江苏省宿迁市2015届高三上学期第一次摸底考试数学试题 - Word版含答案

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宿迁市2015届高三年级摸底考试

数学试题 2014.11 数 学(调整：罗云凡)

总体印象：

本次考试是市2015届第一次市统测，也是摸底考试，试题充分体现了摸底的特点，试卷立足基础，总体平稳，注意知识点的覆盖，注重重点知识测试，突出基本方法，加强思维和计算能力考查，难易适中，区分度、信度较高，题型略有创新。符合江苏省近两年高考试题趋势，顺应潮流。 试题评析：

一、填空题：

第1～5、9、11题难度系数都在0.8以上，属简单题，第6、7、8、10、12题难度系数在0.6～0.8之间，属中档题，第13、14题难度系数在0.4以下，属难题． 1．已知集合M??0,1,3?，N?xx?3a,a?M，则M?N= ． 2．若复数

??1?ai为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是 ． 1?i3．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，…，2，

420，则抽取的21人中，编号在区间?241,360?内的人数是 ．

4．在如图所示的算法中，输出的i的值是 ．

S←2 i←1 5．已知{an}是等差数列，若2a7?a5?3?0，则a9的值是 ．

While S≤200 6．若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，i←i＋2 S←S×i 则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ．

End While 7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的渐近线方程是y??2x，

Print i （第4题图） 且经过点(2,2)，则该双曲线的方程是 ． 8．若cos(??)?22?31?，则sin(2??)的值是 ． 3?M A1 C1

9．若a?ab?b?1，a，b是实数，则a?b的最大值是 ． 10．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若各条棱长均为2，且 M为AC的中点，则三棱锥M?AB1C的体积是 ． 11B1

C

A

1

(第10题图)

B

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11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)?x2?x，则关于x的不等式

f(x)??2的解集是 ．

12．已知光线通过点M??3,4?，被直线l：x?y?3?0反射，反射光线通过点N?2,6?， 则反射光线所在直线的方程是 ．

13．如图，已知?ABC中，AB?AC?4，?BAC?90?，D是BC 的中点，若向量AM?C ??????????1???AB?m?AC，且AM的终点M在 4??????????，则AM?BM的取值范围是 ． ?ACD的内部（不含边界）

A 22?????D B (第13题图) 14．已知函数f(x)?x?2ax?a?1，若关于x的不等式f(f(x))?0的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15．已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，?B?（1）若a?2，b?23，求c的值； （2）若tanA?23，求tanC的值．

16．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB?PD．

（1）求证：BD?PC；

（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC//l．

B

2

(第16题图)

?． 3P A D C 让时间充满力量！

17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB为直径，且AB?2km,O为圆心，

C为圆周上靠近A 的一点，D为圆周上靠近B 的一点，且CD∥AB．现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧?AC，C到D是线段CD.设?AOC?xrad，观光路线总长为ykm.

（１）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域； （２）求观光路线总长的最大值.

C

A O

(第17题图)

18．已知函数f(x)?ex（其中e是自然对数的底数），g(x)?x2?ax?1，a?R． （1）记函数F(x)?f(x)?g(x)，且a?0，求F(x)的单调增区间；

（2）若对任意x1,x2??0,2?，x1?x2，均有f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)成立，求实

数a的取值范围．

3

D B

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x2y219．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:??1,设R(x0,y0)是椭圆C上的

2412任一点，从原点O向圆R：?x?x0???y?y0??8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q. （1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；

（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2?1?0； （3）试问OP?OQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

20．已知数列?an?是等差数列，其前n项和为Sn，若S4?10，S13?91． （1）求Sn；

（2）若数列{Mn}满足条件： M1?St1，当n≥2时，Mn?Stn－Stn?1，其中数列?tn?单

调递增，且t1?1，tn?N?．

①试找出一组t2，t3，使得M22?M1?M3；

②证明：对于数列?an?，一定存在数列?tn?，使得数列?Mn?中的各数均为一个整数的平方．

2222y Q ?RP O x (第19题图)

4

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数学参考答案与评分标准

数学Ⅰ 必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） ．．．．．．．．1．?0,3? 2．1 3．6 4．7 5．3

y232726． 7．x? ?1 8． ? 9．2 10．994311．(2,??) 12．6x?y?6?0 13．??2,6? 14．???,?2?

