高等数学方明亮版第九章答案 曲线积分与曲面积分习题详解

高等数学方明亮版第九章

曲线积分与曲面积分习题详解

习题9.1

1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）I??L22xds，其中L是圆x?y?1中A(0,1)到B(12,?12 )之间的一段劣弧；

解: L??AB的参数方程为：

x?cos?,y?sin?(???4????2y)，于是

AI???2??4?2cos?22(?sin?)?cos?d?

CoxB???4cos?d??(1?12)．

（2）??(x?y?1)ds，其中L是顶点为O(0,0),A(1,0)及B(0,1)所成三角形的边界；

L解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有

??(x?y?1)ds

LyB(0,1)oA(1,0)x ??OA(x?y?1)ds??AB(x?y?1)ds ??BO(x?y?1)ds，

由于OA:y?0，0?x?1，于是

ds?(dxdx)?(2dydx)dx?1021?0dx?dx22，

故 ?(x?y?1)ds?OA?(x?0?1)dx?32，

而AB:y?1?x,0?x?1，于是

ds?(dxdx)?(2dydx)dx?21?(?1)dx?222dx．

故

?(x?y?1)ds?AB?10[x?(1?x)?1]2dx?22， xdyd2同理可知BO:x?0（0?y?1），sd?()?()ydydyd?021?ydyd?22，则

1

?(x?y?1)ds?BO?10[0?y?1]dy?3232．

综上所述 ??(x?y?1)ds?L32?22??3?22．

（3）??Lx?yds，其中L为圆周x?y?x；

y2222解 直接化为定积分．L1的参数方程为

x?12?12cos?L1,y?12sin?（0???2?）,

o1xL且

ds?[x?(?)]?[y?(?)]d??22 12d?．

于是

??

2Lx?yds?22?2?0cos?2?12d??2．

（4）?xyzds，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,2),

LD(1,2,3)；

解 如图所示， ?x2yzds? LzB(0,0,2)? ABxyzds?2? BCxyzds?2? CD2xyzds．

D(1,2,3)C(1,0,2)线段AB的参数方程为 x?0,y?0,z?2t(0?t?1)，则

ds?(dxdt2)?(2dydt2)?(2dzdtA(0,0,0)y)2 x?0?0?2dt?2dt，

2故

?xyzds?2 AB? 0?0?2t?2dt?0．

0 1线段BC的参数方程为x?t,y?0,z?2(0?t?1)，则

ds?故

? BCxyzds?21?0?0dt?dt,

222? 1 0t?0?2?dt?0，

2线段CD的参数方程为x?1,y?2t,z?2?t(0?t?1)，则

2

ds?故

0?2?1dt?2225dt，

?所以

CDxyzds?2? 1 01?2t?(2?t)?25dt?25? (2t?t)dt? 0 12835，? Lxyzd?s2?2 ABxyz?d?s2 BCx?yz?ds 2CD8?xy5z．d s3222（5）?，为球面xdsx?y?z?1与平面x?y?z?0的交线。 L?2L解 先将曲线L用参数方程表示，由于L是球面

x?y?z?1与经过球心的平面x?y?z?0的交线，如图所示，

222z因此是空间一个半径为1的圆周，它在xOy平面上的投影为椭圆，

xoy其方程可以从两个曲面方程中消去z而得到，即以z??(x?y)代入

x?y?z?1有x?xy?y?22222

12，将其化为参

23cost数方程，令32x?12cost，即 x?16，

x2?y?12sint，即有

y?121216sint?cost，代入x2?y2?z2?1（或x?y?z?0中）

得z??sint?cost，从而L的参数方程为

12161216 x?23cost，y?sint?cost，z??sint?cost(0?t?2?)．

则 ds?[x?(t)]2?[y?(t)]2?[z?(t)]2dt

23cost22?0 ?sint?(2?sint62)?(2sint6?cost22)dt?dt, 2322所以 ??xds?L?23costdt?23?2?0costdt??．

