福建省2016届高三上学期第三次月考 数学理

数学（理）试题

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的）.

1→3→→→

1.已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝ ( )

22

A．(－1，2) B．(－2，1) C．(－1，0) D．(－2，－1)

????????????2.已知向量OA和向量OC对应的复数分别为3?4i和2?i，则向量AC对应的复数为( )

A．5?3i B．1?5i C．?1?5i D．?5?3i 3. 在等比数列

A． ?4

{an}中,a1??16,a4?8,则a7?( )

B． ?4

C． C ?2

D． ?2

（ ）

224.已知a，b都是实数，那么“a?b”是“a?b”的

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分与不必要条件

5．函数f?x??lnx?1的图像大致是

y y y y O x O x O x O x A． B． C． D． 6．曲线f(x)?xlnx在点x?1处的切线方程为 ( )

A. y?2x?2 B. y?2x?2 C. y?x?1 D. y?x?1 7.若f?x?????f?x?3??x?6?，则f??1?的值为（ ） logxx?6??2??A．1 B．2 C．3 D．4 8．若??(0,?2),sin??cos??2,则cos2?等于 2

（ ）

A．

3 2B．—

3 2C．±

3 2D．?1 29．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3?2,S6?18，则

S10等于（ ） S5A．?3 B．33 C．?31 D．5

10．已知f(x)?(x?a)(x?b)?1(a?b)，m,n是f(x)的零点，且m?n，则实数a、b、m、n的

大小关系是（ ） A．m?a?b?n

C．a?m?b?n

B．a?m?n?b D．m?a?n?b

11．已知简谐振动f(x)?Asin(?x??)(???2)的振幅为

3，图象上相邻最高点与最低点之间的2距离为5，且过点(0,)，则该简谐振动的频率与初相分别为 ( ) A．

341?1???1?, B．, C．, D． , 6686466312.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的

图象的交点共有( )

A．1个 B．8个 C．9个 D．10个

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 在答题卡上的相应题目的答题区域内作答）． 13.命题“若m?0,则方程x?x?m?0有实数根”的逆命题是 14. 在等差数列

2?an?中，a3?a10?4,则S12的值为____________

15．函数f(x)?cos2x?2sinx的最小值为

16．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)·f′(x)≥0，则f(x)与f(a)的大小关系是__________． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分12分）

已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a?c?b?ac． （1）求角B的大小； （2）若c?3a，求tanA的值．

222

18．（本小题满分12分）

设等差数列

?an?的前n项和为Sn,已知a3?4,S3?9。

(1）求数列

?an?的通项公式；

1an?an?1，求数列?bn?的前10项和.

bn?(2）令

19．（本小题满分12分）

已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*). （1）求a3；

（2）令bn?an?1?an，证明：数列?bn?是等比数列； （3）求数列?an?的通项公式．

20. （本小题满分12分）

23x?2ax2?3x(x?R). 3 （1）若a?1，点P为曲线y?f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的

已知函数f(x)?切线方程；

（2）若函数y?f(x)在(0,??)上为单调增函数，求a的取值范围．

21. （本小题满分12分）

半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA?2.B为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边?ABC，则B点在什么位置时四边形OACB的面积最大？求出这个最大面积.

C

22．（本小题满分14分）.

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x?D，存在常数M?0，都有|f(x)|?M 成立，则称f?x?是D上的有界函数，其中M称为函数f?x?的上界.

xxB 1 θ O 2 x

A

1?m?2x?1??1?已知函数f?x??1?a??????；g(x)?. x1?m?2?2??4?（1）当a?1时，求函数f?x?在???,0?上的值域，并判断函数f?x?在???,0?上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数f?x?在?0,???上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若m?0，函数g?x?在?0,1?上的上界是T(m)，求T(m)的取值范围.

参考答案

一、选择题：

1、A 2、C 3、A 4、D 5、B 6、C 7、C 8、B 9、B 10、A 11、B 12、D 二、填空题：

213.若方程x?x?m?0有实数根 则m>0 14.24 15. ?3 16. f(x)≥f(a)

三、解答题：

a2?c2?b2117．（1）解：由余弦定理，得cosB?＝ (2分) ∵0?B??，

22ac∴ B??3． (4分)

222（2）解法一：将c?3a代入a?c?b?ac，得b?7a． ??6分

b2?c2?a257由余弦定理，得cosA?． ??8分 ?2bc14∵0?A??，∴sinA?1?cos2A?2114． (10分) ∴tanA?sinA3cosA?5． (12分) 解法二：将c?3a代入a2?c2?b2?ac，得b?7a． 由正弦定理，得sinB?7sinA． (8分)

