艺考生数学检测

高三年级艺术生检测考试

数学试卷

本试卷满分150分，考试用时120分钟

★祝考试顺利★

注意事项：

1．本卷1—10题为选择题，共50分；l1—21题为非选择题，共100分。请把答案全部写在答题卷上，答在试题卷上无效。考试结束后，监考人员将答题卷收回。

2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置。

一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos75sin75

A．

oo

1 4

B．

1 4

C．M N D．M N M

2．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有

A．30种

B．36种

C．42种

D．60种

3．首项系数为1的二次函数y f(x)在x 1处的切线与x轴平行，则

A．f(0) f(2) C．f( 1) f(2)

B．f(0) f(2)

D．f( 2) f(2)

22

4．若x,y R，则“x y”是“x y”的

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q 1，且bi 0(i 1,2,3, ,n)，若

a1 b1，a11 b11，则

A．a6 b6 C．a6 b6

B．a6 b6

D．a6 b6或a6 b6

7. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则这个几何体的体积是

1

（A） （B）1

23

（C） （D）2

2

8．设Sn是等比数列 an 的前项和，

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图S31S

，则6等于 （ ） S63S12

A．

1

3

B

．

1

5

C．

11 D．

89

A.f(x)的最小正周期是

B. f(x)的值域为[O, 4]

10. 如图，圆锥内接于半径为R的球O,当内接圆锥的体积最大时，圆锥的高等于

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25，把答案填表在答题卡相应位置上。 11．设集合M {x||x 1| 1},N {x|x(x 3) 0}，则M N x2y2 1的离心率e 12．已知椭圆，则m的值为

5m13. 已知直线l和两个不同的平面 , ，则下列命题中错误的是 ▲ (请写出错．．．

误命题的序号). ．

①若l// ,l// ，则 // ②若l ,l ，则 //

③若l , ，则l// ④若l// , ，则l

x2y2

1的一个顶点，则 14．已知双曲线x y 4a(a R,a 0)的右焦点是椭圆

169

2

2

a= ▲ .

15．经过点P(2, 3)作圆(x 1)2 y2 25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所

在直线方程为___________。

三、解答题：本大题共6小题。共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球。

（1）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。

17.(本题满分14分）已知四棱锥P ABCD中，PA⊥底

面ABCD，AB∥CD，AD CD 1， BAD 120，

P

PA ACB 90 .

（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值.

B

18．（本小题满分12分）

某学校为了了解学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了n名学生进行调

（1）求n的值．若，将表中数据补全，并画出频率分布直方图．

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[4.5,5.5)的中点值是5）

作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为7.2，求a,b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7.5小时以上的概率．

19. (本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且1 cos2A cos2B cos2C =2sinBsinC (I) 求角A

(II) 设f(B) sin2B sin2C，求f(B)的最大值.

20. (本小题满分12分）

(I) 若f(x)在 (0, )内为单调增函数，求a的取值范围； (II) 若函数f(x)在x=O处取得极小值，求a的取值范围.

21．（本小题满分13分）

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

，且椭圆E上一点到2

两个焦点距离之和为4；l1,l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N。 （1）求椭圆E的方程； （2）求l1的斜率k的取值范围；

（3）求证直线OM与直线ON的斜率乘积为定值（O为坐标原点）

参考答案及评分标准

一.选择题

二.填空题 11． 3或三.解答题

2

16．解：（Ⅰ）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为事件A，摸出两个球共有方法C5 10 1种，其中，两球一白一黑有C2 C31 6种． 3分 11

C2C33

∴ P(A) ． 2

C55

25

12． x0 x 2 13. ①③④ 14.2 15． x y 5 0

3

答: 从口袋中摸出两个球恰好颜色不同的概率是

3

. ６分 5

（Ⅱ）记“摸出一球，放回后再摸出一个球两球恰好颜色不同”为事件B.

