考研数学一历年真题(1987-2010)（office2003版）

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(C)f(x)取得极小值

s (D)f(x)的导数不存在

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2取得极小值.

(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.

x?1

x(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?tf(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值

0(A)依赖于s和t

k?nn2

(B)依赖于s、t和x

(C)依赖于t、x,不依赖于s

?(D)依赖于s,不依赖于t

(3)设常数k?0,则级数?(?1)nn?1(A)发散 (C)条件收敛

(B)绝对收敛

(D)散敛性与k的取值有关

(3)与两直线 y??1?t及

z?2?t

2x?112?y?21?z?11都平行且过原点的平面方程为_____________. (4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a

(B)

1a

(4)设L为取正向的圆周x?y?9,则曲线积分??(2xy?2y)dx?(x?4x)dy= _____________.

L2(C)an?1

(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim

三、(本题满分7分)

?u?v(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求,.

?x?x22(D)an

六、（本题满分10分）

?求幂级数?n?11n?2nxn?1的收敛域，并求其和函数.

x?0?bx?sinx1x0tdt?1成立.

a?t

七、（本题满分10分） 求曲面积分

I????2x(8y?1)dydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy,

?3?(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A?1???00111??0,求矩阵B. ?4????z?其中?是由曲线f(x)????y?1 1?y?3x?0绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与

y轴正向的夹角恒

大于

?2.

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设limf(x)?f(a)(x?a)2八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.

九、（本题满分8分）

问a,b为何值时,现线性方程组

x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且

x?a??1,则在x?a处

(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值

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x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则

A至少发生一次的概率为

____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?方差为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

fX(x)?

101?e?x?2x?12,则X的数学期望为____________,X的

0?x?1其它,fY(y)? e0?y

y?0y?0,

求Z

?2X?Y的概率密度函数.

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(C)???zdv?4???zdv

?1?1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

?

(D)???xyzdv?4???xyzdv

?1?2?2(4)设幂级数?an(x?1)n在x??1处收敛,则此级数在x?2处

n?1(A)条件收敛 (C)发散

(B)绝对收敛 (D)收敛性不能确定

(1)求幂级数?n?12(x?3)n3nn的收敛域.

(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0 (B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关

(2)设f(x)?ex,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域. (3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分I?????333xdydz?ydzdx?zdxdy.

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若f(t)?limt(1?x??3(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

1x)2tx,则f?(t)= _____________.

(2)设f(x)连续且?x?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.

(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)? 数在x?1处收敛于_____________.

2x2

?1?x?00?x?1,则的傅里叶(Fourier)级

设u?yf()?xg(),其中函数f、g具有二阶连续导数,求xyxxy?u?x22?y?u?x?y2.

(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式

A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.

五、(本题满分8分)

设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处的切线重合,求函数y?y(x).

六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为

M

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把

所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)可导且f?(x0)?(A)与?x等价的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小

12,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是

kr2(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点

(B)与?x同阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小

沿直线y?

22x?x自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.

(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处 (A)取得极大值

(B)取得极小值 (D)某邻域内单调减少

七、（本题满分6分） ?1?已知AP?BP,其中B?0???00000??1??0,P?2????1???20?110??0,求A,A5. ?1??(C)某邻域内单调增加

(3)设空间区域?1:x2?y2?z2?R2,z?0,?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0,则 (A)???xdv?4???dv

?1?2 (B)

???ydv?4???ydv

?1?2

八、（本题满分8分）

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?2?已知矩阵A?0???00010??2??1与B?0???x??0?0y00??0相似. ??1??(1)求x与y.

(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.

九、（本题满分9分）

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线

y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平

面图形面积S2的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设在三次独立试验中,事件

A出现的概率相等,若已知

A至少出现一次的概率等于

1927,则事件A在一

次试验中出现的概率是____________.

(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于

65”的概率为____________.

(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

?(x)??x??12?e?u22du,?(2.5)?0.9938,

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?1,求随机变量Y?1?3?(1?x)2X的概率密度函数fY(y).

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1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f?(3)?2,则limf(3?h)?f(3)2h10(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求

?z?x?y2 (B)必有两列元素对应成比例 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合

= _____________.

h?0.

(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?f(t)dt,则f(x)=_____________.

(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x,则曲线积分?(x?y)ds=_____________.

