北京五中2007-2008学年度第一学期期中考试试卷高三数学(文科)

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班级 姓名 学号 成绩

一、选择题:（每小题5分,共40分.请将答案填在第二页的表格中） 1．满足条件M 1,2 1,2,3 的集合M的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2．已知函数f(n)

n 3 f[f(n 5)]

n 10n 10

，其中n N，则f(8)的值为（ ）

(A)2 (B)4 (C)6 (D)7

3．函数

f(x) log

a

x b

是偶函数，且在区间

0, 上单调递减，则f(b 2)与f(a 1)的

大小关系为（ ）

(A)f(b 2) f(a 1) (B)f(b 2) f(a 1) (C)f(b 2) f(a 1) (D)不能确定

4．已知数列 an 是等差数列，数列 bn 是等比数列，其公比q 1，且bi 0 （i 1,2,3, ），若

a1 b1

，

a11 b11

,则（ ）

(A)a6 b6 (B)a6 b6 (C)a6 b6 (D)a b或a b

6666

2

5．数列 an 、 bn 满足an bn 1，an n 3n 2，则 bn 的前10项之和等于（ ）

1517

(A)3 (B)12 (C)2 (D)12

1 sinx

f(x) 6．对于函数

cosx

当sinx cosx时当sinx cosx时

，下列结论正确的是（ ）

(A)函数f(x)的值域是［－1，1］ (B)当且仅当x 2k

2

时，f(x)取最大值1

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(C)函数

f(x)是以2 为最小正周期的周期函数

54

(D)当且仅当2k x 2k

（k Z）时，f(x) 0

7．若向量a cos ,sin ，b cos ,sin 则a与b满足（ ）

(B)a b a b (A)a与b的夹角等于

(C)a//b (D)a b

8．已知函数f(x)和g(x)，对任意实数x有f( x) f(x)，g( x) g(x)，且当x 0时，

f(x) 0,g(x) 0,则当x 0时（ ）

'

'

(A)f(x) 0,g(x) 0 (B)f(x) 0,g(x) 0 (C)f(x) 0,g(x) 0 (D)f(x) 0,g(x) 0

'

'

'

'

''''

二．填空题（每题5分，共30分，请将答案填在第二页表中）

9．已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则下列命题：

①M的元素都不是P的元素 ②M的元素不都是P的元素 ③M中有P的元素 ④存在x M，使得x P

其中真命题的序号是 （将你认为正确的命题的序号都填上）

10．已知函数f(x)是R上的减函数，其图象经过点A( 4,1)和B(0, 1)，函数f(x)的反函数

是f

1

(x)，则f

1

(1)的值为f(x 2) 1的解集为11．在如图的表格中，每格填上一个数字，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则

a b c

12．已知 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a 1，B 45 ， ABC的

面积为2，则 ABC的外接圆直径等于

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13．已知a 0，函数f(x) x3 ax在 1, 上是单调增函数，则a的最大值是 14．函数f(x)是定义在[0,1]上的函数，满足f(x) 2f()，且f(1) 1，在每一个区间

2x

1 1

i,i 1 （i 1,2,3, ）上，y f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分，

2 2

记直线x

12

n

，x

12

n 1

,x轴及函数y f(x)的图象围成的梯形面积为an

（n 1,2,3, ），则数列 an 的通项公式为

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答案

1. 选择题

2. 填空题

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

2

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三．解答题（共80分）

15．（12分）已知函数f(x) sin( x) sin( x) 2sin ， 0,

34

32

，且

tan2 ，若对任意x R，都有f(x) 0成立，求cos 的值

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16．（12分）解关于x的不等式ax

17．（14分）如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SA 底面ABCD，E是SC上一点

（1）求证：平面EBD 平面SAC；

（2）设SA 4，AB 2，求点A到平面SBD的距离；

2x

2 a

S

D

B

（3）当

SAAB

C

的值为多少时，二面角B SC D的大小为120

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18．（14分）数列 an 中，a1 1，且点(an,an 1)在直线2x y 1 0上(1) 设bn an 1，求证：数列 bn 是等比数列； (2) 设cn n(3an 2)，求数列 cn 的通项公式； (3) 求数列 cn 的前n项和Sn