2 设一段曲线y?lnx(0?a?x?b)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．

解 依题意曲线的线密度为??x2，故所求质量为M?L:y?lnx(0?a?x?b)．则L的参数方程为

?Lxds，其中

23

?x?x (0?a?x?b)， ?y?lnx?故

ds??dy?1???dx??dx?21?1x2dx?1x1?xdx2，

所以

M??bax2x3331122b1?xdx?[(1?x)2]a?[(1?b2)2?(1?a2)2]．

33

3 求八分之一球面x2?y2?z2?1(x?0,y?0,z?0)的边界曲线的重心，设曲线的密度??1。

解 设曲线在xOy,yOz,zOx坐标平面内的弧段分别为L1、L2、L3，曲线的重心坐标为

?x,y,z?，则曲线的质量为M x?y?z?1M1M2M???L1?L2?L3ds?3?ds?3?L12?4?3?2．由对称性可得重心坐标

??L1?L2?L3xds?1M??L1xds???L2xds??L3xds

??????10L1xds?0?xdx1?x,2?L3xds??43??2ML1xds

?2M．

故所求重心坐标为?

?4?3?43?,4??3??．

习题9.2

1 设L为xOy面内一直线y?b（b为常数），证明

?LQ(x,y)dy?0。

证明：设L是直线y?b上从点(a1,b)到点(a2,b)的一段，其参数方程可视为

（a1?x?a2）， y?y(x)?b，

于是

4

?LQ(x,y)dy??a2a1Q(x,b)?0?dx?0。

2 计算下列对坐标的曲线积分：

（1）?xydx，其中L为抛物线y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧。

L解 将曲线L的方程y2?x视为以y为参数的参数方程x?y2，其中参数y从?1变到

1。因此

?Lxydx??1?1yy(y)?dy?2?221?1ydy?445。

（2）?(x2?y2)dx?(x2?y2)dy，其中L是曲线y?1?1?x从对应于x?0时的点到

Lx?2时的点的一段弧；

解

yL1L21o2x L1的方程为y?x(0?x?1)，则有

??(x 2 1 2 1(x2?y)dx?(x22?y)dy?2 L1? 12xdx?223．

0L2的方程为y?2?x(1?x?2)，则

2?y)dx?(x22?y)dy 22

2 L2????[x?(2?x)]dx??[x?(2?x)]?(?1)dx

1222 2(2?x)dx?223．

43所以 ?(x2?y2)dx?(x2?y2)dy? L．

222（3）?ydx?xdy,L是从点A(?a,0)沿上半圆周x?y?a到点B(a,0)的一段弧；

L解

5

??(x,y)(0,0)22(2xcosy?ysinx)dx?(2ycosx?xsiny)dy

?OA(2xcosy?ysinx)dx?(2ycosx?xsiny)dy

2222??AB(2xcosy?ysinx)dx?(2ycosx?xsiny)dy

22??x0[(2xcos0?0sinx)?(2?0?cosx?xsin0)?0]dxy22

??[(2xcosy?ysinx)?0?(2ycosx?xsiny)]dy

0??x0222xdx ??(2ycosx?xsiny)dy

022222y?x?(ycosx?xcosy?x)?xcosy?ycosx。

（3）?(1,2)(2,1)?(x)dx??(y)dy，其中?(x)和?(y)为连续函数。

?P?y?Q?x解 令P??(x)，Q??(y)，则

(1,2)(2,1)?0?在整个xOy面内恒成立，因此，曲线

积分??(x)dx??(y)dy在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图

y所示的积分路径，则有

? ??(1,2)(2,1)C(1,2)?(x)dx??(y)dy

?AB?(x)dx??(y)dy?2?BC?(x)dx??(y)dy

OB(1,1)A(2,1)x?12?(x)dx???(y)dy。

14 验证下列P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xOy面内为某一函数u(x,y)的全微分，并求出这样的一个u(x,y)：

