数学同步练习题考试题试卷教案八年级数学整式的乘除

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第13章 整式的乘除

一、单元设计总体分析

本章教学内容

本章是继七年级代数式中学习了整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是七年级的延续和发展。本章的主要内容有同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，以及单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式、因式分解等运算，整式的乘除法既是七年级上册整式的加减的后续学习，也是分式学习的基础，因此，本章内容的地位也至关重要。多项式的乘法运算最终都转化为同底数幂的乘法进行，因此同底数幂的乘法是整式乘法的基础，所以同底数幂的运算法则和整式的乘法是本章教学的重点。而其中多项式与多项式相乘的运算要综合运用乘法分配律、交换律及幂的运算法则，是本章教学的难点。因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢固地掌握。因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。

本章教学目标

1、了解正整数指数幂的运算法则，会进行正整数指数幂的计算。

2、探索了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。

3、会由整式的乘法推导乘法公式：(a?b)(a?b)?a2?b2；(a?b)2?a2?2ab?b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。

4、通过从幂的运算到整式乘法，再到乘法公式的学习，了解乘法公式来源于整式乘法，又应有于整式乘法的辩证过程，并初步认识到事物发展过程中“特殊→一般→特殊”的一般规律。

5、探索了解单项式与单项式、多项式与单项式的法则，会进行简单的整式除法运算。

6、了解因式分解的意义及与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互

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转化的辩证思想。

7、会用提公因式法、公式法{直接用公式不超过两次}进行因式分解。

8、让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严谨性和初步解决问题的愿望与能力。

二、课时安排

本章的教学时间为22课时，建议分配如下： §13.1 幂的运算-------------------------4课时 §13.2 整式乘法-------------------------4课时 §13.3 乘法公式--------------------------4课时 §13.4 整式除法--------------------------2课时 §13.5 因式分解--------------------------2课时 复习------------------------------------------2课时 课题学习------------------------------------2课时

三、 本章教学策略

1、同底数幂的乘法课本首先从计算引出数学运算或处理现实世界中数量之间的关系时，经常会碰到同底数幂相乘的问题，由此引导学生进行合作学习，探索同底数幂相乘的规律，得出同底数幂的乘法法则。之后，又安排第2、第3课时，让学生继续通过合作学习，进一步探索幂的乘方与积的乘方的运算法则。在这三个法则的探索过程中，对乘方意义的理解和运用是关键，其中积的乘方法则的得出还需用到乘法交换律。同底数幂的除法可以引导学生通过填空，由同底数幂的乘法的逆运算，推导归纳同底数幂相除的法则。同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂相除的法则和整式的除法法则都是从“数”的相应运算入手，类比、过渡到到“式”的运算，从中探索、归纳“式”的运算法则，使新的运算规律自然而然地顺应到原有的知识之中，使原有知识得到扩充、发展。

2、单项式的乘法，课本从一个实际例子，引出单项式的乘法，并引导学生思考两个单项式相乘的运算方法和依据（两个单项式相乘运算的依据主要是乘法交换律和同底数幂的乘法法则），并在此基础上引导学生归纳得出单项式与单项式相乘的法则。之后引导学生从面积的不同表示和乘法分配律两个方面探索单项式

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与多项式相乘的运算规律，得出单项式与多项式相乘的法则。多项式的乘法，对多项式与多项式相乘的法则，课本也是通过对图形面积的不同表示直观得出的，这样处理方便学生理解，符合初中学生形象思维丰富的特点。之后让学生想一想，用乘法分配律解释法则，提高学生对多项式相乘法则的理性理解。整式的乘法运算规律的探索，从最简单的同底数幂的乘法运算规律的探索开始，步步深入——研究幂的乘方、积的乘方、两个单项式的乘法、单项式与多项式的乘法，逐步过渡到多项式与多项式的乘法，使学生感到，每一个新规律的探索，都可以用原有知识进行（幂的意义、乘法的交换律、分配律），只需归纳其中的规律，使原有知识不断丰富、完善。在这里，用原有知识探索发现新的规律，新发现的规律又是下一个新规律探索的基础，学习层次得到不断提高。整式除法的学习也是同样，从同底数幂相除运算法则的探索开始，到单项式与单项式相除、多项式与单项式相除的运算规律探索，步步深入。

