2009年福建高考数学试题(理科)有答案

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2009年高考福建数学试题（理科）与答案

一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 函数f(x) sinxcosx最小值是 A．-1 B.

12

C.

12

D.1

2

x 0 x 22.已知全集U=R，集合A {x|x 2x 0}，则CuA等于

A． { x ∣0 x 2} B { x ∣0<x<2} C． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x 0或x 2} 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于 A．1 B

53

C.- 2 D 3

4.

2

2

(1 cosx)dx等于

A． B. 2 C. -2 D. +2

5.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2 （0， ），当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) 的是 A．f(x)=

1x

2x

B. f(x)=(x 1) C .f(x)=e D f(x) ln(x 1)

6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．2 B .4 C. 8 D .16

7.设m，n是平面 内的两条不同直线，l1，l2是平面 内的两条相交直线，则 // 的一个充分而不必要条件是

A.m // 且l // B. m // l 且n // l2 C. m // 且n // D. m // 且n // l2

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动 员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，

指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925

271 932 812 458 569 683

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431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15

9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a c ∣a∣=∣c∣, 则∣b c∣的值一定等于 A． 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积 C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积 10.函数f(x) ax bx c(a 0)的图象关于直线x

2

2

b2a

对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，

n，p，关于x的方程m f(x) nf(x) p 0的解集都不可能是 A. 1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,16,64

第二卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.若

21 i

a bi（i为虚数单位，a,b R ）则a b _________12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算无误，则数字x应该是___________

13.过抛物线y 2px(p 0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则

2

p ________________

14.若曲线f(x) ax lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________. 15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.

3

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三、解答题 16.（13分）

从集合 1,2,3,4,5 的所有非空子集中，等可能地取出一个。 ．．．．

（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率； （2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望E

17（13分）

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD 平面ABCD，

NB 平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点

（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES 平面AMN？若存在，求线段AS的

长；若不存在，请说明理由

18、（本小题满分13分）

如图，某市拟在长为8km的道路OP

的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定 MNP=120

（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

19、（本小题满分13分）

o

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已知A,B 分别为曲线C：

xa

22

+y=1（y 0,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上

2

异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

AB的三等分点，试求出点S的坐标； (1)若曲线C为半圆，点T为圆弧

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

20、（本小题满分14分） 已知函数f(x)

13

x ax bx,且f'( 1) 03

2

(1) 试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；

（2）令a 1,设函数f(x)在x1,x2(x1 x2)处取得极值，记点M (x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)),

x1 m x2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m (x1, x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论； （II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）

21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中， （1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换

已知矩阵M

2 1 3

所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标 1

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

x 1 2cos 已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: ( 为参数

)试判断他们的公共点个数

y 2 2sin

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

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2009年高考福建数学试题（理科）

1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．B 9．C 10. D 11. 2 12. 1 13. 2 14. ( ,0) 15. 5 16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

123

基本事件总数n=C5 C5 C5 C54 C55=31

事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4} 事件A包含的基本事件数m=3 所以p(A)

mn 331

（II）依题意， 的所有可能取值为1，2，3，4，5

C5

1

又p( 1)

31C5

4

5315

， p( 2)

C5

2

31

1031

， p( 3)

C5

3

31

1031

p( 4)

31

31

， p( 5)

C5

5

31

131

故 的分布列为：

531

1031

531

+2

1031

+4

+5

131

8031

从而E 1 +3

17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz

依题意，得D(0,0,0)A(1,0,0)M(0,

0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0)。

2

1

NE ( ,0, 1),AM ( 1,0,1)

2

NE AM ， cos NE,AM 10|NE| |AM|

1

所以异面直线NE与AM10

（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES 平面AMN.

AN (0,1,1)

,

可设AS AN (0, , ),

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又EA (, 1,0), ES EA AS (, 1, ).

2

2

1 ES AM 0,

0,

由ES 平面AMN，得 即 2

ES AN 0, ( 1) 0.

