平行四边形在综合题中的应用(4)

2017年08月06日风的初中数学组卷

一．解答题（共25小题）

1．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点． （1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

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3．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D． （1）求抛物线的解析式；

（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．

4．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′． （1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）在（1）的情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标； （3）在（1）的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐

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标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

5．如图，抛物线y=﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D

与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． （1）求点A、点B、点C的坐标； （2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；

（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒

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个单位的速度在

直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．

7．如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的倍． ①求点P的坐标；

②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；

（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

8．如图，已知二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），（﹣4，4）两点． （1）求二次函数y1的解析式；

（2）将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y=m（m＞0）交y2于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；

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（3）在（2）的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y=m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．

9．如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）交x轴与A，B两点（点A在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CEF的面积为6． （1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

10．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行

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AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标； （4）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点． （1）请直接写出点B、D的坐标：B（ ），D（ ）； （2）求抛物线的解析式； （3）求证：ED是⊙P的切线；

（4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形．

22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0）．C（0，﹣3），对称轴是直线x=l． （1）求二次函数的解析式；

（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA

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的面积最大；

（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

23．如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），点B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；

（2）P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在动点D在抛物线上，动点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边，以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2； （1）求抛物线的函数表达式；

（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的最小，求此时P点坐标

及△APC周长；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四

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边形是平行四边形，求点D的坐标．（直接写出结果）

25．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

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2017年08月06日风的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共25小题）

1．（2016?襄阳）如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．

（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？

【分析】（1）分别令y=0和x=0代入y=﹣x+3即可求出B和C的坐标，然后设抛物线的交点式为y=a（x+2）（x﹣4），最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出a的值和顶点D的坐标；

（2）若四边形DEFP为平行四边形时，则DP∥BC，设直线DP的解析式为y=mx+n，则m=﹣，求出直线DP的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的坐标；

（3）由题意可知，0≤t≤6，若△QMN为等腰直角三角形，则共有三种情况，①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．

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【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣x+3 ∴y=3， ∴C（0，3）， 令y=0代入y=﹣x+3 ∴x=4， ∴B（4，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4）， 把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4）， ∴a=﹣，

∴抛物线的解析式为：y=∴顶点D的坐标为（1，

（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3， ）；

（2）当DP∥BC时，

此时四边形DEFP是平行四边形， 设直线DP的解析式为y=mx+n， ∵直线BC的解析式为：y=﹣x+3， ∴m=﹣， ∴y=﹣x+n， 把D（1，∴n=

，

，

）代入y=﹣x+n，

∴直线DP的解析式为y=﹣x+

∴联立，

解得：x=3或x=1（舍去）， ∴把x=3代入y=﹣x+

，

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y=，

）；

∴P的坐标为（3，

（3）由题意可知：0≤t≤6， 设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，

把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1， 得：

，

∴解得，

∴直线AC的解析式为：y=x+3， 由题意知：QB=t， 如图1，当∠NMQ=90°， ∴OQ=4﹣t，

令x=4﹣t代入y=﹣x+3， ∴y=t，

∴M（4﹣t，t）， ∵MN∥x轴， ∴N的纵坐标为t， 把y=t代入y=x+3， ∴x=t﹣2， ∴N（t﹣2，t），

∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t， ∵MQ∥OC， ∴△BQM∽△BOC，

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∴，

∴MQ=t， 当MN=MQ时， ∴6﹣t=t， ∴t=，

此时QB=，符合题意，

如图2，当∠QNM=90°时， ∵QB=t，

∴点Q的坐标为（4﹣t，0） ∴令x=4﹣t代入y=x+3， ∴y=9﹣t，

∴N（4﹣t，9﹣t）， ∵MN∥x轴，

∴点M的纵坐标为9﹣t， ∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3， ∴x=2t﹣8，

∴M（2t﹣8，9﹣t），

∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12， ∵NQ∥OC， ∴△AQN∽△AOC， ∴

=

，

∴NQ=9﹣t， 当NQ=MN时， ∴9﹣t=3t﹣12，

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∴t=，

，符合题意

∴此时QB=

如图3，当∠NQM=90°， 过点Q作QE⊥MN于点E， 过点M作MF⊥x轴于点F， 设QE=a，

令y=a代入y=﹣x+3， ∴x=4﹣

，

∴M（4﹣a，a）， 令y=a代入y=x+3， ∴x=∴N（

﹣2， ﹣2，a），

∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣2a， 当MN=2QE时， ∴6﹣2a=2a， ∴a=， ∴MF=QE=， ∵MF∥OC， ∴△BMF∽△BCO， ∴

=

，

∴BF=2，

∴QB=QF+BF=+2=， ∴t=，此情况符合题意，

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综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或．

【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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2．（2016?泰安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；

（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S

四边形APCD

=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；

（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9， ∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5， ∴a=﹣1，

y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5， （2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0， ∴x1=﹣1，x2=5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

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设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（0，5），B（5，0）， ∴m=﹣1，n=5，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+5； 设P（x，﹣x2+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），

∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x， ∵AC=4，

∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x， ∴当x=﹣∴即：点P（，（3）如图，

=时，

）时，S四边形APCD最大=

，

过M作MH垂直于对称轴，垂足为H， ∵MN∥AE，MN=AE， ∴△HMN≌△AOE， ∴HM=OE=1，

∴M点的横坐标为x=3或x=1， 当x=1时，M点纵坐标为8， 当x=3时，M点纵坐标为8，

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∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5， ∵MN∥AE，

∴MN的解析式为y=5x+b， ∵点N在抛物线对称轴x=2上， ∴N（2，10+b）， ∵AE2=OA2+OE2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2，

∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2 ∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称， ∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7， ∴10+b=13或10+b=3

∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）

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，

当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．

3．（2016?广安）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D． （1）求抛物线的解析式；

（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．

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【分析】（1）先确定出点A坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式； （2）先确定出PD=|m2+4m|，当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，得到|m2+4m|=3，分两种情况进行讨论计算即可；

（3）由△PAM为等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，从而求出直线AP的解析式，最后求出直线AP和抛物线的交点坐标即可．

【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上， ∴A（0，﹣3）， ∵B（﹣4，﹣5）， ∴∴

，

，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3， （2）存在，

设P（m，m2+m﹣3），（m＜0）， ∴D（m，m﹣3）， ∴PD=|m2+4m| ∵PD∥AO，

∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形， ∴|m2+4m|=3， ①当m2+4m=3时， ∴m1=﹣2﹣

，m2=﹣2+

，

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（舍），

∴m2+m﹣3=﹣1﹣

∴P（﹣2﹣，﹣1﹣），

②当m2+4m=﹣3时， ∴m1=﹣1，m2=﹣3， Ⅰ、m1=﹣1， ∴m2+m﹣3=﹣， ∴P（﹣1，﹣），

Ⅱ、m2=﹣3， ∴m2+m﹣3=﹣， ∴P（﹣3，﹣

），

∴点P的坐标为（﹣2﹣，﹣1﹣

），（﹣1，﹣

），（﹣3，﹣

（3）方法一，如图，

∵△PAM为等腰直角三角形， ∴∠BAP=45°，

∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得， 设直线AP解析式为y=kx﹣3， ∵直线AB解析式为y=x﹣3，

∴k==3，

∴直线AP解析式为y=3x﹣3， 联立

，

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）．

解得：x1=﹣1，x2=4． ∴A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）∵点C与点D关于x轴对称， ∴D（0，﹣2）．

设直线BD的解析式为y=kx﹣2． ∵将（4，0）代入得：4k﹣2=0， ∴k=．

∴直线BD的解析式为y=x﹣2． （3）如图1所示：

∵QM∥DC，

∴当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形． 设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2）， 则M（m，m﹣2），

∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=4， 解得：m=2，m=0（不合题意，舍去）， ∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2）， ∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形， ∴①当∠QBD=90°时，

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由勾股定理得：BQ2+BD2=DQ2，

即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20=m2+（﹣m2+m+2+2）2， 解得：m=3，m=4（不合题意，舍去）， ∴Q（3，2）； ②当∠QDB=90°时，

由勾股定理得：BQ2=BD2+DQ2，

即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2=20+m2+（﹣m2+m+2+2）2， 解得：m=8，m=﹣1， ∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），

综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

6．（2016?营口）如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；

（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒

个单位的速度在

直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．

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【分析】（1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；

（2）方法一：先求出∠DBE=45°，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标；

方法二：先判断出∠BCD=90°，进而得出△OBE∽△CBD，即可求出OE即可得出结论；

（3）分两种情况讨论计算①CE为平行四边形的边，用MN=CE建立方程求出点M坐标，从而求出时间t，

②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M坐标即可．

【解答】解：（1）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线， ∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， ∵点C（0，3）在抛物线上， ∴3=﹣3a， ∴a=﹣1

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为D（1，4）， （2）方法一：∵tan （α﹣β）=1， ∴α﹣β=45°，

∵∠DBO=α，∠EBO=β， ∴∠DBE=45°，

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如图1，

过点E作EF⊥BD于F， ∴EF=BF，

∵B（3，0），D（1，4），

∴直线BD解析式为y=﹣2x+6①， 设点E（0，b）， ∵EF⊥BD，

∴直线EF解析式为y=x+b②， 联立①②解方程组得，x=，y=（2b+3），

∴F（

，（2b+3）），

∴EF2=[（6﹣B）]2+[（2b+3）﹣b]2=（6﹣b）2，（2b+3）]2=[（2b+3）]2， ∵EF=FB， ∴EF2=FB2，

∴（6﹣b）2=[（2b+3）]2， ∴b=﹣9（舍）或b=1， ∴E（0，1），

方法二、∵tan （α﹣β）=1， ∴α﹣β=45°，

∵∠DBO=α，∠EBO=β， ∴∠DBE=45°，

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2=[﹣3]2+[

FB

∵C（0，3），B（3，0）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°， ∴∠CBD=∠OBE，