3、乘法公式，实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中经常用到，就把它们作为公式。课本采用引导学生观察相乘的两个多项式的系数和字母的特点，以及所得多项式的系数和字母的特点，比较它们之间的关系，得出平方差公式和两数和的完全平方公式。对于两数差的完全平方公式则采用代换的方法得出，这是一种重要的思想方法。课本还分别安排了让学生尝试用图形的面积直观验证平方差公式和两数和的完全平方公式成立，目的使学生了解公式的几何背景。课本在平方差公式之后安排例2，用平方差公式进行两个特殊数值的相乘计算，说明乘法公式还可用于简便计算。

4、整式的除法是整式乘法的逆运算，引导学生考虑两个单项式相乘的法则，并得出单项式除以单项式的法则。之后安排做一做，引导学生将数的除法类比到式的除法，然后归纳多项式除以单项式的运算方法，得出运算法则。

5、因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢固地掌握。因式分解的理论比较多(如因式分解的因子存在性与唯一性)，分解因式的方法很多；变化技巧较高，这是本部分知识的难点，教学时一定要按照教学要求教学，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住

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这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。因式分解是整式乘法的逆运算，课本安排学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构。

四、课时教学

13.1 幂的运算

同底数幂的乘法

一、素质教育目标

1．理解同底数幂乘法的性质，掌握同底数幂乘法的运算性质． 2．能够熟练运用性质进行计算．

3．通过推导运算性质训练学生的抽象思维能力．

4．通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．

5．通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度． 二、学法引导

1．教学方法：尝试指导法、探究法．

2．学生学法：运用归纳法由特殊性推导出公式所具有的一般性，在探究规律过程中增进时知识的理解．

三、教学重点·难点： （－）重点 幂的运算性质． （二）难点

有关字母的广泛含义及“性质”的正确使用． 四、课时安排 一课时．

五、师生互动活动设计

1．复习幂的意义，并由此引入同底数幂的乘法．

2．通过一组同底数幂的乘法的练习，努力探究其规律，在探究过程中理解公式的意义．

3．教师示范板书，学生进行巩固性练习，以强化学生对公式的掌握． 六、教学步骤

1．创设情境，复习导入

表示的意义是什么？其中 、 、

分别叫做什么？

叫做幂），同时，教师板书．

师生活动：学生回答（ 叫底数， 叫指数， 个 提问：1）

表示什么？

34 ． ． 可以写成什么形式？______________

(?2)?4 2）计算：3? 3?

【教法说明】此问题的提出，目的是通过回忆旧知识，为完成下面的尝试题和学习本节知识提

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供必要的知识准备．

2．尝试解题，探索规律

（１）式子2?2?的意义是什么？（2）这个积中的两个因式有何特点？ 学生回答：（１）2与2的积（2）底数相同 （2）式子2?2?怎样计算？

2?234343434?(2?2?2)?(2?2?2?2)?2

34347 学生活动：学生自己思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．

同样的：（3）计算：（1）5?5? （2）a?a? （3）amn?a?

师生共同总结： （ 都是正整数）

请同学们试着用文字概括这个性质：同底数幂相乘，底数不变、指数相加 3．尝试反馈，理解新知 例1 计算：

（1）10?10 （2）a?a （3）a?a?a 练习：

课本：P19 练习1、2题

计算：

（1）

(?2)?(?2)3453834335 （2）

(x?y)?(x?y)24

（3）a?b?a

注意引导学生符号的确定和整体思想的培养； 4．知识拓展：

例3 （1）a?a?a?a?a

（2）am?n7()2()4?a()?a ?3,2n() （3）已知：2求

5．学习小结：

(1)2m?5，

m?n;(2)2m?1

学生总结本节所学内容：

（ 都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变、指数相加 6．布置作业：略

幂的乘方

一、教学目标

1．理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算． 2．通过推导性质培养学生的抽象思维能力．

3．通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力．

4．通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．

5．通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度．

二、学法引导 1．教学方法：引导发现法、尝试指导法．

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2．学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，

