幂函数经典例题（答案）

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5. 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

答案 B

点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例4、已知x>x3，求x的取值范围．

1

错解 由于x≥0，x3∈R，则由x>x3，可得x∈R.

错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．

正解

2

2

1

2

1

作出函数y=x2和y=x的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.

例5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.

解 根据幂函数定义得

m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3. 点评 幂函数y＝xα (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．

13

变式 已知y＝(m2＋2m－2)x

1

＋2n－3是幂函数，求m，n的值． m－1

2解

?2

由题意得?m－1≠0

?2n－3＝0

m2＋2m－2＝1

，

m＝－3??解得?3

n＝?2?

，

3所以m＝－3，n＝2. 例6、比较下列各组中两个数的大小：

（1）1.5，1.7；（2）0.7，0.6；（3）(－1.2)3535351.51.5

－23，(－1.25)－23．

解析：（1）考查幂函数y＝x的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴1.5＜1.7，

（2）考查幂函数y＝x的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵(－1.2)＞1.25－23323535－23＝1.2－23，(－1.25)－23＝1.25－23，又1.2－23＞1.25－23， ∴(－1.2)－23．

点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

例7、比较下列各组数的大小

557?1?7

(1) 3－2与3.1－2；(2)－8－8与－?9?8.

??

分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．

5

解 (1)函数y＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，

55

又3<3.1，所以3－2>3.1－2.

7711?1?7?1?7?1?

(2)－8－8＝－?8?8，函数y＝x8在(0，＋∞)上为增函数，又8>9，则?8?8>?9?

??????

78，

7?1?7

从而－8－8<－?9?8.

??

点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．

变式 比较下列各组数的大小： ?2?2?π?2(1)?－3?－3与?－6?－3； ????232(2)4.15，(－1.9)5与3.8－3.

?2?2?2?2?π?2?π?2

解 (1)?－3?－3＝?3?－3，?－6?－3＝?6?－3，

????????

22π

∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又∵>，

336

?2?2?2?2?π?2?π?2∴?－3?－3＝?3?－3

22223

(2)(4.1)5>15＝1,0<3.8－3<1－3＝1，(－1.9)5<0，

322

所以(－1.9)5<3.8－3<(4.1)5. 例8、 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)

mm

上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－3<(3－2a)－3的a的范围．

解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m－9<0，解得m<3， 又m∈N*，∴m＝1,2.

又函数图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数，故m＝1，

11

∴有(a＋1)－3<(3－2a)－3.

1

又∵y＝x－3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减， ∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a 或a＋1<0<3－2a，

23

解得3

点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．

变式 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．

解 由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，

当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．

当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示． 当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．

练习

一、选择题 1．下列命题：

①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；

③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数；

⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 其中正确的是( )

A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 答案 D

2．下列函数中，不是幂函数的是( )

A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x2 答案 A

??111α??，－2，－1，－，，，1，2，33．设α∈则使f(x)＝x为奇函数且在(0，232??

＋∞)内单调递减的α值的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A

4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是( )

1

A．y＝x2 B．y＝x－2 C．y＝x2 D．y＝x－1 答案 B 5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )

A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1 答案 B

2

?m－3m＋3＝1

解析 由已知?2

?m－m－2≤0

∴m＝1或m＝2.

1

6．在函数y＝x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 (x≠0)中幂函数的个数为( ) A．1 B．0 C．2 D．3 答案 C

解析 依据幂函数的定义判定，应选C.

1??

7．幂函数f(x)的图象过点?4，2?，那么f(8)的值为( )

??

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