2020年吉林省长春市中考综合学习评价和检测数学试卷(一) (解析版)

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2020 年长春市中考综合学习评价与检测数学试卷（一）（解析版）

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）

1.下列整数中，与 37.4 最接近的整数是 （A ）5. (B)6.

（C ）7. （D ）8. 【答案】B.

【解析】∵ 36 = 6 ， 49 = 7 ，36＜ 37.4 ＜49，∴ 6＜ 37.4 ＜7，但 37.4 更接近 6.∴选 B.

【结语】考查无理数与有理数的比较大小，进而考查无理数的整数部分和小数部分

2.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是

(A) (B) (C) （D ）

【答案】D.

【解析】考查轴对称图形和中心对称图形的定义.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合， 这个图形就是轴对称图形。

把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能与自身重合，那么就说这个图形是中心对称图形，这个点叫做对 称中心，这个图形的对应点叫做关于中心的对称点。满足定义的图形只有 D .∴选 D.

3. 4 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地 球卫星“东方红一号"成功

发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439 000 米.将 439 000 用科学记数法表

示应为

（A ） 0.439 ?106 . （B ） 4.39 ?106 . (C) 4.39 ?105 . (D) 439 ?103 .

【答案】C.

【解析】科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变

成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当

原数的绝对值＜1 时，n 是负数．439000= 4.39 ?105，∴ 选 C.

(04. 39X10志） 中439X106.进入 1970 39X106.天的运行轨道, 距地球最近点 第一000人米.将 439卫000 东方红一

号 法表

4. 一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是

(A) -2＜ x ＜1. (B) -2≤ x ＜1. (C) -2＜ x ≤1. （D ）-2≤ x ≤1.

【答案】B. 【解析】通过数轴上表示的解集的公共部分，注意空心圈和实心点的区别 不等式组的解集为-2≤x ＜1.在数轴上

表示不等式组的解集为 B. ∴选 B ．

【结语】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，加强数形结合思想和方法的考查，关键是能正确在数轴上

看出不等式组的解集，确定时注意空心圈和实心点的区别.

5.如图，在△ABC 中，点 D 在边 BA 的延长线上，∠ABC 的平分线和∠DAC 的平分线相交于点 M.若∠BAC=80°， ∠C=60°，则∠M 的大小为 （A ）20°. (B) 25°. (C)30°. (D) 35°.

【答案】C.

【解析】∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=40°，∠DAC=100°. 又 BM 平分∠ABC ，AM 平分∠DAC ，∴ ∠ABM=20°，∠ CAM=50°.∴∠M=180°-20°-130°=30°.∴选 C.

.

. ， tan α = ， BC = 12 ? tan α . x

. 【结语】考查三角形内角和 180°及其推论（外角），角的平分线定义，做求角度的计算 6.下列运算一定正确的是

(A) 2a + 2a = 2a 2 . (B) a 2 ?a 3 = a 6 . (C) (2a 2 )3 = 6a 6 . (D) (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2 .

【答案】D.

【解析】考查整式的加减乘除运算及其公式的用法.

(A) 2a + 2a = 4a ，属合并同类项的知识. ∴A 错；

(B) a 2 ?a 3 = a 5 ，属同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ∴B 错；

(C) (2a 2 )3 = 8a 6 ，属积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ∴C 错；

(D) (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2 ，考查乘法公式中的平方差公式 .∴选 D.

7. 如图，有一热气球到达 A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部 B 的仰角是α ，与楼 的水平距离 AC 为 12 米. 为了安全飞越高楼，气球应至少再上升的高度为

(A)12 · tan α 米. (B)

【答案】A.

12 12 米. (C) 12 · sin α 米. (D) 米. tan α sin α 【解析】在 △Rt ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=α ，AC=12 米.∴ tan α = BC BC AC 12 ∴选 A. 【结语】一是锐角三角函数要在直角三角形中计算；二是考查锐角三角函数的正弦、余弦和正切的定义是解决 问题的关键.