才可以较容易地应用公式解题． 三、教学重点·难点 （－）重点

准确掌握幂的乘方法则及其应用． （二）难点

同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用． 四、课时安排 一课时．

五、师生互动活动设计

1．复习同底数幂乘法法则并进行计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解．

2．教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质．

3．设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解． 六、教学过程

1．复习引入

（1）叙述同底数幂乘法法则并用字母表示． （2）计算：① ② 2．探索新知，讲授新课

（1）引入新课： 计算：（1）

(2)?2?2?23233()

（2）(32)3?32?32?32?3() （3）(a3)4?a3?a3?a3?a3?a() 由上述练习猜想：(am)n?？

（2）幂的乘方法则 字母表示：

（

， 都是正整数）

语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据． 3．尝试反馈，理解新知 例1 计算：

（1）(10) （2）(b) 练习：

课本：P20 练习1、2题 4．知识拓展：

1、计算：

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32(1)[(x?y)] （2）(a2)2?(a3)2

2、错例辨析：下列各式的计算中，正确的是（ ） A． C．5．知识小结： 1、 幂的乘方：

（

， 都是正整数）

B．

D．

语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

2、同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：

同底幂乘法 幂的乘方 幂运算种类 乘法 乘方 指数运算种类 加法 乘法 6．布置作业：略

积的乘方

一、教学目标

1．进一步理解积的乘方的运算性质，准确掌握积的乘方的运算性质，熟练应用这一性质进行有关计算．

2．通过推导性质进一步训练学生的抽象思维能力，通过完成例2，培养学生综合运用知识的能力．

3．培养实事求是、严谨、认真、务实的学习态度． 4．渗透数学公式的结构美、和谐美． 二、学法引导

1．教学方法：引导发现法、探究法、讲练法．

2．学生学法：本节主要学习幂的乘方性质和积的乘方性质，到现在为止，我们共学习了幂的三个运算性质．进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的三个运算性质，深刻理解每种运算的意义，避免互相混淆，有时逆用幂的三个运算性质，还可简化运算． 三、教学重点、难点 （－）重点

准确掌握积的乘方的运算性质． （二）难点

用数学语言概括运算性质． 四、课时安排 一课时．

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五、师生互动活动设计

1．通过绦习，以达到复习同底数幂的乘法、幂的乘方这两个性质的目的，让学生互问互答．

2．推导积的乘方的公式，在推导过程中让学生说出每一步的理由，以便于学生对公式的准确理解．

3．通过举例来说明积的乘方性质应如何正确使用，师生共练以达到熟练掌握． 4．多种题型的设计，让学生能从不同的角度全面准确地理解和运用该性质． 六、教学过程

1．创设情境，复习导入

前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个寨的运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质： 填空： （1）

（2）

（3） （4） 学生活动：4个学生说出答案，同桌同学给予判断．

【教法说明】通过完成本练习，进一步巩固、理解同底数幂的乘法，幂的乘方，同时也为顺利完成本节例2做个铺垫． 2．探索新知，讲授新课 我们知道

表示 个 相乘，那么

中 具有广泛性）

表示什么呢？（注意： 学生回答时，教师板书． 也就是

这又根据什么呢？（学生回答乘法交换律、结合律）

请同学们回答(ab)2,(ab)4的结果怎样？那么

学生活动：学生完成填空．

（ 是正整数）

、

；____________个

（ 是正整数）如何计算呢？

运用了________律和________律

________个 ________个

刚才我们计算的方）

是什么运算？（答：乘方运算）什么的乘方？（积的乘

通过刚才的推导，我们已经得到了积的乘方的运算性质． 请同学们用文字叙述的形式把它概括出来．

学生活动：学生总结，并要求同桌相互交流，互相纠正补充．达成一致后，举手回答，其他学生思考，准备更正或补充．

【教法说明】通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及口头表达能力．

教师根据学生的概括给予肯定或否定，纠正后板书．

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

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3．尝试反馈，理解新知 例1 计算：

（1）(2b)3 （2）(2?a3)2 （3）(?a)3 （4）(?3x)4 练习：

课本：P21 练习1、2题 4．知识拓展：

（一）提出问题：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如 学生活动：在运算的基础上给出答案．

（3） （4）

学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程． 解：（1）原式 （2）原式

（3）原式

（二）（2）下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ ①

③

②

④a3?a3?a6

13 ⑤a3?a5?a15 ⑥(b)?218b

3 ⑦(a?a2)3?a5 ⑧(?b2)3?(?b3)2 （三） 计算： （1）

（2）

学生活动：学生分成两组，每组各做一题，各派一个学生板演． 【教法说明】

学生已具备综合运用性质的能力，让学生尝试解题，目的是训练学生分析问题的能力．分组练习，不仅能激发学生的兴趣，同时也可培养学生的集体荣誉感．学生对知识的印象会更深刻．