23

，摸出一球为黑球的概率是， 8分 55

233212

0.48 12分 ∴ P B ＝

555525

摸出一球为白球的概率是

答：“有放回摸两次，颜色不同”的概率为0.48．

17.（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC 平面AC，∴PA⊥BC,

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC. （2）解：过C作CE⊥AB于E，连接PE， ∵PA⊥底面ABCD，∴CE⊥面PAB，

∴直线PC与平面PAB所成的角为 EPC， ∵AD=CD=1，∠ADC=60°，∴AC=1，PC=2,

3分 5分

10分

Rt ACD中求得CE=，∴sin EPC .

14分

2

4

18．解：（1）由表可得，

5

n

0.10, n 50. 2分 当a 20时，补全的频率分布表如下：

4分 频率分布直方图为：

6分 （2）根据题意得(5 5 6 10 7 a 8 b 9 5) 50 7.2，

化简得7a 8b 230 ① 8分 又 样本容量n 50.

5 0.20 50 a b 0.10 50 50,

即a b 30 ②

由①②解得a 10,b 20. 10分

由此估计该学校学生的同平均睡眠时间在7.5小时以上的概率是20|5

50

0.50 19.解：（Ⅰ）由1＋cos2A―cos2B―cos2C＝2sinB·sinC得

sin2B sin2C sin2A sinBsinC （2分）由正弦定理得，b2 c2 a2 bc

（4分）由余弦定理得，cosA

b2 c2 a22bc 1

2

（6分） 3

1 cos2B1 cos2C1

（Ⅱ）f(B) （8分） 1 (cos2B cos2C)

222

22

由（Ⅰ）得B C A ，∴C B

33

141

∴f(B) 1 [cos2B cos( 2B)] 1 [cos2B cos( 2B)]

23231131 sB co2sB sin2B) 1 sin 1 (co22(B ) 22226

∵0＜A＜π ∴A

（10分）

2 7

∴ 2B

6663

3

令2B 即B 时，f(B)取得最大值．

6232

x

20.解：由f(x) ln(1 x) 得

1 ax

1 2a

a2x(x 2)

1(1 ax) ax f'(x) 21 x(1 ax)(1 x)(1 ax)2

∵0＜B＜

（12分）

（2分）

（Ⅰ）∵f(x)在(0, )内为单调增函数 ∴f (x) 0在(0, )上恒成立．

1 2a

) 0在(0, )上恒成立 2a

1 2a1

∴2 0 ∴a

2a

1 2a

a2x(x 2)

1 2a 0 （Ⅱ）由f'(x) 得x=0，（a>0） x 12

a2(1 x)(1 ax)2

又a>0 ∴x(x

∴当0 a

（5分）

11 2a

时，由f (x) 0得x ( 1,0) (2, )， 2a

1 2a

由f (x) 0得x (0,2) [来源:]

a

1 2a

∴f(x)在x 处取得极小值．（不合题意）

a

源: ]

（7分）[来

a2x21

0对x ( 1, )恒成立． 当a 时，f'(x) 2

2(1 x)(1 ax) ∴f(x)在定义域内无极小值． 11 2a

当a 时，由f (x) 0得x ( 1,2) (0 )

2a

1 2a

由f (x) 0得x (2,0)

a

（9分）

可得函数f(x)在x=0处取极小值时，a (1

2

, )．

（12分）

1）设椭圆方程为x2y2

21．解：（a2 b

2 1(a b 0)

c 1

由 a2

2a 4得 a 2 a2 b2 c2

b

椭圆方程为x2y2

4

3

1 4分 （2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零

l1:y kx 2, l2:y

1

k

x 2. x2

由 4 y2

1消去y并化简整理，得(3 4k2)x2

16kx 4 0 3

y kx 2 根据题意， (16k)2 16(3 4k2) 0

解得k2

14

.

同理得( 1k)2 14,k2 4, 12

114 k 4,k ( 2, 2) (2

,2) 9分

（3）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)

那么x16k1 x2

3 4k2, xx1 x28k

2 3 4k2

y60 kx0 2

3 4k2, M( 8k3 4k2,6

3 4k2

)

8( 1)

8

同理得N( k,6)， 即63 4( 1N(k,) 12分

k)23 4( 1k)23 44

k23 k2

k33k9

OM kON 4k 4 16

，

即直线OM与直线ON的斜率乘积为定值 9

16. 13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5t4j.html