2

22(2)设曲线积分?xy2dx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算

c(1,1)(0,0)2xydx?y?(x)dy的值.

L(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________. ?3?(5)设矩阵A?1???00400??1??0,I?0???3???00100??0,则矩阵(A?2I)?1=_____________. ?1???(3)计算三重积分???(x?z)dv,其中?是由曲面z??x?y22与z?1?x?y所围成的区域.

22

四、(本题满分6分) 将函数f(x)?arctan

五、(本题满分7分)

x0

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当x?0时,曲线y?xsin1x1?x1?x展为x的幂级数.

(B)有且仅有铅直渐近线

(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线

(A)有且仅有水平渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线

设f(x)?sinx?

?(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是 (A)(1,?1,2) (C)(1,1,2)

(B)(?1,1,2) (D)(?1,?1,2)

六、（本题满分7分） 证明方程lnx?xe???01?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)c1y1?c2y2?y3

? 七、（本题满分6分）

问?为何值时,线性方程组

x1?x3??

4x1?x2?2x3???2 6x1?x2?4x3?2??3

(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3

(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

2(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

(4)设函数f(x)?x,0?x?1,而S(x)?1?n?1bnsinn?x,???x???,其中

bn?2?f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?012)等于

有解,并求出解的一般形式.

14(A)?(C)

1412

(B)?1

八、（本题满分8分）

假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)为A?1的特征值. ?1 (D)

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(2)

A?为A的伴随矩阵A*的特征值.

九、（本题满分9分）

设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内部

的那部分的面积最大?

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件A?B的概率P(A?B)=____________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.

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f(x)1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) x??t?2 (1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程是_____________.

x??(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,lim(A)不可导

1?cosx(B)可导,且f?(0)?0

x?0?2,则在点x?0处f(x)

(C)取得极大值 (D)取得极小值

(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是

(A)k1α1?k2(α1?α2)?β1?β22β1?β22 z?t?1

x?ax?ax)=_____________.

(B)k1α1?k2(α1?α2)?(D)k1α1?k2(β1?β2)?β1?β22β1?β22

(2)设a为非零常数,则lim(10

(C)k1α1?k2(β1?β2)?(3)设函数f(x)? 222

x?1x?1,则f[f(x)]=_____________.

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求?10(4)积分?dx?e0x?ydy的值等于_____________. ln(1?x)(2?x)2dx.

(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7), 则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,且F(x)?(A)?e?xf(e?x)?f(x) (C)e?x (2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求

?z?x?y2.

(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).

四、(本题满分6分)

??ex?xf(t)dt,则F?(x)等于

(B)?e?xf(e?x)?f(x) (D)e?x求幂级数?(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.

n?0f(e?x)?f(x)

f(e?x)?f(x)

(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数

f(n)

五、(本题满分8分) 求曲面积分

I?(x)是

??yzdzdx?2dxdy

S(A)n![f(x)]n?1 (C)[f(x)]2n

?

1n

(B)n[f(x)]n?1 (D)n![f(x)]2n

其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.

六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.

七、（本题满分6分） 设四阶矩阵

(3)设a为常数,则级数?[n?1sin(na)n2?]

(A)绝对收敛 (C)发散

(B)条件收敛

(D)收敛性与a的取值有关

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?1?0B???0??0?11000?1100??2??00?,C???0?1???1??0120031204??3? 1??2?且矩阵A满足关系式

A(E?CB)?C??E

?1其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

八、（本题满分8分）

22求一个正交变换化二次型f?x12?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.

九、（本题满分8分）

质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程

??中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于

线段OP且与y轴正向的夹角小于

?2?.求变力F对质点P所作的功.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X的概率密度函数

f(x)?12e?x,???x???

则X的概率分布函数F(x)=____________.

(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.

2ek?2(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即P{X?k}?随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.

十一、（本题满分6分）

k!,k?0,1,2,?,则

设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z?2X?1的方差D(Z).

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??(xy?cosxsiny)dxdy等于

D1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设 x?1?t2(A)2??cosxsinydxdy

D1

(B)2??xydxdy

D1

(C)4??(xy?cosxsiny)dxdy

D1(D)0

y?cost,则

dydx222(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有

=_____________.

