1正弦定理余弦定理

正弦定理 余弦定理

一、一周知识概述

本周主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形

中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何

一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况． 二、重点知识讲解 1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有 （1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°； （2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 射影定理：a＝bcosC＋ccosB b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

在△ABC中，易证明再在上式各边同时除

以

面积公式的应用．

在此方法推导过程中，要注意对

例1、在△ABC中，ab=60, sinA=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角．

[解析]

例2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．

[解析]

例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．

[解析]

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．

例4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．

[解析]

6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．

例5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．

[解析]

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．

下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况． （1）当A为锐角时（如下图），

（2）当A为直角或钝角时（如下图），

也可利用正弦定理进行讨论．

如果sinB>1，则问题无解； 如果sinB＝1，则问题有一解；

如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．

2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解决的类型： （1）已知两角和任一边解三角形； （2）已知两边和一边的对角解三角形． 5、余弦定理解三角形可解决的类型： （1）已知三边解三角形； （2）已知两边和夹角解三角形． 6、三角形面积公式：

例6、不解三角形，判断三角形的个数． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135°

例一分析：

在正弦定理中，由

进而可以利用三角函数之间的关系进行解题．

可以把面积进行转化，

解：

由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB ∴A＋B=90°或A－B=90° 显然A＋B=90°不可能成立

当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得 A=120° B=30°

当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意

故所求解为A=120°，B=30°，C=30°. 例二分析：

把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例三分析：

三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2，a2＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．

解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得， ∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝．

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a4－a2c2＋b2c2－b4＝0，

即（a2－b2)（a2＋b2－c2）＝0，

于是a2＝b2或a2＋b2－c2＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2．

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 例四分析：

本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边． 解：

解法一：由正弦定理得： 2RsinAcosA=2RsinBcosB ∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180° ∴A=B或A＋B=90°

故△ABC为等腰三角形或直角三角形 解法二：由余弦定理得

∴a2(b2＋c2－a2)=b2(a2＋c2－b2) ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)=0 ∴a=b或a2＋b2=c2

故△ABC为等腰三角形或直角三角形． 例五分析：

本题运用方程的思想，列方程求未知数． 解：

设边长为x(1

设x2=t，则1

例六解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．

②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

∴B＝90°，△ABC有一解．

④a

∴△ABC有两解（A为锐角和钝角）． 方法二：a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴92＝102＋c2－2×10×ccos60°， 即c2－10c＋19＝0 ∵△＝102－4×19＝24>0

∴△ABC有两解．

⑤b>c，C＝45°，

∴△ABC无解（不存在）．

⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，这样B＋C>180°，

∴△ABC无解．

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一、选择题

1、已知△ABC为钝角三角形，且a，b，c三边长恰为三个连续正整数，a

A．一个 B．二个

C．三个 D．无数个

2、已知在△ABC中，则C等于（ ）

A． B．

C． D．以上都不对

3、在△ABC中，A>B是sinA>sinB的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 4、在△ABC中，b2=4a2sin2B，则角A度数为（ ）

D．非充分非必要条件

A．30°或60° B．30或150°

C．60°或120° D．45°或135°

5、在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC的值为（ ）

A． B．

C． D．

6、在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2

A．90°

C．60°

7、在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式则角C为（ ）

A．30° B．45°

C．60° D．90°

8、若则△ABC是（ ）

A．等边三角形 B．等腰直角三角形

C．有一内角是30°的直角三角形 角形

D．有一内角是30°的等腰三

9、在△ABC中，已知则角C的值是（ ）

A． B．

C． D．

10、在三角形ABC中，三边分别是a，b，c，且满足(a＋b＋c)(a＋b－c)=3ab，则C边所对的角等于（ ）

A．45° B．60°

C．30° D．150°

重 做

提 示

B 卷

二、综合题

11、若△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 ___________．

[答案]

12、在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形的形状为_________．

[答案]

13、在△ABC中，A=30°，b=12，S△ABC=18，则

[答案]

的值为_________．

14、已知在△ABC中，B=60°，a和c分别是方程x2－8x＋2的两个根，则b=_________．

[答案]