19．（14分）已知a R，f(x) (x2

4)(x a)

（1）求导数f'

(x)； （2）若f'

( 1) 0，

（3）求函数f(x)在[ 2,2]上的最大值和最小值； （4）若f(x)在 , 2 和 2, 上都是单调递增的， （5）求a的取值范围

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20．（14分）如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列 (1)若a2，b2，c2成等差数列，证明b c，c a，a b成调和数列；

(2)设Sn是调和数列 的前n项和，证明对于任意给定的实数N，总可以找到一个正整数m，

n 1

使得当n m时，Sn N

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北京五中2007/2008学年度第一学期期中考试试卷

高三数学答案（文科）

一. 选择题

二. 填空题

9. ②④ ; 10. -4 , (-2,2) ;11. 1 ; 12.52; 13.3; 14.an 三．解答题

15．解：依题意f(x) 2sin cosx 2sin 2sin (cosx 1)

cosx 1 0 sin 0

34

32

4 k2

2n 1

由tan2 得tan 3 cos

10

16．解：原不等式等价于

x 1)(ax

x

2

0

当a 0时，解集为[ 1,0)

当a 0时，解集为 1,0 ,

a 当 2 a 0时，解集为 1,0 ,

2

a

2

当a 2时，解集为 ,0

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当a 2时，解集为 , 1

a,0

17．(1)证明： SA 底面ABCD SA BD

且BD AC BD 平面SAC

平面EBD 平面SAC

2

(2)解：因为VA-SBD VS-ABD，且S SBD 可求得点A到平面SBD的距离为

43

12

22 32，

(3)解：作BF SC于F，连DF，则 BFD为二面角B SC D的平面角

x 1x 2

22

设AB 1，SA x，在Rt SBC中，求得BF ，

同理，DF

SAAB

x 1x 2

2

2

，由余弦定理cos120

BF

2

DF

2

BD

2

2BF DF

解得x 1， 即＝1时，二面角B SC D的大小为120

18．（1）证明：由已知得an 1 2an 1， an 1 1 2(an 1)

即bn 1 2bn，所以数列 bn 是等比数列

nnn

（2）解：bn 2， an 2 1， cn n(3 2 1)

123n

（3）解：Sn 3(1 2 2 2 3 2 n 2) (1 2 3 n)

12n

设Tn 1 2 2 2 n 2

2Tn 1 2 2 2 n 2

n 1

2 所以Tn (n 1) 2

23n 1

所以Sn 3[(n 1) 2

'

2

n 1

2]

n(n 1)

2

19．解：（1）f(x) 3x 2ax 4

'

（2）由f( 1) 0得a

12

，所以f(x) 3x x 4

'2

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令f'(x) 0，得x

43

或－1，

4509

，f( 1) ，f( 2) f(2) 0 f()

3272

所以f(x)在[ 2,2]上的最大值为

92

，最小值为

5027

（3）依题意只须f'( 2) 0，f'(2) 0,

4a 8 0即 ，解得a的取值范围为［－２，２］

8 4a 0

20.证明：（１）欲证b c，c a，a b成调和数列，

只须证

2c a

1b c

1a b

只须证2(b c)(a b) (c a)(a b) (c a)(b c) 化简后，只须证2b2 a2 c2

因为a2，b2，c2成等差数列，所以2b2 a2 c2成立 所以b c，c a，a b成调和数列

（２）Sn 1

12 13

1n

12

k

S2k 1

1

1212

13

1412

k

(

14

) (1

18

18

12

k

18)

18

)

( 1

12 12

2

k

1

12

k2

k2

N，即k 2(N 1)，

对于任一给定的N，欲使Sn N，只须1 取m [2

2(N 1)

] 1(其中[2

2(N 1)

]表示2

2(N 1)

的整数部分)，则当n m 时，

Sn N

(本题解法和答案不唯一)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5v3e.html