(A)ACB?E (C)BAC?E

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

? (B)CBA?E (D)BCA?E

(2)由方程xyz?dz=_____________.

x?y?z?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分

22

1

x?1?y?20?z?3?1;l2:x?22?y?11?z1.则过l1且平行于l2的平面方程

(1)求lim(cosx?0?x)2.

6x?8yz22(3)已知两条直线的方程是l1:是_____________.

1

?(2)设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u??在点P(4)已知当x?0时,(1?ax2)3?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.

?5?2(5)设4阶方阵A???0??0210000110??0?,则A的逆阵A?1=_____________. ?2??1?处沿方向n的方向导数.

(3)???(x?y?z)dv,其中?是由曲线

?22y?2zx?02绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围城的立

体.

四、(本题满分6分)

过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)曲线y?1?e1?e?x?x2?L3(1?y)dx?(2x?y)dy的值最小.

2

2?0

五、(本题满分8分)

t(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线

(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

?(C)仅有铅直渐近线

将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数?n?11n2的和.

(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)?(A)exln2 (C)ex?ln2

??f()dt?ln2,则f(x)等于 2

n?1

?

?(B)e2xln2 (D)e2x?ln2

六、（本题满分7分）

设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?2f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f?(c)?0.

31(3)已知级数?(?1)n?1an?2,?a2n?1?5,则级数?an等于

n?1n?1七、（本题满分8分）

已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及β?(1,1,b?3,5). (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?

(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.

(A)3

(C)8 (B)7 (D)9

(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则

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八、（本题满分6分）

设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A

九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)若随机变量

X

?E的行列式大于1.

2ax?x(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积

2服从均值为2、方差为?2的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则

P{X?0}=____________.

(2)随机地向半圆0?y?

成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

?4的概率为____________.

f(x,y)? 2e?(x?2y) x?0,y?0

0 其它

求随机变量Z

?X?2Y的分布函数.

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则

dydx

=_____________.

(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM=_____________.

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?1(3)设f(x)?

21?x0?x??(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.

???x?0,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求lime?sinx?11?xxx?0?a1b1?a2b1(5)设A??????anb1r(A)=_____________.

a1b2a2b1?anb2????a1bn??a2bn?,???anbn?1?x2.

其中ai?0,bi?0,i?(1?,2n,,则矩阵

A的秩 (2)设z?f(esiny,x?y),其中f具有二阶连续偏导数,求

22?z?x?y2.

(3)设f(x)?

1?xe?x2

x?0x?0,求?f(x?2)dx.

13

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当x?1时,函数(A)等于2 (C)为?

?四、(本题满分6分)

求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.

x?1x?121ex?1的极限

an

(B)等于0

(D)不存在但不为?

五、(本题满分8分) 计算曲面积分

222??(x?3?az)dy?dz(23?y2)axd?z(dx?3z)2?d为a其y,中dxy上半球面

(2)级数?(?1)n(1?cosn?1)(常数a?0)

z?a?x?y的上侧.

(A)发散

(C)绝对收敛 (B)条件收敛

(D)收敛性与a有关 六、（本题满分7分）

设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).

七、（本题满分8分）

222????xyz在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2?2?2?1上第一卦限的

(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条 (C)至少有3条

3

2

(n)

(B)只有2条 (D)不存在

(4)设f(x)?3x?xx,则使f(A)0 (C)2

(0)存在的最高阶数n为

(B)1 (D)3

?abc点M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.

八、（本题满分7分）

设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.

九、（本题满分7分）

?1??0?????(5)要使ξ1??0?,ξ2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A为

?2???1?????(A)??212?

(B)??2?001?1?? 1???1(C)??0012?? ?1?

?0?(D)4???01?21?1???2 ?1??

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设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为

?1??1??1??1?????????ξ1?1,ξ2?2,ξ3?3,又向量β?2.

?????????3??1??4??9?????????(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知P(A)?P(B)?P(C)?率为____________.

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X}=____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量

X14,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?16,则事件A、B、C全不发生的概

与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z12?x???t2?X?Y的概

率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中?(x)??e2dt).

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?31993年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)?

(C)

?(D)

2(4)设曲线积分?[f(t)?ex]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且

Lf(0)?0,则f(x)等于

?2x1(2?1t(A)

)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.

e?x?e2x (B)

e?e2xx?x

x(2)由曲线 3x?2y?12z?02(C)

绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量

e?e2?x?1 246 (D)1?e?e2?x

为_____________.

