行星的运动1

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有关行星运动的几个小专题

（一）应用万有引力定律的一些解题技巧

应用万有引力定律解决有关天体运动问题时，往往要涉及到牛顿运动定律和圆周运动的知识，是较为典型的力学综合，解决问题过程较为繁琐，且易出错。如果我们能掌握一些推论并能灵活运用，将会化繁化简，变难为易，解决问题的思路和方法清晰明了，方便快捷。下面浅谈一孔之见，与大家共同商讨。

题型一：g——r关系

在质量为M的某天体上空，有一质量为m的物体，距该天体中心的距离为r，所受重力为万有引力：

mg?GMm 2r22由上式可得rg?GM?常量或rg?K

推论一：在某天体上空物体的重力加速度g与r2成反比。即

g1r22K? ① g?2或

g2r12r例1：设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的重力加速度为g，则

g为（ ） g0A. 1 B.

111 C. D. 9416gR21??解析：由①式得 2g0(4R)16答案应选D。

题型二：v——r关系

有一质量为m的物体（卫星或行星等）绕质量为M的天体做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速

GMmmv2?度为v，万有引力提供向心力： 2rr由上式可得v2r?GM?常量或v2r?K

推论二：绕某天体运动物体的速度v与轨道半径r的平方根成反比。即

v?vK或1?v2rr2 ② r1例2：已知人造地球卫星靠近地面运行时的环绕速度约为8km/s，则在离地面的高度等于地球半径处运行的速度为（ ）

A. 22km/s B. 4km/s C. 42km/s D. 8km/s 解析：由②式得v2?v1

r1r2?42km/s

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答案应选C

题型三：?——r关系

有一质量为m的物体（卫星或行星等）绕质量为M的天体做匀速圆周运动，其轨道半径为r，角速度为?，万有引力提供向心力：

GMm?mr?2 2r由上式可得：r3?2?GM?常量或r3?2?K

推论三：绕某天体运动的物体的角速度?的二次方与轨道半径的三次方成反比。即

?K??3或1??2r2r23 ③ 3r1例3：两颗人造地球卫星，它们的轨道半径之比为r1:r2?1:3，它们角速度之比?1:

?2? 。

解析：由③式可得?1:?2?r23?33:1 r13题型四：T——r关系

有一质量为m的物体（卫星或行星等）绕质量为M的天体做匀速圆周运动，其轨道半径为r，周期为T，万有引力提供向心力：

GMm2?2， ???mr?2Trr3GMr3?常量或2?K 由上式可得：2?2T4?Tr3推论四：绕某天体运动的物体的周期T的二次方与其轨道半径r的三次方成正比。即T?或

K2T1?T2r13 ④ 3r2这就是开普勒第三定律。

例4：两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星距地面的高度等于R，

b卫星距地面的高度等于3R，则a、b两卫星周期之比Ta:Tb? 。

解析：由④式得Ta:Tb?

（二）利用

(2R)31?

(4R)322GM?g的有关计算 2R1. 有关同一物体在不同星体表面重力加速度的计算 （1）比较两不同星体表面的重力加速度

例1：一卫星绕某行星做圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M行与卫星的质

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量M卫之比

M行M卫?81，行星的半径R行与卫星的半径R卫之比

R行R卫?3.6，行星与卫星之间的距离r与行

星的半径R行之比

GM行M卫r?60。设卫星表面的重力加速度为g卫，则在卫星的表面有?M卫g卫。2R行r经计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一。上述结论是否成立？说

明理由。

解析：看结论是否正确，只需求出卫星表面的重力加速度与行星表面的重力加速度之比。紧紧抓住万有引力提供重力，则

在卫星表面的物体：

GM卫m?mg卫 2R卫GM行m2R行在行星表面的物体：

?mg行

2g卫M卫R行3.62???0.16 所以其重力加速度之比为2g行M行R卫81即结论不对。

g卫?0.16。 其比值应为g行（2）与平抛运动联系求水平射程

例2：某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的

1，若在地球上高h处平抛一物体，2水平射程为60m，则在该星球上从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，水平射程为多少？