8.如图，一块含有 30°角的直角三角板的直角顶点与坐标原点 0 重合，30°的顶点 A 在反比例函数 y = k x

的图象 上，顶点 B 在反比例函数 y = 3 x

的图象上，则 k 的值为 (A)- 6.

(B)6. (C)-9. (D)9. 【答案】C.

【解析】作 BC ⊥ x 轴于点 C ，作 AD ⊥ x 轴于点 D. ∴∠ADO=∠BCO=90°.

∵∠A=30°，∠AOB=90°.∴OB:OA=1: 3 ，∠AOD=∠OBC △， AOD ∽△OBC.∴ S

: S = 3:1 . ?AOD ?OBC 又顶点 B 在反比例函数 y = 3 的图象上，∴ S = 1.5 . ∴ S = 1.5 ? 3 = 4.5 .∴ k = -9 .∴选 C.

?OBC ?AOD 【结语】反比例函数求 k 包括三种类型.一是待定系数法求 k ；二是借助矩形、直角三角形面积求k ；三是建立 k 的方程求 k .注意点 A 在第二象限，k 是负值. 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)

9. 计算： 12 - 3 =

.

【答案】 3 .

【解析】 12 = 2 3 ， 2 3 - 3 = 3 .

【结语】考查最简二次根式、同类二次根式和合并同类二次根式的定义 根号内的被开方数必须是整数或 者整式，被开方数不含有能够开的尽方的因数或者因式；几个二次根式化简为最简二次根式后，如果被 开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；合并同类二次根式，等于把根号前面的系数相加 减，根号和根号内的被开方数保持不变.

10.举例说明命题：“如果 a 、 b 都是无理数，那么 ab 也是无理数”是假命题， a 、 b 的值可以为 a = 2 、

b = .

【答案】 2 2 （答案不唯一）. 【解析】∵ ab = 2 2 ? 2 = 4 ，4 是有理数，不是无理数，∴ “如果 a 、 b 都是无理数，那么 ab 也是无理 数”是假命题.

.

=π，∴勒洛三角形周长为

□S ABCD=2×3.

【结语】判断一个命题是假命题，在数学范围内会举反例即可.

11.多项式a3-6a2b+9ab2分解因式的结果是.

【答案】a(a-3b)2.

【解析】a3-6a2b+9ab2=a(a2-6ab+9b2)=a(a-3b)2.

【结语】考查因式分解的定义及其方法的应用.把一个多项式写成几个整式乘积的形式叫做把一个多项式因式分解.方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本题具有小综合性，属一提二式类型.

12.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数几何?”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱.问：共有几个人?”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为.【答案】9x-11=6x+16.

【解析】结合答案给的方程来理解，做到多退少补.

【结语】应用题注重恰当的设未知数带来的等量关系的建立，同时了解中国传统的数学文献带来的无限魅力.

13.将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个圆如何运动，它还是在这两条平行线内，并且始终与这两条平行线相切，我们将圆的这种性质称为定宽性…除了圆之外，还有一些几何图形也具有定宽性，如勒洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形.如图是定宽的圆和勒洛三角形，若圆的半径2，则图中的勒洛三角形的周长为.

【答案】4π.

【解析】一段弧的长为l=

60π?444

π?3=4π.

18033

【结语】掌握扇形求弧长和面积公式是解决问题的关键.

14.如图，抛物线y=x2-2x-1与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线交抛物线于另一点B.点C为抛物线上的点，过点C作y轴的垂线交抛物线的对称轴于点D.当四边形ABCD为平行四边形时，四边形ABCD的面积是.

【答案】6.

【解析】当x=0时，y=-1，∴A（0，-1）.y=x2-2x-1=(x-1)2-2，

对称轴是直线x=1，抛物线是轴对称图形，∴B（2，-1），即有AB=2.

□

在ABCD中，DC=2，∴点C的横坐标是3，纵坐标是y=32-2?3-1=2.

∴

【结语】二次函数与平行四边形相结合综合题.考查二次函数的性质和平行四边形的性质，同时与方程相结合解决问题.