5．知识小结：

学生总结所学的三个公式： 6．布置作业：略

（ （

都是正整数）

， 都是正整数）

（ 是正整数）

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同底数幂的除法

一、教学目标

1．掌握同底数幂的除法运算性质.

2．运用同底数幂的除法运算法则，熟练、准确地进行计算. 3．通过总结除法的运算法则，培养学生的抽象概括能力. 4．通过例题和习题，训练学生的综合解题能力和计算能力. 二、学法引导

1．教学方法：引导发现法、探究法、讲练法．

2．学生学法：1．根据除法是乘法的逆运算，从具体的同底数的幂的除法，，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质.让学生自己归纳出同底数的幂的除法法则.

2．性质归纳出后，不要急于讲例题，要对法则做几点说明、强调，以引起学生的注意.（1）要强调底数 是不等于零的，这是因为，若 为零，则除数为零，除法就没有意义了.（2）本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数

，要让学生运用时予以注意. 三、教学重点难点 1．重点

准确、熟练地运用法则进行计算． 2．难点

根据乘、除互逆的运算关系得出法则． 三、 教学过程 1．创设情境，复习导入

前面我们学习了同底数幂的乘法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答得快而且准确．（1）叙述同底数幂的乘法性质． （2）计算：①

②

③

都是正整数，并且

学生活动：学生回答上述问题．

．（m，n都是正整数）

【教法说明】 通过复习引起学生回忆，巩固同底数幂的乘法性质，同时为本节的学习打下基础．

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2．提出问题，引出新知

思考问题：怎样计算同底数幂的除法？：

（1）

2?252 （2）

107?103 （3）

a?a73

学生回答。问：答案如何计算出来的？ 方法如下： （1）

2?2?2235

那么，根据除法是乘法的逆运算可得 （2）直接计算： （3） （4）

2?2522?2?235232?2?32?4?8?2322352

2?2?2?2?2?22?2?2?2?22?252

??2?2?2?23由练习结果猜想： 如果： 那么 （板书）

.

，当m，n都是正整数时，如何计算呢？

学生活动：同桌研究讨论，并试着推导得出结论． 师生共同总结：

教师把结论写在黑板上．（注阅读课本P22，用除法是乘法的逆运算来说明） 请同学们试着用文字概括这个性质：

【公式分析与说明】 提出问题：在运算过程当中，除数能否为0？ 学生回答：不能．（并说明理由） 由此得出：同底数幂相除，底数n为正整数，且m＞n，最后综合得出：

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．教师指出在我们所学知识范围内，公式中的m、

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一般地，

这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减. 4．尝试反馈，理解新知 例1 计算： （1）

a?a83 （2）

(?a)10?(?a)3 （3）

(2a)?(2a)74

由3个学生板演完成之后，由学生判断板演是否正确． 练习：

1、 课本：P23 练习1、2题 2、 课本：P23习题6、5题

5．知识小结：

这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减. 6．布置作业：略

13．2 整式的乘法

整式的乘法（一）

教学目标： 知识与技能

1、在具体情境中了解单项式乘法的意义； 2、理解单项式乘法法则；

3、会利用法则进行单项式的乘法运算。 过程与方法

1、验算探索单项式乘法运算法则的过程，理解算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想；

2、发展学生有条理的思考能力和语言表达能力。 情感、态度与价值观

体验探求数学问题的过程，体验转化的思想方法，获得成就感，提升学习动力源。 教学重点：单项式乘法法则及其应用。 教学观点：理解运算法则及其探索过程。 教学过程：

一、问题引入：

1、现有长为x米，宽为a米的矩形，其面积为 平方米。

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2、长为x米，宽为2a米的矩形，面积为 平方米。

3、长为2x米，宽为3a米的矩形，面积为 平方米。

教师活动 在这里，求矩形的面积，会遇到 a?x,x?2a,2x?3a,这是什么运算呢？ 二、探索单项式乘单项式的运算法则：

学生活动 因式都是单项式，它们相乘，是单项式与单项式相乘。 对于引例中的问题，我们可以借助于图示帮助得出结果。 (1)a?x?ax (2)x?2a?2ax (3)2x?3a?6ax 三、过手训练： 例1：计算：