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15．（1）由余弦定理得，b2?c2?a2?2c?acosB， …………………………3分

因为?B?2?，a?2，b?23， 3所以12?c2?4?2c，即c2?2c?8?0 …………………………5分 解之得c?4，c??2（舍去）．

所以c?4. ……………………………7分 （2）因为A?B?C?π，tanA?23， tanB?3

所以tanC??tan(A?B) ……………………………9分

tanA?tanB ……………………………11分

1?tanAtanB23?333． ???51?23?3??所以tanC?33 ． ……………………………………14分 5P 16．（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．

因为四边形ABCD为菱形，所以BD?AC ……2分 又因为PB?PD，O为BD的中点，

A 所以BD?PO ……………………………………4分 又因为AC?PO?O O

C 所以BD?平面APC， B (第16题图) 又因为PC?平面APC

所以BD?PC……………………………………7分

（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC//AD …………………………9分 因为AD?平面PAD,??BC?平面PAD．

所以BC//平面PAD ………………………………………11分

又因为BC?平面PBC，平面PBC?平面PAD?l．

所以BC//l． ………………………………………………14分

5

D

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17．(1)由题意知，?AC?x?1?x， …………………………………2分

CD?2cosx， …………………………………5分 因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD//AB，

所以0?x?? 2???? …………………………………………7分 2??(2)记f?x??x?2cosx,则f?(x)?1?2sinx， ………………………………9分

所以y?x?2cosx ，x??0,令f?(x)?0，得x?列表

x f (x)

所以函数f?x?在x?即f()?(0，

?， ………………………………………………11分 6??) 66(

f?(x) ＋

??，) 62递增

0 － 极大值 递减

π处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分 6??3， 6?答：观光路线总长的最大值为?3千米． ……………………………14分

618．（1）因为F?x??f(x)?g(x)?exx2?ax?1，

所以F??x??ex??x??a?1????x?1?， ……………………2分 令F??x??0，因为a?0，得x??1或x???a?1?， ……………………5分 所以F?x?的单调增区间为???,?a?1?和??1,???； ……………………6分 （2）因为对任意x1,x2??0,2?且x1?x2，均有f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)成立，

不妨设x1?x2，根据f(x)?ex在?0,2?上单调递增，

所以有f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)对x1?x2恒成立，……………………8分 所以f(x2)?f(x1)?g(x1)?g(x2)?f(x1)?f(x2)对x1,x2??0,2?，x1?x2恒成立，

?6???f(x1)?g(x1)?f(x2)?g(x2)即?对x1,x2??0,2?，x1?x2恒成立，

f(x)?g(x)?f(x)?g(x)122?1所以f(x)?g(x)和f(x)?g(x)在?0,2?都是单调递增函数，………………11分 当f?(x)?g?(x)≥0在?0,2?上恒成立，

6

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得ex??2x?a?≥0在?0,2?恒成立，得a≥?ex?2x在?0,2?恒成立，

因为?ex?2x在?0,2?上单调减函数，所以?ex?2x在?0,2?上取得最大值?1， 解得a≥?1． ………………………………13分 当f?(x)?g?(x)≥0在?0,2?上恒成立，

得ex??2x?a?≥0在?0,2?上恒成立，即a≤ex?2x在?0,2?上恒成立， 因为ex?2x在?0,ln2?上递减，在?ln2,2?上单调递增， 所以ex?2x在?0,2?上取得最小值2?2ln2，