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）先化简，再求值：(

【答案】2.

411

+)÷，其中x=2.

x2-4x+2x2-2x

【解析】原式=[

4x-2x+2

+]?x(x-2)=?x(x-2)=x.

(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)

当x=2时，原式=2.

【结语】考查分式的基本性质带来的分式的混合运算.把握好运算顺序和分式的通分、约分是解决好分式的化

. .

=4

.9

.

【解析】设普通公路长为xkm，则高速公路长为2x km.依题意，得x

简求值的关键.

16.（6分）一个不透明的袋子里有三个小球，上面分别标有数字3, -4,5,每个小球除所标数字不同外其余均相同.小文先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字请用画树状图（或列表）的方法，求小文两次摸出小球上的数字都是正数的概率

【答案】4 9.

【解析】画树状图

∴P（小文两次摸出小球上的数字是正数）

【结语】用画树状图或者列表法表示出随机事件的所有等可能性是解决问题的重点

17.（6分）一辆汽车从A地驶往B地，前1

3路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行

驶的平均速度为60km/h，在高速公路上行驶的平均速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.求普通公路和高速公路的长.

【答案】60㎞，120㎞.

2x

+=2.2.解得x=60.

60100

经检验，x=60是原方程的解，且符合题意.2x=120.答：普通公路和高速公路的长分别为60㎞，120㎞.【结语】列一元一次方程解应用题.恰当设未知数，注重等量关系的建立是解决问题的关键.

18.（7分）如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC、BD交于点

O，AC平分∠BAD，过点C作CE丄AB交AB的延长线于点E，连结OE.

（1）求证：四边形ABCD是菱形.

（2）若AB=5，BD=2，求OE的长.

【答案】（1）略.（2）2.

【解析】

（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠OAB=∠DCA.

∵AC平分∠BAD，

∴∠OAB=∠DAC.

∴∠DCA=∠DAC.

∴CD=AD.

∵AB=AD，

∴CD=AB.又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四

边形.

又∵AD=AB，

∴四边形ABCD是菱形.

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴OC=OA，BD⊥AC.

∵CE⊥AB，

∴OE=OA=OC.

∵BD=2，

∴OB=

1

BD=1.

2

在△Rt AOB中，AB=5，OB=1.

∴OA=AB2-OB2=2.

∴OE=OA=2.

【结语】考查平行四边形及其特殊的平行四边形的性质与判定方法；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；勾股定理等知识，加强演绎推理与合情推理.

19.（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C均在格点上.在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图.

（△1）在图①中，画ABC的高线AD.

（△2）在图②中，画ABC的中线CE.

（△3）在图③中，画ABC的角平分线BF.

要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法.

【答案】见解析.

.

的点位于虚线 l 的上方.请在图中用“O”圈出代表中国的点. :

. 【解析】（1）作出垂线段 AD ，标记出垂直符号和垂足 D.

（2）AB 在 3×4 网格的对角线上，AB 与横向网格线交点标上点 E ，连结 CE.

（3）将 BC 向右延长 1 个单位长度到 D ，有 AB=BD=5△， ABD 是等腰三角形，AD 在 2×4 网格的对角线上，AD 与横向网格线交点为 N ，连结 BN 与 AC 交于点 F ，三角形内画实线段，三角形外画虚线段.

【结语】借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，但必要的数学原理还是要讲的，要注重的，不可随 意确定点的位置.

20.(7 分)国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数 对国家创新指数得分排名前 40 的国 家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给 出了部分信息：

a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成 7 组：30≤ x ＜40，40≤ x ＜50，50≤ x ＜60， 60≤ x ＜ 70，70≤ x ＜80，80≤ x ＜90，90≤ x ＜100)；

b.国家创新指数得分在 60≤ x ＜70 这一组的是：

61.7 62.4 63. 6 65. 9 66.4 68. 5 69. 1 69.3 69. 5

C.40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图

d.中国的国家创新指数得分为 69. 5.