(1)(2xy)?(23213xy)

(2)(?2ab)?(?3a) (3)(4?10)?(5?10) (4)(?3ab)?(?ab) (5)(?23abc)?(?2354223253152c)?(abc) 43教师活动 （写出完整解答） 一、点评： 1、先确定结果的符号； 2、系数对系数，指数对指数，系数相乘，指数相加。 3、每个单项式相乘，法则仍适用，结果必为单项式。 课堂练习： 1、计算：(1)32a?(4ab) (2)(?3xy)?(?(3)13abc?(?22232学生活动 运用单项式乘以单项式的运算法则，完成解答。 23xyz)

45abc)

2338ac)?(?3

2、一个长方体形储货仓长为4×10㎝，宽为3×103㎝，高为5×102㎝，求这个货仓的

体积。

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3、讨论、探究： 若（am?1bn?2）?(a2n?1?b)?ab，求m?n的值。

53四、小结：

利用乘法交换律和综合律及同底数幂的乘法探索出单项式乘以单项式的运算法则。 五、课后作业：P28 习题1

13．2整式的乘法(二)

教学目标: 1、在具体情境中了解单项式与多项式乘法的意义； 2、理解单项式乘以多项式的运算法则；

3、会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算。 教学重点：单项式与多项式的乘法运算。

教学难点：体会乘法分配律的作用和转化的数学思想。 教学过程： 一、复习引入：

1、复习单项式与单项式的乘法法则：

计算：(1)(?x2)?x3?(?2y)3?(2xy)2?(?x)3y (2)?2(?abc)?2、问题：

如图所示，求图中阴影部分的面积： 阴影部分是矩形，其面积可表示为 (mx?a?b)?y平方单位。

这里的y(mx?a?b) 表示一个单项式与一个多项乘积。

二、探索单项式与多项式的法则： 教师活动 启发学生讨y(mx?a?b)?y?mx?ya?yb2212a(bc)?(?abc)?(?abc)

332式的

学生活动 论 讨论上述问题中阴影部分面积的求法： 1）直接用阴影部分矩形的实际长和宽来求，即表达式为： y(mx?a?b) 2）把阴影部分面积转化为大矩形的面积减去两块空的矩形的面积，即：S阴?y?mx?ya?yb 解释y(mx?a?b)?y?mx?ya?yb 成立式子变形的理由——乘法分配律。 用自己的语言描述单项式与多项式相乘的运算法则。 进而引导学生解释，并用数学 描述单项式乘以多项式的运算法则。 m(a?b?c)?m?a?mb?mc 三、过手训练：

1、例1：计算：

(1)2ab(5ab?3ab) 32(3)?6x(x?3y); (4)?2a(222(2)(2ab?2ab)?21ab;

12ab?b)

2（写出完整解答）

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师生互动点评：

（1）、多项式每一项要包括前面的符号；

（2）、单项式必须与多项式中每一项相乘，结果的项数与原多项式项数一致； （3）、单项式系数为负时，改变多项式每项的符号。

2、随堂练习：

（1）计算：

①2xy2?(?x2?2y2?1) ②?2a4b7c?(a3bc?5332ac?1)

2③3xy?2xy?x(y?2)?x3、解答题：

?