2(3)设函数f(x)??x?x(???x??)的傅里叶级数展开式为

a02???(an?1ncosnx?bnsinnx),则其中

?1?(5)已知Q?2???33??t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则 ?9??系数b3的值为_____________.

(4)设数量场u?ln(5)设n阶矩阵_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)?sinx0(A)t?6时P的秩必为1 (C)t?6时P的秩必为1

(B)t?6时P的秩必为2 (D)t?6时P的秩必为2

x?y?z,则div(gradu)=_____________.

222

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求lim(sinx??2xA的各行元素之和均为零,且

A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为

?cos1x).

x

(2)求?xexxdx.

e?1x?1(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件y34?1的特解.

?sin(t)dt,g(x)?x?x,则当x?0时,f(x)是g(x)的

2

四、(本题满分6分)

2计算?2xzdydz?yzdzdx?zdxdy,其中?是由曲面z????(A)等价无穷小

(C)高阶无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (D)低价无穷小

x?y22与z?2?x?y22所围立体的表

(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为

??面外侧.

五、(本题满分7分)

?(A)2?cos2?d?

40

(B)4?4cos2?d?

0?(C)2?40cos2?d? (D)

1?40?2(cos2?)d?

2求级数?n?0(?1)(n?n?1)2nn2的和.

(3)设有直线l1:?6x?11?y?5?2?z?81与l2: x?y?62y?z?3则l1与l2的夹角为

4

六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一

(A) (B)

?

个零点.

(2)设b?a?e,证明ab?ba.

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七、（本题满分8分）

22已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形

f?y1?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.

222

八、（本题满分6分）

设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.

九、（本题满分6分）

设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.

(2)设随机变量

X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度

fY(y)=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率分布密度为f(x)?

(1)求X的数学期望EX和方差DX.

(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?

12e?x,???x???.

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1994年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)limcot?(x?0(A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

x?cos(t2(B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关

1sinx?1x)= _____________.

(1)设 )2(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

xyy?tcos(t)??t212u?121coudus,求

dydx、

dydx22在t??2的值.

(3)设u?e?xsin,则

?u?x?y2在点(2,1?22)处的值为_____________.

(2)将函数f(x)?dx14ln1?x1?xarctanx?x展开成x的幂级数.

(4)设区域D为x2?y2?R2,则??(Dxa?yb22)dxdy=_____________.

(3)求?

sin(2x)?2sinx.

(5)已知α?[1,2,3],β?[1,11,],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An=_____________. 23四、(本题满分6分) 计算曲面积分??S

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

?xdydz?zdxdyx?y?z2222,其中S是由曲面x2?y2?R2及z?R,z??R(R?0)两平面所围成

立体表面的外侧.

??(1)设M??2?sinx2

(xsinx?cosx)dx,则有

234?1?x2cosxdx,N?4?2??2(sinx?cosx)dx,P?34?2??2五、(本题满分9分)

设f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.

六、(本题满分8分)

设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)x1?0,证明级数?f()绝对收敛.

nn?1?(A)N?P?M

(C)N?M?P

(B)M?P?N (D)P?M?N

(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件

?2n

?

(B)必要条件而非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件

ann??2

x?0(3)设常数??0,且级数?a收敛,则级数?(?1)nn?1 n?1(A)发散

2

2

2(B)条件收敛 (D)收敛性与?有关

(C)绝对收敛 (4)lim 七、（本题满分6分）

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.

八、（本题满分8分） 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x4?0atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?xx?0)?2,其中a?c?0,则必有

(A)b?4d (C)a?4c

(B)b??4d

(D)a??4c

,

(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).

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(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.

(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）

设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________. (2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为

XP

0 11 122则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量

Z?X3?Y2,

X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且

X与Y的相关系数?xy??12,设

(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差. (2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?

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1995年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

2??2??n(C)?un收敛,而?u发散

n

(D)?un收敛,而?u2发散

n?1n?1n?1n?1

?a11?(5)设A?a21???a31a12a22a32a13??a11??a23,B?a21???a33???a31a12a22a32a13??0??a23,P1?1???a33???01000??1??0,P2?0???1???10100??0,则必有 ?1??(1)lim(1?3x)sinx=_____________.

x?0

(A)AP1P2=B

(B)AP2P1=B (D)P2P1A=B

(2)

?dxd0x2xcostdt= _____________.