(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)

根据以上信息；回答下列问题：

(1)中国的国家创新指数得分排名世界第

.

(2)在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应 1

(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为

万美元.(结果保留一位小数)

(4)下列推断合理的是 .

①相比于点 A 、 B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距， 中国提出“加快建设创新型国家” 的战略任务，进一步提高国家综合创新能力.

②相比于点 B 、C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会” 的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值.

【答案】（1）17. （2）如图. （3）2.8（近似值，但不要误差太大）. （4）①②

【解析】（1）结合条形统计图由大到小排列数据，中国的国家创新指数得分排名世界第 17 位.

（2）如图. （3）2.8（在这个值左右有些误差页可以） （4）同 A 、B 相比加快建设创新型国家①对的；同 B 、C 相比决胜全面建成小康社会② 对的.

【结语】要学会或者说做到站在不同的角度定义事物是否合理是重点

∴? 9k + b = 1440 .

21. （8 分）某汽车租赁公司对某款汽车的租赁方式按时段计费，该公司要求租赁方必须在9 天内（包括 9

天）将所租汽车归还.租赁费用 y （元）随时间 x （天）的变化 图象为折线 0A -AB -BC ，如图所示.

（1）当租赁时间不超过 3 天时，求每日租金.

（2）当 6≤ x ≤9 时，求 y （元）与 x （天）的函数关系式.

（3）甲、乙两人租赁该款汽车各一辆，两人租赁的时间共为 9 天，甲租的天数少于 3 天，乙比甲多支付费用 720 元.请问乙租这款汽车多长时间？

【答案】（1）150 元/天. （2） y = 210x - 450 . （3）7 天.

【解析】（1） 450 ÷ 3 =150 元/天. ∴每日租金为 150 元/天.

（2）当 6≤ x ≤9 时，设 y （元）与 x （天）之间的函数关系式为 y = kx + b .

∵图象经过（6，810）

（9，1440），

?6k + b = 810 ? ， k = 210 ， b = -450 . ∴ y = 210x - 450 . （3）设乙租这款车 m 天，则甲租 (9 - m ) 天. ∴ 210m - 450 -150(9 - m ) = 720 .解得 m = 7 .经检验， m = 7

是方程的解，且符合题意. 答：乙租这款车 7 天.

【结语】一次函数图象信息题，注意从图象和从应用题的角度获得解题信息与数据是本题的重点 22. (9 分)综合与实践.

折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含

着丰富的数学知识.

折一折：把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 对折，使边 AB 与 CD 重合，展开后得 到折痕 EF.如图①：点 M 为 CF 上一点，将正方形纸片 ABCD 沿直线 DM 折叠，使点 C 落在 EF 上的点 N 处,展开后连接 DN 、MN 、AN ， 如图②

(—)填一填，做一做：

(1)图②中，∠CMD=

，线段 NF= ；

(2)图②中，试判断△AND 的形状，并给岀证明. 剪一剪、折一折：将图②△中的 AND 剪下来，将其沿直线 GH 折叠，使点 A 落 在点 A'处，分别得到图 ③、图④.

(二)填一填

(3)图③中阴影部分的周长为

. (4)图③中，若∠A 'GN = 80°，则∠A'HD= °.

(5)图③中，相似的三角形(包括全等三角形)共有

对. (6)如图④，点 A'落在边 ND 上，若 A'N = 2A'D,则 AG

AH = .

【解析】（6）承接（5）我们有△A'∽△GN HA'D.∴，设A'G=x.∴=

=

3

，

2

.

【答案】（1）22-2.（2）（0，

17

综上所述，P（0，

17

24.（12分）【2019年北京及其改编】在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A，将【答案】（1）75°，2-3.（2）略.（3）6.（4）40.（5）4.（6）

5

4.

4

A'G GN A'N x2-x

==

HA'A'D HD HA'HD

3 2x82x87AG5

∴HA'=，HD=.∴+=2，∴x=.∴=.

