2018-2019学年教版九年级上《一元二次方程》单元测试题（含答案解析）

第二十一章《一元二次方程》单元测试题

一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．下列方程中一定是一元二次方程的是 ( )

A．??2?2????+??2=0 B．??(??+3)=??2?1 C．??+??=0 D．??2?2??=3 2．已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．﹣2

3．一元二次方程2x2-x+1=0的根的情况是 （ ） A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断

4．已知一元二次方程????2+????+??=0，若?????+??=0，则该方程一定有一个根为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．-1

5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，下列变形正确的是（ ） A．（x﹣3）2=1 B．（x﹣3）2=10 C．（x+3）2=1 D．（x+3）2=10 6．关于x的一元二次方程(k－1)x＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是( )

A．1 B．0 C．2 D．3

7．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（ ）

A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28

2

2

1

1

2

1

8．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a(1+x2)+2bx?c(1?x2)=0的两根相等，则△ABC为( )

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形

试卷第1页，总5页

9．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）

A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32

10．已知??、??是方程??2?2???4=0的两个实数根，则??3+8??+6的值为（） A．?1 B．2 C．22 D．30

11．如果非零实数a是一元二次方程x－5x＋m＝0的一个根，－a是方程x＋5x－m＝0的一个根，那么a的值等于( ) A．0 B．1 C．2 D．5

12．设??2?????+??=0的两实根为??，??，而以??2，??2为根的一元二次方程仍是??2?????+??=0，则数对(??,???)的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．0 二、填空题

13．请写出一个根为x＝1，另一个根满足－1

15．某药品经两次降价后，从原来每箱60元降为每箱48.6元，则平均每次的降价率为________．

16．方程x2＋px＋q＝0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，－1；乙同学看错了一次项，解得的根是－2，－3，则原方程为_______________．

17．定义新运算?：对于任意实数a、b都有：a?b=a2+ab，如果3?4=32+3×4=9+12=21，那么方程x?2=0的解为________.

三、解答题

18．解一元二次方程：

(1)x2?2x?8=0（配方法）； (2)2x2?9x+8=0（公式法）；

试卷第2页，总5页

1

2

2

(3)7x(3x?2)=6(2?3x)； (4)(x+8)(x+1)=?12．

19．已知关于??的方程(??2?1)??2?(??+1)??+??=0． (1)??为何值时，此方程是一元一次方程？

(2)??为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．

20．关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根，求(??2?2?????2?4??+4)÷

21．已知方程x2﹣（k+1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．

试卷第3页，总5页

??+2

???1

4?????

的值．

22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．

(1)求该公司投递快件总件数的月平均增长率；

(2)如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？

23．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个． (1)降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？

(2)经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？

(3)在(2)的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．

试卷第4页，总5页

24．如图，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2？

试卷第5页，总5页

参考答案

1．D 【解析】 【分析】

根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】

A、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元一次方程，故此选项错误；

C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； D、是一元二次方程，故此选项正确； 故选D． 【点睛】

此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2．D 【解析】 【分析】

把x=1代入x2+px+1=0，即可求得p的值. 【详解】

把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得 1+p+1=0， ∴p=-2. 故选D. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键. 3．C

【解析】 【分析】

先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可． 【详解】

∵△=b 2 -4ac=1-8=-7＜0，

∴一元二次方程2x 2 -x+1=0没有实数根． 故选C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根． 4．C 【解析】 【分析】

将c=-a-b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可． 【详解】

依题意，得c=-a-b， 原方程化为ax2+bx-a-b=0， 即a（x+1）（x-1）+b（x-1）=0， ∴（x-1）（ax+a+b）=0， ∴x=1为原方程的一个根， 故选C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值． 5．B 【解析】 【分析】

方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】 x2﹣6x﹣1=0

方程移项得：x2-6x=1，

配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10， 故选：B． 【点睛】

考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．C 【解析】 【分析】

若一元二次方程有两不相等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值． 【详解】

∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根， ∴△=4-4（k-1）×（-2）＞0，且k-1≠0， 解得k＞2，且k≠1， 则k的最小整数值是2． 故选C． 【点睛】

本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是根据△＞0?方程有两个不相等的实数根列出k的不等式，此题难度不大． 7．B 【解析】 【分析】

赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解． 【详解】

设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛， 故2x（x-1）=28． 故选B． 【点睛】

1

1

本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键． 8．C 【解析】 【分析】

方程a(1+x2)+2bx?c(1?x2)=0的两根相等，即△=0，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状． 【详解】

原方程整理得(a+c)x2+2bx+a?c=0， 因为两根相等，

所以△=b2?4ac=(2b)2?4×(a+c)×(a?c)=4b2+4c2?4a2=0， 即b2+c2=a2，

所以△ABC是直角三角形， 故选C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握根的判别式是解题的关键.

