第七讲 向量(二)

高一数学竞赛辅导向量(二)————应用

第七讲 向量（二）

二、向量应用 例1. 设△ABC外心为O，取点M，使OA OB OC OM.

求证：M是△ABC的垂心且此三角形的外心，垂心，重心共线. 证明：设OA a,OB b,OC c，则AM OM OA (a b c) a b c

OB c BC OC 2 AM BC (c )b( c )b ||c |b| 0

AM BC，同理BM AC, M AB，故M为△ABC的垂心.

设△ABC的重心为G，则OG (a b c)

OM 3OG且OM与OG有公共点

故O、M、G三点共线 1 3 例2. 空间四点A、B、C、D满足|AB| 3,|BC| 7,|CD| 11,|DA| 9，求AC BD的值.

AC AB BC,BD BC CD解： 则AC BD (AB BC) (BC CD) AB BC AB CD BC CD BC2

又 AD AB BC CD 则有AD2 (AB BC CD)2

AB2 BC2 CD2 2(AB BC AB CD BC CD) 1又AB BD (AD2 AB2 BC2 CD2) BC2 2

1即AC BD (AD2 AB2 BC2 CD2) 0 2

a,3a5a 4a8a，例3. 给定8个非零实数a1,a2,...,a8. 证明：下面的6个数a1a3 a2a4,a 1a5 a2a6,a1a7 a28

,8a5 a7 a5a7 a4aa中至少有一个数为非负实数. 6a

证明：定义向量OA (a1,a2),OB (a3,a4),OC (a5,a6),OD (a7,a8)这里O坐标原点，

易知，OA,OB,OC,OD中必有两个向量的夹角不超过90 ，

不妨设 OA,OB 90 于是OA OB |OA| |OB|cos OA,OB 1 0

即a1a3 a2a4 0 命题成立

（利用向量|a| |b| |a b| |a| |b|公式）

例4.

函数y.

法1.

解：y

令m (x 1,5),n (x 2,2)m n (3,3) |m n| 1

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|m| |n| |m n| 法2. 设点A(x,0),B(

1,5),C(2,2)，y AB AC BC 利用|a b|2 |a|2 |b|2公式

例5. 已知a,b R，且a b 1 0，求(a 2)2 (b 3)2的最小值.

解：法1. 令m (1,1),n (a 2,b 3)

则m n a 2 b 3 6

由|m|2 |n|2 |m n|2得2[(a 2)2 (b 3)2] 36，即(a 2)2 (b 3)2 18.

当且仅当m与n同向时取等于即a 2 b 3，即a 1,b 0时，等式成立.

法2. b a 1表示直线

1(a 2)2 (b 3)2表示直线上的点与(2,3) 2

距离的平方只有为垂直时取最小

d

(a 2)2 (b 3)2 2 18.

例6. 已知|x| 1,|y| 1，求证：112 . 1 x21 y21 xy

,b 设

a 222 由(a b) |a| |b| 11 22设4 (1 x 1 y) 22 1 x1 y

11442 . 1 x21 y22 (x2 y2)2 2xy1 xy

2 (x2 y2)法2. (1 x2)(1 y2)

2 (x2 y2) 1 (x2 y2) x2y2

(x2 y2) 22xy 22(xy 1)2 2 22222(x y) xy 12xy xy 1(xy 1)xy 1

,,例7. 已知(x2 y2 z2)(a2 b2 c2) (ax by cz)2，且x,y,z,abc为非零实数，

证：令m (x,y,z),n (a,b,c)

2 2 2 (m n) m n

即(ax by cz)2 (x2 y2 z2)(a2 b2 c2) xayz . bc

2

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xyz 当且仅当m,n同向时，即 . abc

a2b2c2a b c 例8. 已知a,b,c R，求证：.

b ca ca b2

证明：设m ,n 则m n |m| |n| a2b2c2 (a b c) 2(a b c) b ca ca b 2

a2b2c2a b c 故. b ca ca b2

例9.

已知1，求证：a2 b2 1.

证明：设m (anb)

A 1 m n 又|m| |n| 1 cos|m| |n| 1

即m//n，即ab0

aba2 b2 1.

sin4xcos4x1 (a 0,b 0). 例10. 已知aba b

sin2nxcos2nx1证明：对任何正整数n都有n 1 n 1 .

ab(a b)n 1

22 证明：令p ,q

p,q sin2x cos2x 1

|p| |q| 1 p q |p| |q|故p,q同向

22

p q

sin2xcos2x ，代入题 即ab

(sin2x cos2x) 11即 a ba b

n 1n sin2x sin2cosx2x

2x于是n 1 n 1 sinx ab a cos2x 2 cosx a n 1

n 1 1. (a b)n 1

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