3(2-x)9(2-x)3(2-x)9(2-x)6AH4

【结语】在培养学生的动手操作能力方面这题给人耳目一新的感觉，做好深层次的推理与计算是解决问题的难点.以图形的翻折为背景，加强了学生的动手操作能力，注重了图形的变换此题取材于2019年齐齐哈尔市中

考题，又有创新，值得探究学习.

23.(10分)对于平面直角坐标系中的动点P和图形G，给出如下定义：如果Q为图形G上一个动点，P、Q两点

间距离的最大值为d

max

，P、Q两点间距离的最小值为d

min

，我们把d

max

-d

min

的值叫做点P和图形G 之间的“极差距"，记作d(P，图形G).如图，正方形ABCD的中心为点O，A(2,2).

（1）点O到线段AB的“极差距”d(O，AB)=.

（2）设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d(P，正方形ABCD)=3，求点P的坐标.

17

）或（0，-）.

1414

【解析】（1）点P落在坐标原点上，

点Q落在点E处有最小值2，

∴22+(2+m)2=(5-m)2，m=

17

14.

点Q落在点A或B处有最大值22-2.

∴d(O，AB)=22-2.

∴P（0，

17

14）；

（2）当点P在线段OE上时，设P（0，m）.

点Q落在点E处有最小值2-m，

点Q落在点C或D处有最大值PC=3+2-m=5-m.

在Rt△PCF中，PF=2+m.

同理，当点P在线段OF上时，有P（0，-

17

）或（0，-）.

1414

17

14）.

【结语】理解文字的定义部分很重要，以不变应万变，加强数形结合和分类讨论的数学思想和方法的学习，从位置关系决定数量关系的角度计算解决问题.

1

a

点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上.

（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点P（

11

，-）、Q（2，2）.若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

2a

（4改编）设抛物线的顶点为M，若45°≤∠MAB≤60°，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

a a 当 a ＜0 时，如图，x =2， y = 4a - 4a - 1 【答案】（1）（2， - 1 1 ）；（2）对称轴是直线 x =1；（3） a ≤ - ；（4）1≤ a ≤ 3 或 - 3 ≤ a ≤ -1. a 2 1 1 【解析】（1）当 x = 0 时， y = - ，∴ A （0， - ）. A 又点 A 向右平移 2 个单位长度得到点 B

1 ∴B （2， - ）.

a

（2）∵A （0， - 1 1 0 + 2 ），B （2， - ），抛物线是轴对称图形. ∴ 抛物线的对称轴是直线 x = a a 2 = 1 . b （3）∵抛物线的对称轴是直线 x = 1 = - ，∴ b = -2a . 2a 1 1 当 a ＞0 时，如图， x =2， y = 4a - 4a - = - ≠2，∴抛物线开口向上不成立； a a

1 1 1 = - =2，∴ a = - ，且 a 越大，开口越小，有交点，∴ a ≤ - . a a

2 2 1 综上所述， a ≤ -

. 2 （4 改编）1≤ a ≤ 3 或 - 3 ≤ a ≤ -1. 作 MN ⊥AB 于 N ，PQ =2 ， y = ax 2

- 2ax - 1 1 1 1 = a( x -1)2 - a - ， ∴ MN = - - (-a - ) = a . a a a a 当 a ＞0 时，如图 1 和 2，∠MAB =45°，△MAB 是等腰直角三角形，有 a =1；

∠MAB ≤60°，△MAB 是等边三角形，MN= 3 ，有 a = 3 .

∴1≤ a ≤ 3 .

图 1∠MAB =45° 图 2∠MAB =60° 图 3∠MAB =45° 图 4∠MAB =60°

当 a ＜0 时，如图 3 和 4，∠MAB =45°，△MAB 是等腰直角三角形，有 -a =1，∴ a = -1 ；

∠MAB ≤60°，△MAB 是等边三角形，MN = 3 ，有 -a = 3 ，∴ a = - 3 .

∴ - 3 ≤ a ≤ - 1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5ste.html