∵B（3，0），C（0，3），D（1，4）， ∴OB=3，BC2=18，CD2=2，BD2=20， ∴BC2+CD2=BD2，

∴△BCD是直角三角形， ∴∠BCD=90°=∠BOE， ∵∠CBD=∠OBE， ∴△OBE∽△CBD， ∴∴∴OE=1， ∴E（0，1），

， ，

（3）能，

理由：∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC解析式为y=﹣x+3， 设点M（m，﹣m+3），

∵E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形， ∴分CE为边和CE为对角线进行计算， ①如图2，

当CE是平行四边形的边时，MN∥CE，MN=CE， 过M作MN∥CE交抛物线于N， ∵点N在抛物线上， ∴N（m，﹣m2+2m+3），

∴MN=|﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）|=|m2﹣3m|， ∵C（0，3），E（0，1），

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【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．

（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．

（3）分两种情形，用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题． 【解答】解：（1）∵二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），（﹣4，4）两点， ∴

解得

，

∴二次函数y1的解析式y1=﹣x2﹣3x． （2）∵y1=﹣（x+3）2+， ∴顶点坐标（﹣3，），

∵将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2， ∴抛物线y2的顶点坐标（﹣1，﹣）， ∴抛物线y2为y=（x+1）2﹣， 由

则MN=|x1﹣x2|=

消去y整理得到x2+2x﹣8﹣2m=0，设x1，x2是它的两个根，

=

=2

，

（3）①当C、D在y1上，E、F在y2上时， 由

消去y整理得到x2+6x+2m=0，设两个根为x1，x2，

=

=2

，

则CD=|x1﹣x2|=

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由

则EF=|x1﹣x2|=

消去y得到x2+2x﹣8+2m=0，设两个根为x1，x2，

=

=2

，

∴EF=CD，EF∥CD，

∴四边形CEFD是平行四边形． ②当C在y2，D在y1上时， 由

时，消去y得到x2+2x﹣8﹣2m=0，解得x=﹣1±

，

，

，

∴点C横坐标为﹣1﹣由

消去y整理得到x2+6x+2m=0，解得x=﹣3±

，

）=﹣2+，

+

，

∴点D的横坐标为﹣3+∴CD=﹣3+

﹣（﹣1﹣

+

同理可得EF=﹣2+∴EF=CD，EF∥CD，

∴四边形CEFD是平行四边形．

【点评】本题考查二次函数综合题、根与系数关系、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住公式|x1﹣x2|=

9．（2016?达州）如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）交x轴与A，B两点（点

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，属于中考压轴题．

A在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CEF的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

【分析】（1）根据三角形的面积公式求出m的值，结合点C的坐标利用待定系数法即可求出a值，从而得出结论；

（2）假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N．根据抛物线的解析式找出点A的坐标．设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，﹣n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，代入x=n，即可得出点N的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S△ACP关于n的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据直尺的摆放方式可设出直线CD的解析式为y=﹣x+c，由点C的坐标利用待定系数法即可得出直线CD的解析式，联立直线CD的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点D的坐标，令直线CD的解析式中y=0，求出x值即可得出点E的坐标，结合线段EF的长度即可找出点F的坐标，设出点M的坐标，结合平行四边形的性质以及C、D点坐标的坐标即可找出点N的坐标，

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再由点N在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间t的一元二次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：（1）∵S△CEF=EF?yC=×2m=6， ∴m=6，即点C的坐标为（4，6），

将点C（4，6）代入抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）中， 得：6=16a+8+6，解得：a=﹣， ∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6．

（2）假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N，如图1所示．

令抛物线y=﹣x2+2x+6中y=0，则有﹣x2+2x+6=0， 解得：x1=﹣2，x2=6，

∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，﹣n2+2n+6）（﹣2＜n＜4）， ∵直线AC过点A（﹣2，0）、C（4，6）， ∴

，解得：

，

∴直线AC的解析式为y=x+2． ∵点P的坐标为（n，﹣n2+2n+6）， ∴点N的坐标为（n，n+2）．

∵S△ACP=PN?（xC﹣xA）=×（﹣n2+2n+6﹣n﹣2）×[4﹣（﹣2）]=﹣（n﹣1）2+

，

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∴当n=1时，S△ACP取最大值，最大值为此时点P的坐标为（1，

）．

，

∴在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使得△ACP的面积最大，面积的最大值为

，此时点P的坐标为（1，

）．

（3）∵直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置， ∴设直线CD的解析式为y=﹣x+c， ∵点C（4，6）在直线CD上， ∴6=﹣4+c，解得：c=10， ∴直线CD的解析式为y=﹣x+10． 联立直线CD与抛物线解析式成方程组：解得：

，或

，

，

∴点D的坐标为（2，8）．

令直线CD的解析式y=﹣x+10中y=0，则0=﹣x+10， 解得：x=10，即点E的坐标为（10，0）， ∵EF=2，且点E在点F的左边， ∴点F的坐标为（12，0）． ①点N在x轴的上方时：

设点M的坐标为（12﹣2t，0），则点N的坐标为（12﹣2t﹣2，0+2），即N（10﹣2t，2）．

∵点N（10﹣2t，2）在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，

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