④an?1(an?1?an?1?an?3)

(1)如果y?Rx?b,当x?R?1时，求y的值。

(2)若?2xy(?xy?3xy)?2xy?6xy,求m.n

2m3523n （3）计算图中的阴影部分的面积：

（4）求证对于任意自然数n代数式

n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。

四、课时小结：

1、单项式乘以多项式的乘法法则及注意事项； 2、转化的数学思想。 五、课后作业： P28 习题3,4

13．2整式的乘法（三）

教学目标：

1、在具体情境中了解多项式与单项式的相乘的意义； 2、理解多项式与单项式相乘的运算法则； 3、会进行多项式与多项式的乘法运算。 过程与方法

1、经历探索多项式与单项式相乘的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用以及“整体”和“转化”的数学思想；

2、通过对乘法法则的探索，归纳与描述，发展有条理思考的能力和语言表达能力；情感、态度与价值观,在探究乘法法则的过程中，体会“整体”和“转化”的思想，体验学习和把握数学问题的方法，树立学好数学的信心，培养学习数学的兴趣。 教学重点：多项式的乘法法则及其应用。

教学难点：探索多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算。 教学过程：

一、复习引入：

1、复习单项式乘以多项式的法则：

计算：(1)?2x(1?x)

(2)(4x?249x?1)?(?9x)

2 (3)?3x??x(4x?x)?3(x?1)2、问题引入：

?

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求各个图示给出的矩形的面积。 学生活动：

图（1）所示的矩形面积为m(a+n)=ma+mn

图（2）所示的矩形面积为b(a+n)=ba+bn 图（3）所示的矩形面积为(m+b)(a+n) 二、探索多项式乘以多项式的运算法则：

师生互动：呈接上问，另一方面，图（3）所示的矩形面积是图（1）、（2）所示矩形面积之和。

所以有：(m?b)(a?n)?m(a?n)?b(a?n)

学生小结：这是多项式乘以单项式，这一过程，可以看成是把第二个多项式看成一个整体，用

第一个多项式里各项分别去乘以第二个多项式。

教师启发学生用数学式子或用自己的语言归纳、描述多项式乘以多项式的运算法则。如： (m?n)(a?b?c)?m(a?b?c)?n(a?b?c)?ma?mb?mc?na?nb?nc

利用乘法分配律，用一个多项式里的各项分别去乘以另一个多项式里的每一项，再把所得的积相加。

三、过手训练：

1、例1、计算：(1)(1?x)(0.6?x) (2)(2x?y)(x?y)

(3)(x?y) (4)(?2x?3) (5)(x?2)(y?3)?(x?1)(y?2)

22解：（写出完整解答）

师生点评：（1）、用一个多项式的每一项乘遍另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数

应是原来两个多项式项数之积。

（2）、多项式里的每一项都必须是带上符号的单项式。 （3）、展开后看有同类项要合并，化成最简形式。

随堂练习：（1）、计算：①(m?2n)(m?2n) ②(2n?5)(n?3) ③(x?2y)

④(x?a)(x?b) ⑤(ax?b)(cx?d)

（2）、①若(mx?y)(x?y)?2x?nxy?y, 求m、n

②、已知(3x?2x?1)(x?b)的结果中不会成x项，求b的值。

（3）、①梯形的上底为(4n?3m)厘米，下底为(2m?5n)厘米，高为(m?2n) 厘米，求梯形的面积。

②为了参加学校的摄影大赛，小明把全班同学参加植树活动的照片放大为长a㎝，宽为

3422222a㎝的大小，又精心地在四周加上了2㎝宽的木框，问小明的这幅作品的面积为多少？

四、课时小结：

1、知识与技能：多项式与单项式相乘的运算法则及其应用。 2、学生谈学习感受。

恬然淡定 慎思笃行

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五、课后作业：P28 习题6

13.4 整式的除法

一、教学目标

单项式除以单项式及多项式除以单项式的计算. 二、教学重点

单项式除以单项式及多项式除以单项式的计算. 三、教学难点

单项式除以单项式及多项式除以单项式的计算方法. 四、教学方法

讨论、交流学习. 五、教学过程

(一)引入新课

大家已经会做同底数幂的除法，下面再来计算几个题目： (1) 1010÷108； (2) x6÷x3； (3) (-a)6÷(-a)2； (4)(x2)3÷x4. (二)新课 1.问题的提出. 1）∵3xy.2xy=6xy

3

4

2

2

3

3

4

∴6xy÷3xy=_______①_

343

6xy÷2xy=_________②

引导学生观察得出：两个单项式相除，只需将系数及同底数幂分别相除. 再思考： -21a2b3c÷3ab.

师：大家分析一下此题中对c该怎么办? 生：留在商中.

