电磁场与电磁波（第4版） 习题第2章

2.3 电荷q均匀分布在半径为a的导体球面上，当导体球以角速度?绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。

解 导体球上的面电荷密度为

?S?为

q 4?a2球面上任一点的位置矢量为r?era，当导体球以角速度?绕通过球心的z轴旋转时，该点的线速度

v???r?ez??era?e??asin?

则得导体球面上的面电流密度为

JS??Sv?e?

q?sin? 4?a42??432.6 平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为????0U0dx3，阴极板位于x=0处，阳极板

9位于x=d处，极间电压为U0；如果U0?40V,d?1cm，横截面s?10cm2，求：（1）x=0至x=d区域内

的总电荷量；（2）x=d/2至x=d区域的总电荷量。

解 （1） q1??V1?dV??(??0U0d?43x?23)Sdx?

0d494?0U0S??4.72?10?11C 3dd4?43?23（2） q2???dV??(??0U0dx)Sdx?

V2d2941?(1?3)?0U0S??0.97?10?11C 3d2?

2.7 在真空中，点电荷q1??0.3?c位于点A(25,-30,15)cm；点电荷q2?0.5?c位于点B(-10,8,12)cm。求：（1）坐标原点处的电场强度；（2）点P(15,20,50)cm处的电场强度。 解 （1）源点的位置矢量及其大小分别为

r1??ex25?ey30?ez15cm,r2???ex10?ey8?ez12cm,E0?1[q1r1??252?302?152?41.83cmr2??10?8?12?17.55cmq2r0?r2?3222

而场点O的位置矢量r0?0，故坐标原点处的电场强度为

4??0r0?r1?(r0?r?)?3(r0?r?)]

1??0.3?10?6?(?ex25?ey30?ez15)?10?2? ??234??0?(41.83?10)0.5?10?6?2?(e10?e8?e12)?10xyz? (17.55?10?2)3??ex92.37?ey77.62?ez94.37KV/m

（2）场点P的位置矢量为

rP?ex15?ey20?ez50cm

故

2－1

rP?r1???ex10?ey50?ez35rP?r2??ex25?ey12?ez38则

1??0.3?10?6?2Ep?(?e10?e50?e35)?10? ?xyz34??0??rP?r1??0.5?10?6?2(ex25?ey12?ez38)?10? 3rP?r2????ex11.94?ey0.549?ez12.4KV/m

2.9 无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行于z轴，线电荷密度为?l；试求点P(x,y,z)处的电场强度E。

解 线电荷沿z方向为无限长，故电场分布与z无关。设点P位于z=0平面上，如题2.9图所示，线电荷与点P的距离矢量为

R?ex?x?6??ey?y?8?R?eR??x?6???y?8?

Rex?x?6??ey?y?8??22R?x?6???y?8??l?l?ex(x?6)?ey(y?8)R???l?22

2??0RR2??0R2??0(x?6)?(y?8)?l1、?l2和?l3的线电荷构成一个等边三角形，设

22根据高斯定律得点P处的电场强度为

E?eR

2.11 三根长度均为L、线电荷密度分别为

?l1?2?l2?2?l3，试求三角形中心的电场强度。

解 根据题意建立题2.11图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

d?L3tan30??L 26y 直接利用有限长直线电荷的电场强度公式

Er?得

?l1(cos?1?cos?2) 4??0rE1 ?l3 E2 ?l2 E3 ?l13?l1(cos30??cos150?)?ey 4??0d2??0L3?3?l1E2??(excos30??eysin30?)l2??(ex3?ey)

2??0L8??0L3?3?E3?(excos30??eysin30?)l3?(ex3?ey)l1

2??0L8??0LE1?ey故等边三角形中心处的电场强度为

E?E1?E2?E3?

o ?l1 题2.11图

x

ey

3?l13?l13?l13?l1?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey

2??0L8??0L8??0L4??0L2－2

2.13 自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点(0,0,-4)处的平面上?S1?3nC/m，位于点(0,0,1)处的平面上

22?S2?6nC/m，位于点(0,0,4)处的平面上?S3??8nC/m。试求以下各点的E：（1）

P,?5,2?。 （2）P（3）P1?2,5,?5?；2??2,4,5?；3??12解 无限大的均匀面电荷产生的电场为均匀场，利用前面的结果得 （1）E1??ez?S1??1?ezS2?ezS3??ez?3?6?8??10?9? 2?02?02?02?01?9?10??ez56.49V/m ?122?8.85?10?S1?S2?S31E?e?e?e?e?3?6?8??10?9?ez56.49V/m （2）2zzzz2?02?02?02?0?S1??1?ezS2?ezS3?ez?3?6?8??10?9?ez960.5V/m （3）E3?ez2?02?02?02?0?ez