（1）(2x?siny)dx?xcosydy； 解 令P?2x?siny，Q?xcosy

?Q?xyB(x,y)??cosy，

?P?y?cosy

O∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取

(x0,y0)?(0,0)，

?A(x,0)xu(x,y)??(x,y)(0,0)Pdx?Qdy=?2xdx?0x?y0xcosydy=x?xsiny

211

（2）(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy； 解 因为P?x2?2xy?y2，Q?x2?2xy?y2，所以

?Q?x?2x?2y??P?y在整个

：在整个xOy面内，(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy是某xOy面内恒成立，因此，一函数u(x,y)的全微分，即有

(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy?du。

于是就有

?u22?x?x?2xy?y ?u?x2?y?2xy?y2 由（4）式得

u(x,y)??(x2?2xy?y2)dx?13223x?xy?xy??(y) 将（6）式代入（5）式，得

x2?2xy???(y)?x2?2xy?y2 比较（7）式两边，得

??(y)??y2 于是 ?(y)??133y?C （其中C是任意常数）

代入（6）式便得所求的函数为

u(x,y)?13233x?xy?xy2?13y?C。

（3）ex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy。

解 令P(x,y)?ex(1?siny)，Q(x,y)?(ex?2siny)cosy，则在全平面上有

?QPx?x???y?ecosy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，

ex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy

是全微分．

下面用三种方法来求原函数：

12

4）

5）

6）

7）

（（（ （

解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10所示，可取定点O(0,0)，动点A(x,0)与M(x,y)，于是原函数为

u(x,y)?yM(x,y)?(x,y)(0,0)e(1?siny)dx?(e?2siny)cosydyxx．

oA(x,0)x

取路径: OA?AM，得

u(x,y)??x0e(1?0)dx?x?y0(e?2siny)cosydy?e?1?esiny?siny．

xxx2 解法2 从定义出发，设原函数为u(x,y)，则有分（y此时看作参数），得

?u?x?P(x,y)?e(1?siny)，两边对xx积

u(x,y)?e(1?siny)?g(y) （*）

x待定函数g(y)作为对x积分时的任意常数，上式两边对y求偏导，又

ecosy?g?(y)?(e?2siny)cosy，

xx?u?y?Q(x,y)，于是

即 g?(y)?2sinycosy，从而 g(y)?sin2y?C（C为任意常数），代入（*）式，得原函数u(x,y)?ex?exsiny?sin2y?C．

5 可微函数f(x,y)应满足什么条件时，曲线积分

?与路径无关？

Lf(x,y)(ydx?xdy)

解 令P?yf(x,y)，Q?xf(x,y)，则

?P?y?P?y?Q?x?Q?x?f(x,y)?yfy(x,y)，?f(x,y)?xfx(x,y)。

当?，即f(x,y)?yfy(x,y)?f(x,y)?xfx(x,y)或yfy(x,y)?xfx(x,y)在整个

xOy面内恒成立时，曲线积分?f(x,y)(ydx?xdy)在整个xOy面内与路径无关。

L

13

习题9.4

1 当?为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分??f(x,y,z)dS与二重积分有什么关系?

?答 当?为xOy面内的一个闭区域D时，?在xOy面上的投影就是D，于是有

???。f(x,y,z)d??Sf(x,y,0)dxdy

D222 计算曲面积分??(x?y)dS，其中?是

?（1）锥面z?解 锥面z?x?y及平面z?1所围成的区域的整个边界曲面；

22即锥面在xOy面上的投影区x?y与平面z?1的交线为x?y?1，

222222域为圆域Dxy?(x,y)x?y?1。而

?z?x?xx?y2??，

2?z?y22?yx?yx2，

22??z???z?1?????????x???y?221?x?y?y222x?y?2，

因此

??(x?y)dS??22??Dxy2(x?y)dxdy?22??1?(x?y)dxdy

Dxy22 ?(2?1)??(x?y)dxdy?(2?1)?Dxy222?0d??rrdr

012 ?12(2?1)?。

（2）yOz面上的直线段??z?y?x?02 (0?z?1)绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面。