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△>0?方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?方程有两个相等的实数根； (3)△<0?方程没有实数根． 9．B 【解析】

分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10?2x）cm，宽为（6?2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10?2x）cm，宽为（6?2x）cm， 根据题意得：（10?2x）（6?2x）＝32． 故选：B．

点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是

解题的关键． 10．D 【解析】 【分析】

先根据一元二次方程的解的定义得到α2＝2α＋4，再用α表示α3，则运算可化简为8（α＋β）＋14，然后利用根与系数的关系求解． 【详解】

∵α方程x2?2x?4＝0的实根， ∴α2?2α?4＝0，即α2＝2α＋4，

∴α3＝2α2＋4α＝2（2α＋4）＋4α＝8α＋8， ∴原式＝8α＋8＋8β＋6 ＝8（α＋β）＋14，

∵α，β是方程x2?2x?4＝0的两实根， ∴α＋β＝2，

∴原式＝8×2＋14＝30． 故答案为：30． 【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝???，x1x2＝??．也考查了一元二次方程的解． 11．D 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的解的定义得到a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，把两式相加得2a2-10a=0，然后解关于a的一元二次方程即可得到满足条件的a的值． 【详解】

由题意得：a2-5a+m=0，a2-5a-m=0， 所以2a2-10a=0，

解得a1=0（舍去），a2=5， 所以a的值为5，

??

??

故选D． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 12．B 【解析】 【分析】

利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可． 【详解】

根据题意得，α+β=p①，αβ=q②， α2+β2=p③，α2β2=q④， 由②、④可得α2β2?αβ=0， 解之得αβ=1或0，

由①、③可得α2+β2=(α+β)2?2αβ=p2?2q=p， 即p2?p?2q=0， 当q=0时，p2?p=0， 解之得，p=0或p=1， p=0 p2=1 即 1， ， q1=0q2=0

把它们代入原方程的△中可知符合题意； 当q=1时，p2?p?2=0， 解之得，p=?1或2， p=2 p4=?1 即 3， ， q3=1q4=1

p=?1 把它们代入原方程的△中可知 4不合题意舍去，

q4=1所以数对(p,?q)的个数是3对， 故选B． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，有一定的难度，将根与系数的关

系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-??，x1?x2=??． 13．本题答案不唯一，如x(x－1)＝0 【解析】 【分析】

首先在-1＜x＜1的范围内选取x的一个值，作为方程的另一根，再根据因式分解法确定一元二次方程．本题答案不唯一． 【详解】

由题意知，另一根为0时，满足-1＜x＜1， ∴方程可以为：x（x-1）=0，

故答案为：x(x－1)＝0（本题答案不唯一）. 【点睛】

本题考查的是已知方程的两根，写出方程的方法．这是需要熟练掌握的一种基本题型，解法不唯一，答案也不唯一． 14．±2． 【解析】 【分析】

根据根的判别式求出△=0，求出a2+b2=2，根据完全平方公式求出即可． 【详解】

解：∵关于x的方程x2+2ax-b2+2=0有两个相等的实数根， ∴△=（2a）2-4×1×（-b2+2）=0， 即a2+b2=2，

∵常数a与b互为倒数， ∴ab=1，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=2+3×1=4， ∴a+b=±2， 故答案为：±2． 【点睛】

本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a2+b2=2和ab=1是解此题的关键．

??

??

15．10% 【解析】 【分析】

设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60（1-x）元，第二次在60（1-x）元的基础之又降低x，变为60（1-x）（1-x）即60（1-x）2元，进而可列出方程，求出答案． 【详解】

设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60（1-x）2元， 根据题意得：60（1-x）2=48.6， 即（1-x）2=0.81，

解得，x1=1.9（舍去），x2=0.1，

所以平均每次降价的百分率是0.1，即10%， 故答案为：10%． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 16．x2－5x＋6＝0 【解析】 【分析】

根据甲得出p＝?（6-1）＝-5，根据乙得出q＝（-2）×（-3）＝6，代入求出即可． 【详解】

∵x2＋px＋q＝0，甲看错了常数项，得两根6和-1， ∴p＝?（6-1）＝-5，

∵x2＋px＋q＝0，乙看错了一次项，得两根-2和?3， ∴q＝（-2）×（-3）＝6，

∴原一元二次方程为：x2-5x＋6＝0． 故答案为：x2-5x＋6＝0． 【点睛】

本题考查了根与系数关系的应用，解此题的关键是能灵活运用性质进行推理和计算，题目比较好． 17．x1=0，x2=-2 【解析】

【分析】

根据新定义得到x+2x=0，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】 方程x?2=0化为 x+2x=0， 则x（x+2）=0， 所以x1=0，x2=-2． 故答案为：x1=0，x2=-2 【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

18．(1)x1=4，x2=?2； (2)x1=?4，x2=?5． 【解析】 【分析】

（1）先利用配方法得到（x-1）2=9，然后利用直接开平方法解方程； （2）先计算判别式的值，然后代入求根公式求解；

（3）先变形得到7x（3x-2）+6（3x-2）=0，然后利用因式分解法解方程； （4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】 (1)x2?2x=8， x2?2x+1=9， (x?1)2=9， x?1=±3，