解析：由平抛运动知识知，水平射程取决于竖直方向的时间和初速度。当从同样高度以同样的初速度在不同的星体表面平抛同一物体，由于不同星体表面的重力加速度不同，因而下落同样的高度所用的时间不同，即以同样的初速度抛出时，水平射程不同。故此题转化为求星球和地球表面的重力加速度之比。

在星球表面的物体：

GM星mR2星?mg星

在地球表面的物体：

GM地m2R地?mg地

2g星M星R地9?4???36 则加速度之比为：2g地M地R星1平抛物体时s?vt，h?所以s?v12gt 22h。 g 3

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则水平射程之比为

s星s地?g地g星?1 6星球表面的水平射程s星?11s地??60m?10m 6611，月球的半径是地球半径的，那么在月球和地球表面附近，813.82（3）与竖直上抛运动联系求最大高度 例3：已知月球质量是地球质量的

以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，忽略空气阻力，上升的最大高度之比是多少？

解析：在忽略空气阻力的情形下，上升的高度h与初速度的关系为2gh?v，当以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，高度与加速度成反比。

设月球的质量、半径和表面的重力加速度分别为m1、R1、g1；地球的质量、半径和表面的重力加速度分别为m2、R2、g2，由万有引力提供重力得

Gm1Gm2?g?g2 ，122R1R2h1g2m2R1281????5.6 于是上升的最大高度之比为22h2g1m1R23.82. 利用黄金代换GM?gR，架起“天”与“地”的桥梁

例4：已知地球的半径为6400km，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算从月球到地心的距离为 m。（结果保留一位有效数字）

解析：设月球到地心的距离为r，由万有引力提供向心力有

2GMm4?2?m2r ① 2rT月球绕地球的公转周期为T=27.3d 在地球表面万有引力提供重力则

GMm?mg ② R2其中M为地球的质量，R为地球的半径，g为地球表面的重力加速度取10m/s2 由①②得r?4?108m

例5：2002年3月25日，我国自行研制的新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神州3号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t?7d后又顺利返回。飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。设飞船轨道离地高度为h?600km，地面重力加速度g?10m/s，地球半径为

26400km，则“神舟3号”飞船绕地球正常运转多少圈？

解析：飞船运行t?7d，要求飞船绕地球正常运转的圈数，只需求出飞船在离地高度h时飞行的周期，

由万有引力提供向心力则

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GMm14?2?m12r ① 2rT其中r?R?h

在地球表面万有引力提供重力，则有

GMm?mg，所以GM?gR2 ② 2R由①②得T?2?R?h (R?h)Rg则飞船环绕地球正常运转的圈数n?代入数据得n?105圈

t T

（三）万有引力定律常见试题举例

自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，表达式是F?GMm。设天体和卫星的运动是匀速圆周运动，那么万有引力提供其2rv22?Mm?m()2r 做圆周运动的向心力，即有F?G2?mrTr?m?2r。应用万有引力定律，可以解决有关天文和地球卫星问题。

1. 估算太阳的平均密度

例1：利用万有引力定律、小孔成像原理和生活常识，就可以估算出太阳的平均密度。用长L=80cm的不透光圆筒，在其一端封上厚纸，纸的中间用针扎一个直径0.5mm左右的小孔，筒的另一端封上一张白纸，把有小孔的一端对准太阳，在另一端可看到太阳的像。如图1所示，若测得太阳的像的直径为

。 d?7.4mm，试估算太阳的平均密度（保留二位有效数字）

图1

dR2解：设太阳半径为R，地日距离为r，OA距离为D，由相似三角形可得：?

DLRd又D?r，故?

r2L设太阳、地球质量分别为M、m，地球绕日周期为T

Mm2?2万有引力提供向心力：G2?mr()

Tr24?L343又M???R，所以?? 233GTd

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