解 旋转曲面为z? dS?1?(?z?x2x?y(0?z?1)，故

xx?y222)?(?z?y)dxdy?21?()?(2yx?y22)dxdy?22dxdy，

所以

??(x?2?y)dS?2??Dxy2(x?y)dxdy，

22其中Dxy??(x,y)|x2?y2?1?是?在xOy坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，

14

于是

??(x2?y2)dS?2??2?0d??r?rdr?01222?。

3 计算下列曲面积分:

(1) ??dS，其中?是抛物面在xOy面上方的部分：z?2?(x2?y2),z?0；

?解 抛物面z?2?(x2?y2)在xOy面上方的部分在xOy面上的投影Dxy为圆域

22x?y?2,

?z?x??2x,?z?y??2y,故

??dS????Dxy1?(?2x)?(?2y)dxdy?22??Dxy1?4(x?y)dxdy

22??2π0d??201?4rrdr?213π3.

(2) ??(x?y?z)dS，其中?是上半球面x2?y2?z2?a2,z?0；

?解 上半球面z??z?x?a?x?y在xOy面上的投影Dxy为圆域x2?y2?a2,

?x,?z?y??ya?x?y222222a?x?y222,

dS?1?(?z?x)?(2?z?y)dxdy

2??1???????x???222?a?x?y???2??y?dxdy?222?a?x?y?222aa?x?y222,故

??(x?y?z)dS?????Dxy2π0x?y?a0a?x?y2?aa?x?y2222dxdy

??d???rcos??rsin??a01?r?a1?r2rdr.

?a?2π0d???r2(cos??sin?)??r?dr ?21?r??a0?a?2π0(cos??sin?)d??33r221?rdr?a?2π0d??rdr

0a?0?πa?πa.

15

0 ．

3．设?是曲面z2?x2?y2介于z??1和z?2之间的部分,则曲面积分

I???(x?222?y?z)dS

的值为 172π ．

4．设?是由锥面z??22x?y与半球面z?222R?x?y围成的空间闭区域,?是?的整

个边界的外侧,则??xdydz?ydzdx?zdxdy? (2?2)πR3 ．

5．设r?z(x2?3), 则矢量场A?grad r通过曲面x2?y2?z2?1上半部分的流量

Q? 154π ．

二、计算题

1．设空间曲线L为曲面x2?y2?z2?a2与x?y?z?0的交线， （1）若曲线L的线密度为?(x,y,z)?x2，试计算曲线L的质量m;

解: 显然，曲线L是空间圆，由曲线L的方程消去z，得到曲线L在xOy面上的捕风投影是椭圆x2?y2?xy?x?23acost,y?12a2，其参数方程为

a6cost,z??xds?2a2sint?a63cost?a2sint, 其中0?t?2π。

故 m?

(2) 计算I???23Lπa

??L22(x?y?3z)ds．

解: 同理可算得

??L3zds??2?03(?a6cost?a2sint)adt?02，??xds?L??Lyds?2233?a ，

故 I?

4π22(x?y?3z)ds???L33 a。

2．计算??(xy?bx+ay)ds, 其中L为椭圆

2222Lxa22?yb222?1,其周长为c．

2解:

??L(xy?bx+ay)ds??2222???Lxyds???L(bx+ay)ds

2222222?0absintcostasint?bcottdt?2222??Labds

22?0?abc?abc。

3．计算I??L(esiny?b(x?y))xd?e(2ax?x2xxcoys?axy)d,其中a,b为正的常数,L为从点

A(2a,0)沿曲线y?到点O(0,0)的弧．

解

?Q?x??P?y?b?a

31

I???L(esiny?bx(?yxx))?dex(y?coaxsy

OA(x?a)?y?a(y?0)2??2(b?a)dxdy?2?(esiny?b(x?y))dx?(ecosy?ax)dy

2xx?12πa(b?a)?(?2ab)?2212πa(b?a)?2ab2.

4．计算曲面积分I?z?2??x?y?z2?y?z2222dS,其中?是圆柱面x?y?1介于平面 z?0与

之间的部分.