所以x1=4，x2=?2；

(2)△=(?9)2?4×2×8=17， x=

9± 172×2

9+ 17，x24

2

2

=

9? 174

； (3)x1=，x2=?； (4)x1=

3

7

26

，

所以x1=

9+ 17，x24

=

9? 174

；

(3)7x(3x?2)+6(3x?2)=0， (3x?2)(7x+6)=0， 3x?2=0或7x+6=0， 所以x1=3，x2=?7； (4)x2+9x+20=0，

(x+4)(x+5)=0

x+4=0或x+5=0， 所以x1=?4，x2=?5． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法和公式法解一元二次方程．

19．(1)??=1时，此方程是一元一次方程；（2）??≠±1．一元二次方程的二次项系数??2?1、一次项系数?(??+1)，常数项??．; 【解析】 【分析】

利用一元二次方程的一般形式求解即可. 【详解】

解：(1)根据一元一次方程的定义可知：??2?1=0，??+1≠0， 解得：??=1，

答：??=1时，此方程是一元一次方程； ②根据一元二次方程的定义可知：??2?1≠0， 解得：??≠±1．

一元二次方程的二次项系数??2?1、一次项系数?(??+1)，常数项??．; 【点睛】

理解一元二次方程的一般形式是解题的关键. 20．-8

1

2

6

【解析】 【分析】

根据根的判别式得到△=（﹣a）2﹣4（a+1）=0，即a2﹣4a=4，再将所求代数式化简为?

1??2?4??+4

，

然后整体代入计算即可. 【详解】

解：∵关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根， ∴△=0，即（﹣a）2﹣4（a+1）=0， ∴a2﹣4a=4， (

??+2??2?2??

?

???1??2?4??+4

1

)÷

1

4?????

=

??+2 ???2 ??? ???1 ??

×

?? ???2 24???

=

???4

?? ???2 2×

??4???

=?

1??2?4??+4

，

∴原式=﹣4×4=﹣8． 【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，解此题的关键在于根据根的判别式得到关于a的方程，再化简所求代数式，然后整体代入求解即可.

21．（1）证明见解析；（2）k的值为﹣2，方程的另一个根，为﹣3． 【解析】 【分析】

（1）通过计算判别式的值得到△=（k+1）2+24＞0，从而可判断方程根的情况； （2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到 得到k和t的值． 【详解】

（1）∵△=（k+1）2﹣4×（﹣6）=（k+1）2+24＞0 ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t，根据题意得： 2+??=??+1 ??=?2 ，解得： ．

2??=?6??=?3所以k的值为﹣2，方程的另一个根为﹣3． 【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=??，

??

2+??=??+1

，然后解方程组即可

2??=?6

x1x2=??．也考查了根的判别式．

22．(1)该公司投递快件总件数的月平均增长率为10%(2)该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务 【解析】 【分析】

(1)设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x，根据该公司今年三月份与五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)根据6月份的快件总件数=5月份的快递总件数×(1+增长率)，可求出6月份的快件总件数，利用6月份可完成投递快件总件数=每人每月可投递快件件数×人数可求出6月份可完成投递快件总件数，二者比较后即可得出结论． 【详解】

解：(1)设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x， 根据题意得：5(1+x)2=6.05，

解得：x1=0.1=10%，x2=?2.1(舍去)． 答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为10%． (2)6月份快递总件数为：6.05×(1+10%)=6.655(万件)， 0.4×16=6.4(万件)， ∵6.4<6.655，

∴该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据数量关系，列式计算．

23．（1）4800元；（2）降价60元；（3）应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元． 【解析】 【分析】

(1)根据总利润=单个利润×数量列出算式，计算即可求出值；

(2)设每个学习机应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；

(3)设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意列出方程，求出方程

??

的解即可得到结果． 【详解】

解：(1)由题意得：60×(360?280)=4800(元)， 则降价前商场每月销售学习机的利润是4800元； (2)设每个学习机应降价x元，

由题意得：(360????280)(5??+60)=7200， 解得：??=8或??=60，

由题意尽可能让利于顾客，??=8舍去，即??=60， 则每个学习机应降价60元；

(3)设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元， 根据题意得：(360?60+???280)[5(60???)+60]=10580， 方程整理得：??2?52??+676=0， 解得：??1=??2=26，

则应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元． 【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量.

24．15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2． 【解析】 【分析】

设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，分当蚂蚁在AO上运动和蚂蚁在OB上运动两种情况列方程，解方程即可求解. 【详解】 有两种情况：

（1）如图1，当蚂蚁在AO上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，

由题意，得2×3x×（50-2x）=450， 整理，得x2-25x+150=0， 解得x1=15，x2=10．

（2）如图2，当蚂蚁在OB上运动时，

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设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2， 由题意，得2×3x（2x-50）=450， 整理，得x2-25x-150=0， 解得x1=30，x2=-5（舍去）．

答：15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，分两种情况进行讨论是本题难点，解题时注意用运动的观点来观察事物．

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