复变函数与积分变换试的题目及答案

实用标准文案 复变函数与积分变换试题（一）

一、填空（3分×10）

1．ln(?1?3i)的模 ，幅角 。

2．-8i的三个单根分别为： ， ， 。 3．Lnz在 的区域内连续。 4．f(z)?z的解极域为： 。 。

5．f(z)?x2?y2?2xyi的导数f?(z)? ?sinz?6．Res?3,0?? ?z? 。 。 。 。 。

7．指数函数的映照特点是： 8．幂函数的映照特点是： 9．若F(?)=F [f(t)]，则f(t)= F ?1f[(?)] 10．若f（t）满足拉氏积分存在条件，则L [f(t)]= 二、(10分)

11已知v(x,y)??x2?y2，求函数u(x,y)使函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为

22解析函数，且f(0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算

dz?|z|?2z6(z?1)(z?3)

四、计算积分（5分×2） 1．?|z|?2dz

z(z?1)精彩文档

实用标准文案 2．?cosz C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。

c(z?i)3五、（10分）求函数f(z)?1．0?|z?i|?1 2．1?|z?i|???

1在以下各圆环内的罗朗展式。

z(z?i)六、证明以下命题：（5分×2）

（1）?(t?t0)与e?iwto构成一对傅氏变换对。 （2）?????e?i?tdt?2??(?)

?x??y?z??1?七、（10分）应用拉氏变换求方程组?x?y??z?0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y(t)。

?y?4z??0?

八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

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实用标准文案 复变函数与积分变换试题答案（一）

2??4ln22??2 ，arctg3?2k?

9ln2一、1． 2.

3-i

2i

3-i

3. Z不取原点和负实轴 4. 空集 8. 角形域映为角形域

5. 2z 6． 0

7.将常形域映为角形域

10.

19.2??????F(?)ei??d?

???0f(t)e?stdt

二、解：∵

?v?u??x?? ?x?y?v?u?y?∴u?xy?c ?y?x（5分）

1??1f(z)?i??x2?y2??xy?c

2??2∵f(0)=0

c=0

（3分）

（2分）

∴f(z)?xy?i2ii(x?y2)??(x2?y2?2xyi)??z2 2222三、解：原式=（2分）2?i?Res?k?14??1 ,zk?6z(z?1)(z?3)??z1?0 z2?1

（2分）??2?i?Res?k?3??1 ,zk?6?z(z?1)(z?3)?z3?3 z4??

??11Res?6,3??(2分）6

3?2?z(z?1)(z?3)??????111?Res?6,???（2分）Res??2,0?=0

?z(z?1)(z?3)??1(1?1)(1?3)z?6??z?zz?∴原式=（2分） 2?i?2?1?i =6633?2?1k 四、1．解：原式?2?i,z?Res??z(z?1)k?1?z1=0 ? （3分）

?z2=1

?2?i[?1?1]=0

（2分）

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2．解：原式?2?icos??z2!z?i??i（?cosz）z?i???icosi=??ich1

五、1．解：

1111f(z)（1分）???（1分）??(z?i)z?i?i(z?i)i111??z?i??（1分）????? z?iz?iin?0?i?1?in

??in?0?n?1(z?i)n?1??i(z?i)n（2分）

n??1?n 1分）?2．解：f(z)（111??（1分）?(z?i)i?(z?i)(z?i)21?i?1????z?i?

1（1分）?(z?i)2六、1．解：∵（2）解：∵

???11i????in(z?i)n?2 （2分） ?????n?n?2n?0i(z?i)n?0?z?i?n?0?n??????(t?t0)e?i?tdt?e?i?tt?t0?e?i?t0

（3分） ∴结论成立 （2分）

1???i?t?i?t2??(?)edw?e2??????0?1

∴2??(w)与1构成傅氏对 ∴

?????e?i?tdt?2??(?)

（2分）

1?sX(s)?Y(s)?sZ(s)??S?七、解：∵?X(s)?sY(s)?Z(s)?0?Y(s)?4sZ(s)?0??S（2）-（1）： ∴Y(s)?(1)(2)

(3)（3分）

1s11?11??1?1??????????? s2?1?s?ss2?1s2?s?1s?1?（3分）

∴Y(t)?1?1t1?te?e?1?cht 22

②C-R充要条件Th； ③v为u的共扼函数

10分

八、解：①定义；

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复变函数与积分变换试题（二）

一、填空（3分×10）

1．函数f(z)在区域D内可导是f(z)在D内解析的（ 2．w=z2在z=-i处的伸缩率为（

）。

）。

）条件。

3．z??12?2i的指数表示式为（ 4．Ln(-1)的主值等于（ 5．函数ez以（

）。

）为周期。

6．设C为简单闭曲线，则?cdz=（ z?z0 ）。

）。

7．若z0为f(z)的m级极点，则Res[f(z),z0]?（ 8．若F(?)?F f(t)（ 9．2??(t?t0)与（ 10．已知L [sint]?二、计算题(7分×7)

）。

）构成一个付立叶变换对。

）。

1sint，则L []?（ 2ts?11．求p，m，n的值使得函数f(z)?my3?nx2y?i(x3?pxy2)为解析函数。2．计算?|z|?3?3??1??dz z?1z?2??3．已知调和函数u?2(x?1)y，求解析函数f(z)?u?iv使得f(2)?i。 4．把函数

1在1?|z|?2内展开成罗朗级数。 2(z?1)(z?2)z?1在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留2z?2z5．指出函数f(z)?精彩文档

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