2(3)设(a?b)?c?2,则[(a?b)?(b?c)]?(c?a)=_____________.

?(C)P1P2A=B

(4)幂级数?n?1n2?(?3)nnx2n?1的收敛半径R=_____________.

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有一阶连续偏导数,且(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设?f(x)dx?A,求?dx?f(x)f(y)dy.

00x???z?0.求

dudx.

?1?3?(5)设三阶方阵A,B满足关系式A?1BA?6A?BA,且A??0???0??0140?0??0?,则B=_____________. ??1?7??

111

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分??zdS,其中?为锥面z??x?y22在柱体x2?y2?2x内的部分.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设有直线L: x?3y?2z?1?0(2)将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦函数.

五、(本题满分7分)

设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与

33MA?OA,且L过点(,),求L的方程.

22y轴总相交,交点记为A.已知

2x?y?10z?3?0,及平面?:4x?2y?z?2?0,则直线L

(A)平行于? (C)垂直于? (2)设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),(A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)

(B)在?上 (D)与?斜交

f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0)

(D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)

六、(本题满分8分)

设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分?2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对

L(t,1)(0,0)任意t恒有?

2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y).

(3)设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则f(0)?0是F(x)在x?0处可导的 (A)充分必要条件 (C)必要条件但非充分条件 (4)设un?(?1)nln(1?1n (B)充分条件但非必要条件

(D)既非充分条件又非必要条件

七、（本题满分8分）

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,试证: (1)在开区间(a,b)内g(x)?0. (2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使 八、（本题满分7分）

f(?)g(?)?f??(?)g??(?).

),则级数

??n??2(A)?un与?u都收敛

n

(B)?un与?u2都发散

n?1n?1n?1n?1考研英语作文模板

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?0???设三阶实对称矩阵A的特征值为?1??1,?2??3?1,对应于?1的特征向量为ξ1?1,求A.

????1??

九、（本题满分6分）

设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转置矩阵),A?0,求A?I.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X2)=____________.

(2)设X和Y为两个随机变量,且

P{X?0,Y?0}?37,P{X?0}?P{Y?0}?47,

则P{max(X,Y)?0}?____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为

fX(x)? e0?x

x?0x?0,

求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).

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(C)3

a1

0a2a30

0b2b30

b100a4 (D)4

1996年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设lim(x??(5)四阶行列式

00b4的值等于

x?2ax?ax)?8,则a=_____________.

(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4

(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)

(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?_____________.

?1?(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B?0????10202??0,则r(AB)=_____________. ?3??y?z)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为

22(C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数. (2)设x1?10,xn?1?

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)已知(A)-1 (C)1

(x?ay)dx?ydy(x?y)2(1)计算曲面积分??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正

S向的夹角为锐角.

(2)设变换

u?x?2yv?x?ay可把方程6?z?x22??z?x?y2??z?y22?0简化为

?z?u?v2?0,求常数a.

为某函数的全微分,a则等于

(B)0 (D)2

f??(x)x?1,则

五、(本题满分7分)

?(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f?(0)?0,lim求级数?n?11(n?1)22n的和.

x?0

六、(本题满分7分)

设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在

y(A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值

(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点

(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点

?轴上的截距等于

1x?x0f(t)dt,求f(x)的一般

表达式.

n(3)设an?0(n?1,2,?),且?an收敛,常数??(0,n?1?2?),则级数?(?1)(ntann?1?n

)a2n

七、（本题满分8分）

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)?a,f??(x)?b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内

b2.

(A)绝对收敛

(C)发散

(B)条件收敛

(D)散敛性与?有关

(4)设有f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)?同阶无穷小,则k等于

(A)1

?x0任意一点.证明f?(c)?2a?

八、（本题满分6分）

(x?t)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与xk是

22(B)2

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设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明 (1)A2?A的充分条件是ξTξ?1. (2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵.

九、（本题满分8分）

22已知二次型f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2,

(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.

(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(122))的随机变量,则随机变量???的数学期望

E(???)=____________.