232

2）∵2x(x+3x+4)=（2x+6x+8x）

∴（2x3+6x2+8x）÷2x=______________

观察（2x+6x+8x）÷2x= x+3x+4 的条件和结论让学生思考：多项式除以单项式时，商的每一项与被除式和除式之间的关系。从而总结出：：多项式除以单项式时，先把多项式中每个单项式依次除以单项式，再把商相加.

(三)巩固、发展

1、例题：老师完成（法则的运用方法及作题格式）

练习：学生独立完成，老师巡视指导和批改。发现问题及时讲评。 习题：视具体情况而定，可做课堂练习或留做作业。 2、学生提问：

疑难问题提问或由学生命题，大家一起来完成。

3.探索思考题：

师：请同学们看的问题：地球的质量约为5.98×1024千克，木星的质量约为1.9×1027千克，问木星的质量约是地球的多少倍?(结果保留三个有效数字)

2724

师：这个题目计算本不难，只需做一个除法： (1.9×10)÷(5.98×10). 生：对1.9和5.98不知该怎么办?

师：1.9和5.98看起来有点像什么呢?

生：有点像单项式3x中的系数3.

师：对，单项式相除时，?系数是怎样处理的? 生：系数除以系数

2727

师：我们也可以把1.9×10中的1.9看成是10的系数.请大家讨论分析这题该怎么计算?

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3

2

2

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(学生分组讨论完成) (四)补充作业1、（3x

n+1

-bx+

n

13x）÷（

n-1

13x）

n-2

2、（-2y5）2÷（2y3）= 。 3、（-2x2y）4·5x2y÷（-

12x4y2）2

13.5 因式分解

因式分解(1)----提公因式法

一、教学内容：

因式分解的概念及提公因式法分解因式 二、教学目标

1、知识与技能目标：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的联系与区别；使学生理解并熟练运用提公因式法分解因式。

2、过程与方法目标：培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力。

3、情感与态度目标：通过学生自行探求解题途径，培养学生的科学精神和创新意识。 三、教学重点和难点

教学重点：因式分解的概念及提公因式法。 教学难点：正确找出多项式各项的公因式。 四、教学方法选择与分析

1、利用知识的迁移，启发学生的思维。

2、采用自主探究式教学方式，培养学生的创新能力。

五、教学过程与设计

第一个环节：复习与激趣 教师活动：

1、提问题：乘法对加法的分配律用字母怎样表示？

2、学生讨论题：630能被那些数整除？并说说你是怎么想的。

3、猜想题：既然有些数能分解因数，那么类似地有些多项式可以分解成几个整式的积吗？请同学们猜想。 学生活动：

1、对已有知识加深印象，为学习新知识作准备。 2、分组讨论，各抒己见，大胆猜想。 设计意图：

1、完整学生的知识点。

2、激发学生的学习兴趣和求知欲。

第二个环节：教学因式分解的概念 教师活动：

1、探究题：请同学们把下列多项式写成整式的积的形式（投影） （1）x+x=_ (2)x-1=_

2、引导学生分析上面式子的特点，归纳因式分解的概念。

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。

3、引导学生分析整式乘法与因式分解的联系与区别。

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2

2

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联系：都是由几个相同的整式组成的等式。

区别：相同整式的位置比同，两者是相反的恒等变形。 例1 下列各式那些是因式分解？

（1）x2+x=x(x+1) (2)a(a-b)=a2-ab (3)(a+3)(a-3)=a-9 (4)a-2a+1=a(a-2)+1 学生活动：

1、完成探究题。

2、分组讨论探究题中式子的特点，试说出因式分解的定义。 3、分组讨论因式分解与整式乘法的联系与区别。 4、完成例1。

设计意图：培养学生自主学习，积极探究的精神、合作交流的意识和分析归纳的能力。

第三个环节：教学提公因式法分解因式 教师活动：

1、问题：多项式ma+mb+mc有什么特点？

2、指导学生归纳公因式的概念，强调公因式是各项都有的公共因式。 例2 指出下列多项式的公因式： (1) a2-a (2) 5a2b-ab2 (3) 4m2np-2mn2q (4) a2b-ab2

强调找公因式的方法：公因式的系数应取最大公约数；字母取相同字母且字的指数取最低次数。 3、引入提公因式法分解因式。

整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc 逆变形得到

因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)