11?x2解：将?分成两部分，即?1:y?1?x2 ，?2:y??1?x2，则dS?和?2在xOz面上的投影区域都为Dxz??(x,z)?1?x?1,0?z?2?，于是

I?x?y?z?1dxdz, 且?1??y?z222dS+11?x???2y?zx?y?z222dS

2???Dxz1?x?z1?z222dxdz+??Dxz?1?x?z1?z211?x2dxdz

?Dxz??1?z2z121?x2dxdz=πln5.

5．计算曲面积分I?????32xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y?z?1a322?32,其中?是球面x2?y2?z2?a2的外侧．

解：I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?a?2???xdydz??ydzdx?zdxdy，再利用高斯公式可求得

I?4π.

三﹑确定常数?,使在右半平面x?0上的向量

A(x,y)?(3x?6xy)i+(6xy?4y)j

?2?3为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y)．

解: 依题意，有

P??u?x2?3x?6xy,Q?2?2?u?y?6xy?4y,由

3?3?P?y??Q?x，12xy?6?x??1y，得??2。故

?u?x?3x?6xy,?u?y?6xy?4y2，由此可得u(x,y)?x3?3x2y2?y4?C.

四、计算I?1?z5?(x?2)162??r?x3dydz?yr3dzd?xzr3d,xdry?x?y?z222,其中?为曲面

?(y?1)9x32(z?0)的上侧． yr3解: 令P?r,Q?,R?zr3,则

?P?x?r?3?3xr2?5,?Q?y?r?3?3yr2?5,?R?z?r?3?3zr2?5，于

32

是，

?P?x??Q?y??R?z?0 (x?y?z?0)。

222为了应用高斯公式，补充两个曲面

?1: 以原点为球心，1为半径的上半球面的下侧，

?2:z?0，介于圆x?y?1和椭圆

22(x?2)162?(y?1)92?1之间，取下侧，

在?,?1,?2所围成的空间闭区域?上应用高斯公式，得 而???2?????1??2xr3dydz?yr3dzdx?xr3zr3dxdy?yr3???0dV??0，

xr3dydz?yr3dzdx?zr3dxdy?0，???1dydz?dzdx?zr3dxdy? ??xdydz?ydzdx?zdxdy，

?1对积分I1????1xdydz?ydzdx?zdxdy，再补充一个曲面?3:z?0，这里x2?y2?1，取上侧，

则?1,?3围成一个空间闭区域，设其为?1，在?1上应用高斯公式，得 I1?故 I?

五、设u具有二阶连续偏导数,n是闭曲面?的外法线向量, ?所围成的闭区域为?,试证明???u???xdydz??1ydzdx?zdxdy?????3dV??2??1，

。

??r?x3dydz?yr3dzdx?zr3dxdy?0?0?(?2?)?2??u?ndS?????grad u??2dV????u ?grad u?dV．

?证明：令n0?cos??i +cos??j?cos??k，则方向导数

?u?n?grad?un20??u?xco?s2??u?yco?s?2?u?zc?os ，

22?u?u?u??u???u???u?而 (gradu)2?????????,div(gradu)?2?2?2，于是由高斯公式，得

?x?y?z??x???z???y?2????u?u?ndS?????(u?u?xcos??u?u?ycos??u?u?zcos?)dS

????????x?????u????u????u?u?u??????u??dV ?x?y?y?z?z???????222???u?2??u?2??u?2?u?u?u????????u?u?dV ????????u222?x?y?z?x?y?z????????????????grad u??2dV????u ?grad u?dV?。

六、设曲面?为球面(x?a)2?(y?a)2?(z?a)2?a2,a?0,试证明

???(x??y?z?3a)dS?12πa.

1113证明：显然有，球面?与平面x?y?z?(3?3)a相切于点(a?a,a?a,a?a)并且

333球面?在该平面的上方，即球面?上的点都满足x?y?z?3a?3a，故根据第一类曲面积

33

分的计算方法有

????(x?y?z?3a)dS?????33adS?12πa。

34

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