十一、（本题满分6分）

设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?又设X?max(?,?),Y?min(?,?).

(1)写出二维随机变量的分布率: X Y 1 2 (2)求随机变量X3 的数学期望E(X). 1 2 3 13,i?1,2,3.

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?1?2?1(C)???2??1??21414?141???6?1? ?6?1??6?

?1?2?1(D)??4?1????6?1214161??2?1? ??4?1??6?A??的伴随O?(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 . (14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若X?kS为np2的无偏估计量,则k? .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分9分)

求二元函数f(x,y)?x2?2?y2??ylny的极值.

2?O(6)设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩阵??B**矩阵为

?O(A)?*?2A?O(C)?*?2B*3B?? O?

?O(B)?*?3A?O(D)?*?3B*2B?? O? (16)(本题满分9分) 设an为曲线y?x与y?x值.

(17)(本题满分11分) 椭球面S1是椭圆绕x轴旋转而成.

(1)求S1及S2的方程.

Ynn?1*3A?? O?

*2A?? O??n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??n??an?1,S2??an?12n?1,求S1与S2的

?x?1?(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???,其中??x?为标准正态分布函数,则

?2?EX?x2

X4?y23?1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆

x24?y23?1相切的直线

(A)0 (C)0.7

与

Y

X(B)0.3 (D)1

(8)设随机变量相互独立,且

服从标准正态分布N?0,1?,

?XY的概率分布为

(2)求S1与S2之间的立体体积.

P?Y?0??P?Y?1??12,记FZ?z?为随机变量Z

的分布函数,则函数FZ?z?的间断点个数为

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得

f?b??f?a??f???(A)0 (C)2 (B)1 (D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则

?z?x?y2??b?a?.

? . (2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?f???0??A.

????0?内可导,且lim?f??x??A,则f???0?存在,且

x?0(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e,则非齐次方程

x(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I?y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? . (11)已知曲线L:y?x2?0?x?222,则?xds? .

L?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y?z22?32,其中?是曲面2x2?2y2?z2?4的外侧.

(20)(本题满分11分)

(12)设????x,y,z?x?y?z?1?,则???z2dxdydz? .

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?1?设A??1??0??11?4?1???1????1,ξ1?1 ???????2???2?(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关. (21)(本题满分11分)

22设二次型f?x1,x2,x3??ax12?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.

(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;

2(2)若二次型f的规范形为y12?y2,求a的值.

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1)求p?X?1Z?0?.

(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布. (23)(本题满分11 分)

??2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn是来自总体X?0,其他的简单随机样本.

(1)求参数?的矩估计量. (2)求参数?的最大似然估计量.

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?1?(C)??????? ??0?2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)极限lim?x??(A)1

???=

(x?a)(x?b)??x2x?1?1

??1?(D)?????1?1??? ??0?0 x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)? 12 0?x?1,则P{X?1}=

?x1?e x?2

(B)e (D)eb?a

(A)0 (C)

12?e

?1

(B)1 (D)1?e?1

(C)ea?b

yz?z?z(2)设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则x= ?yxx?x?y(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,

f(x)?

af1(x)bf2(x)(A)x

10m

2

(B)z (D)?z

(C)?x

x?0x?0 (a?0,b?0)

(3)设m,n为正整数,则反常积分?(A)仅与m取值有关

(C)与m,n取值都有关

nnln(1?x)nxdx的收敛性

为概率密度,则a,b应满足

(A)2a?3b?4 (C)a?b?1

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

2

=

(B)仅与n取值有关 (D)与m,n取值都无关

(B)3a?2b?4 (D)a?b?2

(4)limx????i?1j?1x0n(n?i)(n?j)122(9)设x?e,y?

(B)

?t?t0ln(1?u)du,求

2dydx2t?0= .

(A)?dx?01(1?x)(1?y)2dy

?10dx?x01(1?x)(1?y)dy

(10)??02xcosxdy= .

(C)?dx?01101(1?x)(1?y)dy

(D)?dx?01101(1?x)(1?y)2dy

(11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0), 则曲线积分?xydx?x2dy= .

L(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n (C)秩(A)?n,秩(B)?m (D)秩(A)?n,秩(B)?n (6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于

?1?(A)??????? ??0??1?(B)??????? ??0?