所以a≤2?2ln2， ……………………………15分 所以实数a的取值范围为??1,2?2ln2?． ………………………16分

19．（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径r?22，

因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切， 所以OR???????2r?4，即x02?y02?16，①………………………………………1分

x02y02又点R在椭圆C上，所以??1，②……………………………………2分

2412??x0??22,联立①②，解得? ……………………………………………………3分

??y0??22.所以所求圆R的方程为x?22????y?22?22?8． ………………………4分

（2）因为直线OP：y?k1x，OQ：y?k2x，与圆R相切，

所以|k1x0?y0|1?k1222?8)k12?2x0y0k1?y0?8?0………………6分 ?22,化简得(x0222同理(x0?8)k2?2x0y0k2?y0?8?0，……………………………………………7分 22所以k1,k2是方程(x0?8)k2?2x0y0k?y0?8?0的两个不相等的实数根，

2?8?b?b2?4ac?b?b2?4accy0k1?k2????2…………………………8分

2a2aax0?8 7

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22x0y0122因为点R(x0,y0)在椭圆C上，所以， ??1，即y0?12?x024122124?x01所以k1k2?22??，即2k1k2?1?0． ………………………………10分

x0?82（3）OP?OQ是定值，定值为36，……………………………………………11分 理由如下：

法一：(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),

2224?2x??y?k1x,?11?2k2,?1?联立?x2y2解得?………………………………………12分 2?1,?y2?24k1.???241212?1?2k?124(1?k12)24(1?k22)2222所以x1?y1?，同理，得x2?y2?，…………13分

1?2k121?2k221由k1k2??，

2所以OP2?OQ2?x12?y12?x22?y22

24(1?k12)24(1?k22) ??1?2k121?2k221224(1?(?))24(1?k12)2k1 ??121?2k121?2(?)2k136?72k12 ?1?2k12?36 ………………………………………………………15分

(ii)当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP?OQ?36，

综上：OP?OQ?36． ……………………………………………………16分 法二：(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为2k1k2?1?0，所以

22222y1y2122， ……………12分 ?x12x2?1?0,即y12y24x1x2?x12y12??1??2412因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆C上，所以?2， 2?x2?y2?1??2412

8

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12?2y?12?x1??12即?， ……………………………………………13分 ?y2?12?1x222??2所以(12?1212122，整理得x12?x2?24， x1)(12?x2)?x12x22242所以y12?y2??12???12??12?x1???12?x2??12， 2??2?所以OP?OQ?36． ……………………………………………………15分 (ii)当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP?OQ?36，

综上：OP?OQ?36． ………………………………………………16分 20．（1）设数列?an?的首项为a1，公差为d，

2222224?3?4a?d?101??2由S4?10，S13?91，得?， ……………………2分 ?13a?13?12d?911??2?a1?1解得?，

d?1?n(n?1)n2?n所以Sn?na1?……………………………………………4分 d?22（2）①因为M1?S1?1，

若t2?2,M2?S2?S1?3?1?2，M3?St3?S2?因为M22?M1?M3，

t3?t3?1??3， 2t3?t3?1??3?4，t3?t3?1??14，此方程无整数解； ………………6分 2t3?t3?1??6， 若t2?3,M2?S3?S1?6?1?5，M3?St3?S3?2因为M22?M1?M3，

所以

t3?t3?1??6?25，t3?t3?1??62，此方程无整数解；………………8分 2t3?t3?1??10， 若t2?4,M2?S4?S1?10?1?9，M3?St3?S4?2因为M22?M1?M3，

所以

t3?t3?1??10?81，t3?t3?1??182，解得t3?13， 2所以t2?4，t3?13满足题意…………………………………………………10分

所以

9

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②由①知t1?1，t2?1?3，t3?1?3?32，则M1?1，M2?32，M3?92，

3n?1一般的取tn?1?3?3???3?， ………………………13分

23n?1?3n?1?3n?1?1?3n?1?1??1???1??2?2?2?2?此时Stn?，Stn?1?，

223n?1?3n?1?3n?1?1?3n?1?1??1???1??2?2?2?2?n?12则Mn＝Stn－Stn?1＝???3?，

22所以Mn为一整数平方．

2n?1因此存在数列?tn?，使得数列?Mn?中的各数均为一个整数的平方．……16分

10

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