2010年高考数学压轴题系列训练二

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2010年高考数学压轴题系列二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)

2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=?3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

4．（本小题满分15分）

设定义在R上的函数f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4（其中ai∈R，i=0,1,2,3,4），当

x= －1时，f (x)取得极大值（1） 求f (x)的表达式；

（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横

坐标都在区间??2,2?上；

?1?x,x?[?1,0]，是否满足题设条件？

?1?x,x?[0,1]x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). x?12，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． 3??42n?12(1?3n)f(x)?f(y)?. （3） 若xn?，求证：,y?(n?N)nnn+nn323

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5．（本小题满分13分）

x2y2??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对设M是椭圆C:124称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程． 6．（本小题满分12分）

过抛物线x2?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0. （1）求点P的轨迹方程；

（2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)2?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由.

7．（本小题满分14分）

设函数f(x)?1?x?lnx在[1,??)上是增函数. ax1a?ba?b?ln?. a?bbb（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：

8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，

yAB、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，

!ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、

xD两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线EBODC????????相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MP??PN，问在x轴上是否存在定

?????????????点G，使BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

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9．(本小题满分14分)

已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan2n1?C1na1?Cna2???Cnan（p为大于1的常数），记f(n)?．

2nSn(1) 求an；

(2) 试比较f(n?1)与

p?1f(n)的大小（n?N*）； 2p2n?1p?1??p?1???1??（n?N*）． ??，p?1?2p?????(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)

[来源学。科。网]

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书利华教育网www.shulihua.net您的教育资源库 2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,

∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n. 2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分

∵( n + a ) > n ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分 2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=??1?x,x?[?1,0]，是否满足题设条件？

1?x,x?[0,1]?解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，

取u =

31?[–1，1]，v = ?[–1，1], 425| u – v | > | u – v |， 4则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：

10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；

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30. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;

40 若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t?R, t ? –1,

∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴c2a2 ? 16 , ∴| ac | ? 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –

x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). x?11, x?1x1?x211–1 + = . x2?1x1?1(x2?1)(x1?1)法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1–

∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,

∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =

1> 0 得x ? –1,

(x?1)2 ∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?

4 > 0 , |a|444|a| ∴f (| c | ) ? f () = =

4|a||a|?4?1|a|f ( | a | ) + f ( | c | ) =

|a|4|a|4+ > +=1. |a|?1|a|?4|a|?4|a|?4 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5sdd.html