(12)设??{(x,y,z)|x2?y2?z?1},则?的形心的竖坐标z= . (13)设α1?(1,2,?1,0)T,α2?(1,1,0,2)T,α3?(2,1,1,?)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则

?= .

11

1?1

(14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?

Ck!(k?0,1,2,?),则EX2= .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

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(15)(本题满分10分)

求微分方程y???3y??2y?2xex的通解. (16)(本题满分10分) 求函数f(x)?设总体X的概率分布为 X 1 P 1?? 2 2??? 3 2? ?x1(x?t)e2?t2其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体

dt的单调区间与极值.

3X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i?1,2,3),试求

(17)(本题满分10分)

(1)比较?lnt[ln(1?t)]dt与?tlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.

00常数a1,a2,a3,使T?n1n?aNii?1i为?的无偏估计量,并求T的方差.

1

(2)记un???10lnt[ln(1?t)]dt(n?1,2,?),求极限limun.

x??n(18)(本题满分10分) 求幂级数?n?1(?1)n?12n?1x2n的收敛域及和函数.

(19)(本题满分10分)

设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面积分I?(x?2???3)y?2z2dS,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.

4?y?z?4yz(20)(本题满分11分) ???设A??0?1?11??a????0,b?1,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解. ?????1???????11(1)求?,a.

(2)求方程组Ax?b的通解.

(21)(本题满分11分)

2设二次型f(x1,x2,x3)?xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y12?y2,且Q的第三列为

(22,0,22).

T(1)求A. (2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分11分)

设二维随机变量(X?Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x件概率密度fY|X(y|x).

(23)(本题满分11 分)

2?2xy?y2,???x??,???y??,求常数及A条

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(A)?(x,y)dx

?2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)

(1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是

(B)?f(x,y)dy

??(C)?f(x,y)ds

?(D)?f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1

010

(B)α1?α2,α2?α3,α3?α1

(D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1 0??0,则A与B ?0??(A)1?ex (B)ln1?x1?x

(C)1?x?1 1xx (D)1?cosx ?2?(8)设矩阵A??1???1??12?1?1??1???1,B?0???0?2??(2)曲线y??ln(1?e),渐近线的条数为

(A)合同,且相似

(B)1

(B)合同,但不相似 (D)既不合同,也不相似

(C)不合同,但相似

(A)0

(C)2 (D)3

(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)?(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A)3p(1?p)2

(C)3p2(1?p)2

(B)6p(1?p)2 (D)6p2(1?p)2

?x0f(t)dt.则下列结论正确的是

(A)F(3)??(C)F(3)?334F(?2)

(B)F(3)?54F(2)

4(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是

F(2) (D)F(3)??54F(?2)

(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A)fX(x) (B)fY(y)

(C)fX(x)fY(y)

(D)

fX(x)fY(y)

(A)若lim(C)若limf(x)xf(x)x存在,则f(0)?0 存在,则f?(0)?0

x?0(B)若lim(D)若limf(x)?f(?x)xf(x)?f(?x)xx?0 存在,则f(0)?0 存在,则f?(0)?0

二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)?2x?0x?01x31(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是

(A)若u1?u2,则{un}必收敛 (C)若u1?u2,则{un}必收敛

(B)若u1?u2,则{un}必发散

1exdx=_______.

?z?x(12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则=______.

(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________.

(D)若u1?u2,则{un}必发散

(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为

L(14)设曲面?:|x|?|y|?|z|?1,则???(x?|y|)ds=_____________.

?上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是

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?0?0(15)设矩阵A???0??0100001000??0?,则A3的秩为________. 1??0?12设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.

(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.

的概率为________.

(2)求矩阵B.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?2?x?y,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0,其他?(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于

三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(17)(本题满分11分)

求函数 f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值. (18)(本题满分10分) 计算曲面积分I?(1)求P{X?2Y}.

(2)求Z?X?Y的概率密度. (24)(本题满分11分)

??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中

??为曲面z?1?x?2y24(0?z?1)的上侧.

设总体X的概率密度为

1??2?,0?x???1?f(x;?)??,??x?1

2(1??)??0,其他??X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值

(19)(本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得 f??(?)?g??(?). (20)(本题满分10分)

?设幂级数

?an?0nnx 在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足

y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.

(1)证明:an?2?2n?1an,n?1,2,?.