2.15 半径为a的球形体积内充满密度为??r?的体电荷。若已知球形体积内外的电位移分布为

?er?r3?Ar2?,0?r≤a?D?erDr??a5?Aa4

,r≥a?er?r2式中A为常数，试求电荷密度??r?。

解 由??D??，得

1d2?(r)???D?2(rDr)

rdr故在0?r?a区域，有

1d23?(r)?2[r(r?Ar2)]?5r2?4Ar

rdr在r?a区域

1d2(a5?Aa4)?(r)?2[r]?0 2rdrrz ?d dI o b a ? 题2.16图

2.16 一个半径为a的导体球带电荷量为q ,当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时（如题2.16图所示），试求球心处的磁感应强度B

解 导体球面上的面电荷密度为?S?置矢量r?era点处的电流面密度为

q，当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位4?a2JS??Sv??Sω?r??Sez??era

?q?e???Sasin??e?sin?

4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为dl?ad?细圆环的电流为

?qdI?JSdl?sin?d?

4?该细圆环的半径为b?asin?，细圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上任一点的磁

场公式，可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为

2－3

dB?ez?0b2dI2(b2?d2)32B??dB???0?qa2sin3?d??0?qsin3?d? ?ez?ez8?(a2sin2??a2cos2?)328?a?故整个球面电流在球心处产生的磁场为

0?0?qsin3???qezd??ez0

8?a6?a

2.18 一条扁平的直导体带，宽度为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I。试证明在第一象限内任一点P的磁感应强度为

Bx???0I? 4?a?IrBy?0ln(2)

4?ar1Idx?。根据安培环路定2a式中的?、r1和r2如图2.18图所示。

解 将导体带划分为无数个宽度为dx?的细条带，每一细条带的电流dI?理，可得到位于x?处的细条带的电流dI在点处的磁场为

dB?e?故

?0dI?Idx??0Idx??e?0?e? 2?R4?aR4?a[(x?x?)2?y2]12y dB ?2 ? ?0Iydx?dBx??dBsin???

4?a[(x?x?)2?y2]?0I(x?x?)dx?dBy?dBcos??

4?a[(x?x?)2?y2]则得

P(x,y)

r2 ?a I R r1 ?1 ? x? a x

Bx???a?0Iydx?4?a[(x?x?)2?y2]?0Ix??xa??arctan()

4?ay?a?a

题 2.18图（附）

?0I?a?x?a?x?arctan()?arctan()? 4?a?yy???I?x?ax?a???0?arctan()?arctan()?

4?a?yy??I?I??0(?2??1)??0?

4?a4?aa?0I(x?x?)dx??0IBy????ln[(x?x?)2?y2]22?a4?a[(x?x?)?y]8?a?0I(x?a)2?y2?0Ir2?ln?ln 228?a(x?a)?y4?ar1??

2.21 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求出其源量J。 （1）H?e?a?,a

?aB??0H （圆柱坐标系）

B??0H

2－4

（2）H?ex??ay??eyax,

（3）H?exax?eyay, （4）H?e?ar,B??0H

B??0H （球坐标系）

解 根据静态磁场的基本性质，只有满足??B?0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，对于磁场矢量，则可由方程J???H求出源分布。

（1）在圆柱坐标中 ??B???1?(?B?)?0(a?2)?2a?0?0 ??????可见矢量H?e?a?不是磁场的场矢量。 （2） 在直角坐标系中

??(?ay)?(ax)?0 ?x?y故矢量H?ex??ay??eyax是磁场矢量，其源分布为

??B?exeyez???J???H??ez2a

?x?y?z?ayax0??(ax)?(?ay)?0 （3） ??B??x?y故矢量H?exax?eyay是磁场矢量，其源分布为

exeyezJ???H?????0

?x?y?zax?ay0 （4） 在球坐标系中

1?B?1???B??(ar)?0

rsin???rsin???故矢量H?e?ar是磁场的场矢量，其源分布为

er1?J???H?2rsin??r0re????0rsin?e???eracot??e?2a ??ar2sin?

2.22 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如题2.22图所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。

解 将题给的非对称电流分布分解为两个对称电流分布的叠加：一个是电流密度J均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个是电流密度?J均匀分布在半径为a的圆柱内。原有的空腔被看作是同时存在J和?J两种电流密度。这样就可以利用安培环路定律分别求出两种对称电流分布的磁场，再进行叠加即可得到解答。

由安培环路定律

??B?dl??I，先求出均匀分布在半径为b的圆柱内的J产生的磁场为

C0 2－5

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