江苏省淮安市范集中学高二数学：《导数的几何意义》教学设计 -

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龚 明

如图3.1-2，当Pn(xn,f(xn))(n?1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线

PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，

这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

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⑵切线PT的斜率k为多少？ 容易知道，割线PPn的斜率是kn?f(xn)?f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，knxn?x0?x?0无限趋近于切线PT的斜率k，即k?limf(x0??x)?f(x0)?f?(x0)

?x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在x?x0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线: ①与该点的位置有关;

②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

（二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率， 即 f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?k

?x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标;②求出函数在点x0处的变化率

f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?k ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率；

?x③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f?(x0) 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f?(x)或y?，

即: f?(x)?y??lim?x?0f(x??x)?f(x)

?x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)、导函数f?(x)、导数 之间的区别与联系。 ①函数在一点处的导数f?(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

②函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 ③函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f?(x)在x?x0处的函数值，这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。

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三．典例分析：

2

例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1, 2)处的切线方程. （2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.

[(1??x)2?1]?(12?1)2?x??x2解：（1）y?|x?1?lim?lim?2,

?x?0?x?0?x?x所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y?2?2(x?1)即2x?y?0

3x2?3?123(x2?12)（2）因为y?|x?1?lim?lim?lim3(x?1)?6

x?1x?1x?1x?1x?1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y?3?6(x?1)即6x?y?3?0 （2）求函数f(x)=?x2?x在x??1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

?y?(?1??x)2?(?1??x)?2解：??3??x

?x?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2 f?(?1)?lim??lim(3??x)?3

x?0?xx?0?x练习：（1）曲线y?x3?1在x?1处的切线方程为___________。 （2）曲线y?xlnx在点（1，0）处的切线方程为 。 例2．求过点(1,?2)与曲线y?x2?3x?5相切的直线方程。 练习：已知曲线y?134x?，求曲线过点(2,4)的切线方程。 33设计：通过例1，与例2的讲解，让学生感受曲线在某点处的切线与过某点的切线的

区别。

四．课堂评价：

1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线 。

2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y?x?2，则

f(1)?f?(1)? ．

3.设函数f(x)?x3?3ax?b(a?0)若曲线y?f(x)在点(2,f(2))处与直线y?8相切，则ab的值为 。

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4.曲线y?13?4?x?x在点?1，?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 3?3?五．回顾总结：

1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义。 六．布置作业： ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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