(1)求参数?的矩估计量??.

(2)判断4X2是否为?2的无偏估计量,并说明理由.

(2)求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)

设线性方程组

?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0, ?x?4x?a2x?023?1

与方程

x1?2x2?x3?a?1,

有公共解,求a的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)

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22008年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设函数f(x)?(A)0 (C)2

x02(C) 1???1?F?x???

(D) ??1?F?x?????1?F?y???

(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y?

(B)P?Y?2X?1??1 (D)P?Y?2X?1??1

?ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数

xy

(B)1 (D)3

?????????????????.

(2)函数f(x,y)?arctan(A)i (C)j

在点(0,1)处的梯度等于

x(10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.

? (B)-i (D)?j

(11)已知幂级数?an?x?2?在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数?an?x?3?的收敛域为

n?0n?nn?0(3)在下列微分方程中,以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是 (A)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0

(B)y????y???4y??4y?0 (D)y????y???4y??4y?0

?????????????????.

(12)设曲面?是z?4?x?y的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.

?22(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛

3(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为

(B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛

?????????????????.

(D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛

(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A?0,则 (A)E?A不可逆,E?A不可逆 (B)E?(C)E?A可逆,E?A可逆 (D)E?(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P?X?EX2???????????????????.

不可逆,E?A可逆

A可逆,E?A不可逆

A

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

??sinx?sin?sinx???sinx求极限lim. 4x?0x?x???(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z)A?y??1在

?z???正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为 (A)F2(16)(本题满分10分)

计算曲线积分?sin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.

L(17)(本题满分10分)

?x2?y2?2z2?0已知曲线C:?,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.

x?y?3z?5??x?

(B) F?x?F?y?

(18)(本题满分10分)

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设f?x?是连续函数, (1)利用定义证明函数F?x??记X?1n?x0?nXi,S2?i?1?n?11n2(Xi?X),T?X2?1n2S

i?1f?t?dt可导,且F??x??f?x?.

x2 (1)证明T是?2的无偏估计量.

(2)当??0,??1时 ,求DT.

(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2?f(t)dt?x?f(t)dt也是以2为周期的周

00期函数.

(19)(本题满分10分)

f?x??1?x2(0??x??),用余弦级数展开,并求?n?1??1?n2n?1的和.

(20)(本题满分11分)

TTTTA?αα?ββ,α为α的转置,β为β的转置.证明:

(1)r(A)?2.

(2)若α,β线性相关,则r(A)?2. (21)(本题满分11分)

?2a?2aA?????12a???a2设矩阵

???1??2a?n?n,现矩阵

A满足方程

AX?B,其中

X??x1,?,xn?,B??1,0,?,0?,

T(1)求证A??n?1?a.

n(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分11分) 设随机变量

?1fY?y????0??X与

Y相互独立,

X的概率分布为P?X?i??13?i??1,0,1?,Y的概率密度为

0?y?1其它1,记Z?X?Y,

(1)求P?Z??X?0?. 2?(2)求Z的概率密度. (23)(本题满分11分)

设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本.

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2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

f(x) f(x) 1 一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?等价无穷小,则

21 0 x

-2 (A)

161 2 3 -2

(B)

-1 0 1 2 3 x

-1 (A)a?1,b??16

16

(B)a?1,b?

16

(C)a??1,b?? (D)a??1,b?f(x) f(x) (2)如图,正方形??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为四个区域

Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则max?I??

1?k?4k1 0 x

1 0 -1 x

Dk

(A)I1 (C)I3

(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为

(B)I2 (D)I4

(C)

-1 1 2 3 -2

(D)

1 2 3

(4)设有两个数列?an?,?bn?,若liman?0,则

n??????(A)当?bn收敛时,?anbn收敛.

n?1

(B)当?bn发散时,?anbn发散.

n?1n?1n?1f(x) ??2n2n?? (C)当?bn收敛时,?ab收敛.

n?1n?1

22(D)当?bn发散时,?anbn发散.

n?1n?1O 0 -1 x

(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基,则由基α1,阵为

12α2,13α3到基α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩

-2 则函数F?x??1 2 3

?x0f?t?dt的图形为

?1

?(A)?2

?0?

023

1??0 ?3??

?1

?(B)?0

?1?

220

0??

3 ?3??

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