11

故 ，此时AS (0,,

),|AS|

222

1

1

12

.经检验，当AS

22

时，ES 平面

AMN.

故线段AN上存在点S，使得ES 平面AMN

，此时AS .

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决

实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一

（Ⅰ）依题意，有A当

x 4

，

2 3

T4

3

，又T

2

，

6

。

y

6

x

是，

y 3

M(4,3) MP

又p(8,3)

5

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN= ，则0°< <60° 由正弦定理得

NP

3MPsin12

NPsin 3

MNsin(60

)

)

3

12sin

3os )

,

MN

(6

故NP

MN 3

3

(60 )

3

in( 60)

0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道MNP最长 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得MN2 NP2 2MN NP cos∠MNP=MP2 即MN2 NP2 MN NP 25 故(MN从而

34

NP) 25 MN

NP (

2

MN NP

2

)

2

(MN NP)

2

25

，即MN

NP

3

当且仅当MN

NP

时，折线段道MNP最长

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注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①

N2

6

；②N2

6

；③点

N在线段MP的垂直平分线上等

19.【解析】 解法一：

(Ⅰ)当曲线C为半圆时，a

1,

如图，由点T为圆弧 AB的三等分点得∠BOT=60°或120°

.

(1)当∠BOT=60°时,

∠SAE=30°. 又AB=2,故在△SAE中,有SB

AB tan30

s(t

3或S(1,

(2)当∠BOT=120

°时,同理可求得点S

的坐标为(1,(Ⅱ)假设存在a(a

0)

,综上,

S,使得O,M,S三点共线.

k(x a)

由于点M在以SB为直线的圆上,故BT OS.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y

x2

2 y 122222422

得(1 ak)x 2akx ak a 0由 a

y k(x a)

2

.

设点T(xT,yT), 故xT

a ak1 aka ak1 ak

2222

2222

xT ( a)

ak

22

a

2

2

2

1 ak

,

2ak1 ak

2

2

,从而y

,

2ak1 ak

2

T

k(xT a) ).

.

亦即T(

2

22 2ak2ak

B(a,0), BT ((,))2222

1 ak1 ak

x a由

y k(x a)

得s(a,2ak), OS (a,2ak).

2222

2ak 4ak

由BT OS,可得BT OS 02

1 ak2

即 2a2k2

4ak

22

k 0,a 0, a

经检验

,当a

,O,M,S三点共线. 故存在a使得O,M,S三点共线.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故SM BT.

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为y

k(x a)

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x2

2 y 122222222由 a得(1 ab)x 2akx ak a 0

y k(x a)

2

设点T(xT,yT),则有xT故xT

a aka ak

22

22

( a)

ak

42

a

2

2

2

1 ak

.

,从而yT k(xT a)

yTxT a

1ak

2

2ak1 ak

2

22

亦即T(

a ak1 ak

2

222

2ak1 ak

2

2

).

B(a,0), kBT ,故kSM ak

由

x a y k(x a)

得S(a,2ak),所直线SM的方程为y

2ak ak(x a)

2

O,S,M三点共线当且仅当

O在直线SM上,即2ak

a 0,K 0, a

ak(

a)

2

.

故存在a

使得O,M,S三点共线.

20.解法一: (Ⅰ)依题意,得由令

f'(x) x

2

2ax b

13

x ax (2a 1)x,故f'(x) (x 1)(x 2a 1).

3

2

f'( 1) 1 2a b 0得b 2a 1.从而f(x)

f'(x) 0,得x 1或x 1 2a.