说明：多项式ma+mb+mc各项都有的公因式m可以提到括号外面，写成m（a+b+c）的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 4、提公因式法分解因式典型举例。 例3 把下列各式分解因式：

(1) 8ab-12abc (2)3x-6xy+x (3)2a(b+c)-3(b+c)

说明：1）提公因式法分解因式的步骤：第一步：找出公因式。第二步：提公因式。

2）当多项式的一项是公因式时，这项应看成它与1的积，提公因式后剩下的是1，不能漏掉。 3）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式，找公因式时要注意观察。 5、 提问：如何检查因式分解是否正确？

学生活动：

学生在教师启发下，思考探究与教师共同完成例3，掌握找公因式的方法和提公因式法分解因式的方法及应注意的问题。 设计意图：

1、注重师生互动与知识落实的平衡。 2、让学生学会发现与归纳。

第四个环节：课堂巩固练习 1．把下列各式分解因式：

（1）8m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2

(3)2a(y-z)-3b(z-y) (4)p(a2+b2)-q(a2+b2)

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3

2

3

2

2

2

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2.先分解因式，再求值。

4a2(x+7)-3(x+7),其中a=5,x=3

学生独立完成，教师巡回辅导，反馈纠错。

第五个环节：小结 （1）因式分解的概念

（2）因式分解与整式乘法的联系与区别 （3）公因式的意义及找公因式的方法 （4）提公因式法分解因式及应注意的问题

因式分解 (2)---运用公式法

一、教学目标 1、在掌握工解因式分解意义的基础上,会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解 .

2、在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力 , 用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力

3、进一步体验 \整体 \的思想 , 培养 \换元 \的意识 .

二、教学重点与难点

重点：运用公式法进行因式分解 .

难点：观察多项式的特点,判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法,并完整地进行分解 .

三、教学准备：要求学生对平方差公式和完全平方公式准确理解 .

四、教学设计

问题思考(探究)引入 1、什么叫因式分解?

2、你能将多项式x2-4 与多项式 y2-25 分解因式吗 ?这两个多项式有什么共同的特点 ? 对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形,可引导比较它与整式乘法的关系 。 对于问题 2 要求学生先进行思考 , 教师可视情况作适当的提示,在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点。

特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 , 对于这种形式的多项式 , 可以利用平方差公式来分解因式。

即：(a+b)(a-b)= a-b2反过来就是：a-b2= (a+b)(a-b) 要求学生具体说说这个公式的意义，教师用语句清楚地进行表述。

例 1 分解因式：

（1） 4x2-9 （2）

94922x-0.01y

22（3）(x+p )2-(x+q)2

分析： 注意引导学生观察这3个多项式的项数,每个项可以看成是什么“东西”的平方,使之与平方差公式进行对照,确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后,再用平方差公式进行因式分解。

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能否用平方差公式进行因式分解 , 取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征,即两个数的平方差,所以要强调多项式是否可化为( )2-( )2的形式 .括号里的\东西 \是一个整体,它可以是具体的数或单项式或多项式 , 如（3) 题中应是多项式了。

例 2 分解因式

(1)x4?y4 （2）a3b?ab 分析：

(1) 先把它写成平方差的形式,再分解因式，注意它的第2次分解。

(2) 现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解。 学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用。

问题探究与研究性学习

问题：你能将多项式 a2+2ab 十 b2, 和α2-2ab十b2 因式分解吗 ? 这两个多项式有什么特

点 ?

建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响 , 学生对于这两个多项式因式分解比

较容易想到用完全平方公式,学生容易接受,教师要把重点放在研究公式的特征上来。。

可采用让学生自主讨论的方式进行教学,引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究。

例 3 分解因式

(1) 16x2+24x+9 (2) -x+4xy-4y2

训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说和做，引导学生把多项式与

公式进行比较找出不同点，把多项式向公式的方向转化。

例4 分解因式

(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+ 36 学生仔细观察多项式的特点,教师适当提醒和指导,要从公式的形式和特点上进行比较.( 可把a+b 看作一个整体，设a+b=m)

练习 : 教科书第 41 页的练习题2。

小结： 1.举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征。

2. 谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤。 3. 谈谈多项式因式分解的注意点。

布置作业：

教科书第 41 页习题 13.5 第1、3、4 题

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