2 ，2e1+e2 ， e1-e2 ， e1-2e2 来看看。只要

??????????给定?1和?2的值，我们就可以作出向量?1e1+?2e2，本质上是e1的数乘和e2的数乘的合成。随着?1和?2取值的变化，可以合成平面内无数多个向量。

?????问题3 那么我们能否这样认为：平面上的任何一个向量都可以由e1和e2来合成呢？

??????我们在平面上任取一个向量a，看看它能否由e1和e2来合成，也就是能否找

???????????到这样的e1和e2，使a??1e1+?2e2？

?????这个问题可简述为：平面上有两个不共线的向量e1和e2，平面上的任意一个向量能否用这两个向量来表示？

??????思考探究： 根据探寻的目标a??1e1+?2e2，结合上面向量合成的做法，显??????然a就应该是合成后的平行四边形的对角线，而平行四边形两边应该是e1和e2所在的直线，因此，只要作出这个平行四边形，问题就迎刃而解了。

e1 e2 a

如图所示，在平面内任取点O，作OA?e1,OB?e2,OC?a. 作平行四边形

?ONCM. 则OC?OM?ON.由向量共线定理可得，存在唯一的实数?1，使

OM??1e1;存在唯一的实数?2，使ON??2e2.即存在唯一的实数对?1，?2，使得a=?1e1+?2e2.

M C

A

O B N 强调：向量a的任意性、e1、e2不共线、系数?1，?2的存在性与唯一性。 2、定理剖析

讨论探究：同学们能否总结出平面向量基本定理的内容？

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意

向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a=?1e1+?2e2

这里我们发现平面内的任意两个不共线向量e1、e2就类似于音乐中的7个音符，类似于英文中的26个字母。

我们把任意两个不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组

基底。 定理说明：

（1）什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底？ 不共线的两个向量

（2）一个平面的基底是唯一的吗？ 不唯一，可以有无数多个

（3）当平面的基底给定时，任意向量a的分解形式唯一的吗？ 由共线向量定理可知：?1，?2唯一确定 3、例题分析

例1 已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2. e1 e2

例2 如图平行四边形ABCD两条对角线相交于M，且AB?a，AD?b，用a,b表示向量MA,MB,MC,MD.

变式：在上述平行四边形中，若已知??????????????????????AC?m ,BD?n ,试用基底m ，n表示AB和AD. 4、课堂检测

1、已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y) e1+(2x-3y) e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )

A.3 B.-3 C.0 D.2

2、如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.记向

?量AB?aAD?b,试用a，b表示向量MN.

5、课堂小结

（1）平面向量基本定理；

（2）该定理研究了向量哪方面的知识 6、板书设计 ANB DMC2.3.1平面向量基本定理 问题引入 平面向量基本定理 定理说明 例1， 例2 变式训练 小结 7、作业

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