①当a>1时,

1 2a 1

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

由此得，函数f(x)的单调增区间为( ,1 2a)和( 1, )，单调减区间为(1 2a, 1)。

②当a 1时，1 2a 1此时有f'(x) 0恒成立，且仅在x 1处f'(x) 0，故函数f(x)的单调增区间为R ③当a 1时，函数f(x)的单调增区间为( , 1)和(1 2a, )，单调减区间为( 1,1 2a) 1 2a 1同理可得，综上：

当a 1时，函数f(x)的单调增区间为( ,1 2a)和( 1, )，单调减区间为(1 2a, 1)；

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当a 1时，函数f(x)的单调增区间为R；

当a 1时，函数f(x)的单调增区间为( , 1)和(1 2a, )，单调减区间为( 1,1 2a). (Ⅱ)由a 1得f(x)

13

x x 3x令f(x) x 2x 3 0得x1 1,x2 3

3

2

2

由（1）得f(x)增区间为( , 1)和(3, )，单调减区间为( 1,3)，所以函数f(x)在处x1 1,x2 3取得极值，故M（ 1,

53

）N（3, 9）。

观察f(x)的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp-f'(m)的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－f'(m)的m正负有着密切的关联；

③Kmp－f'(m)=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－f'(m)的m就是所求的t最小值，下面给出证

2

明并确定的t最小值.曲线f(x)在点P(m,f(m))处的切线斜率f'(m) m 2m 3；

线段MP的斜率Kmp

m

2

4m 53

当Kmp－f'(m)=0时，解得m 1或m 2

m

2

直线MP的方程为y (

4m 53

x

m

2

4m3

)

令g(x) f(x) (

m

2

4m 53

x

m

2

4m3

)

2

当m 2时，g'(x) x 2x在( 1,2)上只有一个零点x 0，可判断f(x)函数在( 1,0)上单调递增，在(0,2)上

单调递减，又g( 1) g(2) 0，所以g(x)在( 1,2)上没有零点，即线段MP与曲线f(x)没有异于M，P的公共点。

当m 2,3 时，g(0)

m

2

4m3

0.g(2) (m 2) 0

2

所以存在m 0,2 使得g( ) 0

即当m 2,3 时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点

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综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 1,3 解法二：

（1）同解法一.

（2）由a 1得f(x)

13

x x 3x，令f'(x) x 2x 3 0，得x1 1,x2 3

3

2

2

由（1）得的f(x)单调增区间为( , 1)和(3, )，单调减区间为( 1,3)，所以函数在处取得极值。故M( 1,

53

).N(3, 9)

m 4m 5my x 4m 3.由 3 y 1x3 x2 3x

3

2

2

4m3

(Ⅰ) 直线MP的方程为y

m

2

4m 53

x

m

2

得x3

3x (m

22

4m 4)x m

2

4m 0

线段MP与曲线

3

2

f(x)

2

有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

4m 4)x m

2

g(x) x 3x (m

4m在(-1,m)上有零点.

因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.

又g( 1) g(m) 0.因此, g(x)在( 1,m)上有零点等价于g(x)在( 1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点,即

g'(x) 3x 6x (m

2

2

4m 4) 0在(1,m)

2

内有两不相等的实数根.

＝36 1（2m 4m 4）＞0 22

3( 1) 6 (m 4m 4) 0

等价于

22

3m 6m (m 4m 4) 0

m 1

1 m 5

即 m 2或m 1,解得2 m 5

m 1

又因为 1 21.

m 3,所以m 的取值范围为(2,3)

(1)解:依题意得由M

2 3 ,

1 1

得

M 1

,故M

1

1 3

,

1 2

从而由

2 3 x 13

1 1 y 5

得

x 1 3 13 1 13 3 5 2

y 1 25 1 13 2 5 3

故

x 2, y 3,

即A(2, 3)

为所求.

(2)解:圆的方程可化为(x

1) (y 2) 4

22

.其圆心为C( 1,2),半径为2.

(3)解:当x<0时,原不等式可化为 2x

又 x 0, x不存在;

1 x 1,解得x 0

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当0

x

12

时,原不等式可化为 2x

1212

, 0 x

12;

1 x 1,解得x 0

又 0当x

x 12

x|0 x 2.

, x 2

综上,原不等式的解集为

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