15、已知在△ABC中，c=1，a=2，求角C的取值范围．

[答案]

16、在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，且C=10，ABC的内切圆的半径．

[答案]

求△

17、如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝60°，AC＝7，AD＝6，

．求AB的长．

[答案]

18、在△ABC中，若三角形．

[答案]

第1题答案错误! 正确答案为 A 第2题答案错误! 正确答案为 B 第3题答案错误! 正确答案为 C 第4题答案错误! 正确答案为 B 第5题答案错误! 正确答案为 D 第6题答案错误! 正确答案为 C 第7题答案错误! 正确答案为 B 第8题答案错误! 正确答案为 B 第9题答案错误! 正确答案为 A

．解此

第10题答案错误! 正确答案为 B

提示：

1、设三角形三边长分别为x，x＋1, x＋2, 则由钝角三角形的判定有x2＋(x＋1)2<(x＋2)2，即2x2＋2x＋1

2、由正弦定理，故角B=60°或120°，又∵b>a，∴B的两个值

sinA>sinB．

均符合题意，∴C=90°或30°，再由正弦或余弦定理得 3、在△ABC中，A>B

a>b

2RsinA>2RsinB

4、∵b2=4a2sin2B，而b>0, a>0, sinB>0,∴b=2asinB,

∴A=30°或150°．

5、由正弦定理得a∶b∶c＝3∶2∶4， 故可设a＝3x，b＝2x，c＝4x，

代入即可．

6、∵a20,

∴A<90°

又∵a边最大，∴A角最大， ∵A＋B＋C=180°，∴3A>180° ∴A>60°,∴60°

7、由已知得4S＝a2＋b2－c2，所以

8、

∴cosB=sinB, cosC=sinC

∴必有B=C=45°时才成立，∴△ABC是等腰直角三角形．

9、易知

10、根据已知(a＋b＋c)(a＋b－c)=3ab，得

∴C=60°．

11、1︰2︰3

提示：可求得A＝30°，B＝60°，C＝90° 12、等腰三角形或直角三角形 提示：

由正弦定理,

代入已知并化简可得

(a＋b)(a－b)(a2＋b2－c2)=0, ∴a=b或a2＋b2＋c2.

13、提示：

由

14、提示：

依题意，ac=2, a＋c=8,

∴b2=a2＋c2－2accosB=(a＋c)2－3ac=82－3×2=58,

15、解：

设第三边为b，则有 ∴1

根据余弦定理4bcosC=3＋b2,

即b2－4bcosC＋3=0, △=b2－4ac=(－4cosC)2－4×3≥0

∵C是△ABC的最小内角，∴cosC>0

16、解：

即sin2A=sin2B

又∵a≠b，∴2A=π－2B，

∴△ABC为Rt△，又c=10，

由①②得a=6，b=8

所以内切圆半径为.

17、解：

18、

高考解析

1.（2009年全国1卷）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．已知且sinAcosC＝3cosAsinC，求b. 解析：

，

由余弦定理得－2bccosA．

又＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2．①

又sinAcosC＝3cosAsinC,

sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC, sin（A＋C）＝4cosAsinC, sinB＝4sinCcosA．

由正弦定理得sinB＝sinC,

故b＝4ccosA. ② 由①、②解得b＝4.

2.（2009年北京卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B＝＝

.

,cosA＝,b

（1）求sinC的值； （2）求△ABC的面积． 解析：

（1）因为角A，B，C为△ABC的内角，且所以sinA

＝.

于是sinC＝sin.

（2）由（1）知sinA＝,sinC＝.

又因为，

所以在△ABC中，由正弦定理得.

于是△ABC的面积

.

3.（2009年四川卷）在△ABC中，A、B为锐角,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且

（1）求A＋B的值；

（2）若a－b＝分析：

－1，求a、b、c的值．

本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力． 解：

（1）∵A、B为锐角，sinB＝，

又cos2A＝1－2sin2A＝,

∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB＝

（2）由（1）知,

由正弦定理得

即a＝

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5teo.html