第一章 线性代数复习与矩阵求逆

第一章 线性代数复习与引深

第一节 行列式性质与矩阵求逆

一、 行列式性质

1、 若行列式A的某行（或列）为零，则行列式A为零； 2、 ?A??nA,?为常数；

3、 若行列式A的某两行（或某列）对应成比例，则行列式A为

零；

4、 若行列式A的某两行（或某列）互换，则所得行列式=—A； 5、

AT?A；

6、 若行列式A的某一行（或某一列）乘上一个常数加到另一行

（或列）相应的元素上，则所得行列式=A； 7、 若A1,A2,?,Ak是n阶方阵，则A1A2?Ak??Ai；

i?1k8、

A110A12A22?A11A210A22?A11A22，其中A11,A22为方阵；

9、 若ATA?AAT?I，则A??1；

10、 若A为三角阵（上三角、下三角），则A??aii；

i?1n11、 A??aijAij??aijAij；

j?1i?1nn12、 设Ap?q,Bq?p，Ip?AB?Iq?BA。 证 Ip?AB?IqIp?AB?注

1?a1?a。 ?b101?abIpB?AIq?IqIP?BA?Iq?BA

二、矩阵求逆

1、定义 AB?BA?I； 2、判定 A?0； 3、求逆 A?1?1*1A?(Aij)T； AA (A?I)?(I?A?1)；

?A??I?? ??I?????A?1?；

????4、逆矩阵性质 （1）?AT???A?1?；

?1T（2）若A，C可逆，则?AC??1?C?1A?1； （3）A?1?A；

（4）若ATA?AAT?I，则A?1?AT；

（5）若，A?diag(a11,a22,?,ann)(aii?0,i?1,2,?,n)

则A?1?1?diag(a11,a22,?,ann)；

?a0??XX??10??1?1?1（6）上（下）三角阵的逆矩阵仍为上（下）角阵；

111112证法一 数学归纳法 ?????A??X????0I??，AXn?1?22??2122??21??1?1X22?A22,X11?a11,X12?0；

A*证法二 Aji?0，A?

A?1?A11（7）设A?0，A???A?21A12??， A22???1?1??A11A12A22.1?；

?1?A22.1?当A11?1?1?1?1?A?AAAAA?111111222.12111?A??0，则?1?1??AAA22.12111?当A22?1?A?111.2?A??0，则??A?1AA?1222111.2???

?1?1?1?1?；A22?A22A21A11.2A12A22??1?1??A11A12A22.1?；

?1?A22.1??1?1?A11AA.21222当A11?0，A22?1?A?111.2?A??0，则??A?1AA?1222111.2??1?1其中A11.2?A11?A12A22A21，A22.1?A22?A21A11A12。

证 当A11?0，则

I????AA?12111?（8）当A110??A11???I???A21?1A12??I?A11A12??A11?????????0A22??0I??0??。 A22.1???A11?0，则??A?21?A11?0，则??A?21A12??A11????A22???0A12??A11.2????A22???0?10???A11A22.1； ?A22.1?0???A11.2A22； ?A22?0??, ?1?B?当A22（9）若

?A0?A?0,B?0, 则??CB?????AD???0B?????A?1????B?1CA?1??A?1???0??1?A?1DB?1??。 ?1?B? 例1（1）记I?(e1,e2,?,en)，证明Aej为A的第j列；eiTA为A的第i行。

??0In?k???0In?1???k?0?,k?n。 （2）设N??，证明N??0????00????0,k?n??0?????? 证（1）Aej?(A1?Aj?An)?1??Aj，

??????0??? （2）对k?n，用数学归纳法 Nk?1????0In?k?1????????0??0e1?en?k?1?

NK?Nk?1N?Nk?1??e1?en?1?=????e1?en?k?。

例2（1）若A可逆，则

ABCD?AD?CA?1B;

（2）若A，B，C，D为同阶方阵，且AC?CA，ABCD?AD?CB。 证（1）??AB????I?A?1B???A0??CD?????0I??????CD?CA?1B??? （2）先证A?1存在的情况，再证A?1不一定存在的情况。 (a) A?1存在的情况；见（1）

(b) A?1不一定存在的情况: 令f(t)?A?tIBCD, 则方程f(t)?0有n个根。 记(A?tI)D?CB?g(t)，则当t很大时， f(t)?(A?tI)D?CB?g(t) 恒等式成立。

令F(t)?f(t)?g(t)，则F(t)?f(t)?g(t)?0,t?R， 再令t?0，则F(0)?f(0)?g(0)?0。.

例3 已知A3?3A(A?I)，证明A?I可逆，并求其逆。 证 A3?3A2?3A?I??I

?(A?I)(?(A?I)2)?I。

则

第二节 矩阵的秩、线性方程组及矩阵的满秩分解

一、 矩阵的秩

1、定义 r(A)是矩阵A不为0子式的最高阶数。 2、性质（1）A的行秩和列秩相等；

（2）r(A)?r?存在可逆矩阵P,Q，使得A?P??二、线性方程组

?Ir?00? ?Q。?0?1、线性方程组AX?b有解?r(A)?r(A?b)

?b?L(A1,A2,?,Am) 2、齐次线性方程组 AX?0的解空间维数

=未知元个数—矩阵A的秩。

例1 证明（1）ABX?0与BX?0同解?r(AB)?r(B)；

（2）r(A)?r(ATA)。

证（1）\?\ABX?0的解空间维数=n?r(AB)

BX?0的解空间维数=n?r(B)

ABX?0与BX?0同解?n?r(AB)?n?r(B)，?r(AB)?r(B)。 \?\若r(AB)?r(B)?n，则ABX?0与BX?0只有解X?0；

若r(AB)?r(B)?n，由BX0?0?ABX0?0，故BX?0由n?1个解构成的基础解系也是ABX?0的基础解系，所以他们总是同解的。

（2）若AX0?0?ATAX0?0；

若ATAX0?0?X0TATAX0?0?AX0?0，

所以r(AAT)?r(AT)?r(A)?r(ATA)。

例2 证明（1）r(A?B)?r(A)?r(B)；（2）r(AB)?min{r(A),r(B)}。

Xk=(x1(k),x2(k),x3(k),x4(k),x5(k),x6(k))T利用贝叶斯公式可得

Xk=AXk-1=?=AkX0

?1?2???00??，B???11???4??4??0?141081141040?0??0?? ?1?4?1??2?其中A???I2?0?1?4R?，R???B??0??11610160?I2k容易计算得A???0R(I?B???Bk?1)??

Bk?第四章将证明B的特征值之模全小于1，且

?I2??0R(I?B)?1??X0 0??3?4?1R(I?B)???1??4121212121?4?? 3?4??当X0=e1，则X=e1 两优全优 当X0=e2，则X=e2 两劣全劣

当X0=e3， 则X=（，,0,0,0,0）T 优+混优 劣

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