∵B??3，∴sinA?2114． (10分) 又b?7a?a，则B?A，∴cosA?1?sin2A?5714。 ∴tanA?sinA3cosA?5． (12分) 解法三：∵c?3a，

由正弦定理，得sinC?3sinA． ??6分 ∵B??3，∴C????A?B??2?3?A． ∴sin??2??3?A????3sinA． ??8分 ∴sin2?3cosA?cos2?3sinA?3sinA． ∴32cosA?12sinA?3sinA ??10分 ∴tanA?sinAcosA?35． ??12分

??6分

18．解：（1）设?an?的公差为d，由已知，得

?a1?2?a3?a1?2d?4 解得 ???d?1?S3?3a1?3d?9?an?a1??n?1?d?n?1

(2）由（1）得：

5?11??11??11?11?b1?b2??b10?????????????????23??34??1112?21212bn?1111??? anan?1?n?1??n?2?n?1n?219．解：（1）∵a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).

?a3?3a2?2a1?7 ???????2分

（2）证明：?an?2?3an?1?2an,

?an?2?an?1?2(an?1?an), ?a1?1,a2?3,

?

an?2?an?1?2(n?N*).an?1?an??????6分 ??bn?是以a2?a1?2为首项，2为公比的等比数列． ??????7分 （3）由（I）得an?1?an?2n(n?N*), ?an?(an?a?...?a(n1)?(a?n1?a?n2)?2

?a) ?a1

?2n?1?2n?2?...?2?1?2?1(n?N).n* ??????12分

2220． 解：（1）设切线的斜率为k，则k?f?(x)?2x?4x?3?2(x?1)?1 ???2分

55，所以所求切线的方程为：y??x?1 ????4分 33 即3x?3y?2?0. ????6分

2 （2）f?(x)?2x?4ax?3， ∵y?f(x)为单调增函数，∴f?(x)?0 即对任意的x?(0,??),恒有f?(x)?0 ????8分

2 f?(x)?2x?4ax?3?0

又f(1)?2x2?3x3?? ?a? 4x24x

????10分

x366，当且仅当x?时，等号成立. ??24x226所以a? ????12分

221.解：解：设AB?x，?AOB??，在?ABC中运用余弦定理，得x与?存在关系：

而

x2?12?22?2?1?2cos??5?4cos?. ①

又设四边形OACB的面积是S，则

S?S?AOB?S?ABC?sin??32x. ② 453?53. ?2sin(??)?434将①式代入②得S?sin??3cos??∵??(0,?)，∴??3????3?2?. 3∴当且仅当???3??2，即??5?8?53时，Smax?. 64即以OA为始边，OB逆时针方向旋转

x5?8?53时，四边形OACB面积最大，最大值为. 64x?1??1?22．解：（1）当a?1时，f(x)?1??????

?2??4? 因为f(x)在???,0?上递减，所以f(x)?f(0)?3，即f(x)在???,1?的值域为?3,???

故不存在常数M?0，使|f(x)|?M成立，所以函数f?x?在???,1?上不是有界函数。 ……3分（没有判断过程，扣1分）

（2）由题意知，f(x)?3在?1,???上恒成立。………4分

?1??1??1??3?f(x)?3， ?4????a????2???

?4??2??4??1??1?∴ ?4?2x????a?2?2x???在?0,???上恒成立………5分

?2??2?xx???1???1??xx?a??2?2???? ………6分 ∴ ??4?2?????2???2????max??min??x设2?t，h(t)??4t?，p(t)?2t?，由x??0,???得 t≥1，

xxxxx1t1t设1?t1?t2，h(t1)?h(t2)??t2?t1??4t1t2?1??0

t1t2p(t1)?p(t2)??t1?t2??2t1t2?1??0

t1t2所以h(t)在?1,???上递减，p(t)在?1,???上递增，…7分（单调性不证，不扣分）

h(t)在?1,???上的最大值为h(1)??5， p(t)在?1,???上的最小值为p(1)?1

所以实数a的取值范围为??5,1?。…………………………………8分 （3）g(x)??1?2，

m?2x?11?2m1?m?g(x)?………10分

1?2m1?m∵ m>0 ，x??0,1? ∴ g?x?在?0,1?上递减，………9分 ∴ g(1)?g(x)?g(0) 即

①当

?2?1?m1?2m1?m，即m??0,时，， ………11分 ?g(x)???1?m1?2m1?m?2?1?m，………12分 1?m此时 T(m)??2?1?m1?2m1?2m,???②当，即m??时，g(x)?， ??21?m1?2m1?2m??此时 T(m)?1?2m， ---------13分

1?2m综上所述，当m??0,???2??1?m?,???； ?时，T(m)的取值范围是?2??1?m??2??1?2m?,???当m??时，T(m)的取值范围是?,???………14分 ?1?2m2????

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