河北省唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考试题(数学理)

2015届高三教学质量监测（二）

理科数学

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．

1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则M

N =（ ） A ．(5,1]- B ．[1,3) C ．[7,3)- D ．(5,3)-

2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则

m ni m ni

+=-（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i 3．设若20

lg ,0,()3,0,a x x f x x t dt x >??=?+≤???((1))1f f =，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ?=?”是“a 与b 共线”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立

评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9

,621===p x x 时，3x 等

于

A ．11

B ．8.5

C ．8

D ．7

6．已知 ()0,θπ∈，且 sin()410

πθ-=，则 tan 2θ= A ．

43 B ．34 C ．247- D ．247 7．已知1,3O A O B ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=?，设

,O C m O A

n O B =+(),m n R ∈，则n m 等于（ ） A ．31 B ．3 C ．3

3 D ．3 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q

(*∈N n )的直线的一个方向向量是( )

A ．??? ??--

2,21 B ．()1,1-- C ． ??? ??--1,21 D ．??? ??21,2 9

．函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线0

2=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则21m n +的最小值为( )

A

． B ．4 C ．52 D ．92

10．在区间15,????和24,????上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22

221x y a b +=表示焦点在x 轴上

（ ） A ．12 B ．1532

C ．1732

D ．3132 11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单

位cm ）

A

．28+ B

．30+

C

．30+ D

．28+12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为

A ．2,8e ??+∞????

B ．20,8e ?? ???

C ．2,4e ??+∞????

D ．20,4e ?? ???

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．

13．()522x x -+的展开式中3

x 的系数为 ＊ ＊ ． 14．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14

，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ．

15．设点(,)P x y 满足条件??

???+≤≥≤2200x y y x ，点(,)(0,0)Q a b a b ≤≥满足1≤?OQ OP 恒成立，其

中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是 ＊ ＊ ．

16．在ABC ?中，,sin 22tan C B A =+若1AB =，则12

AC BC +的最大值 ＊ ＊ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2

)1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n n

n b b b T S b +???++==求n T ．

18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，

[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．

（Ⅰ）求直方图中x 的值；

（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申

请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名

学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生

中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X

的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，

底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=?，

PA b =．

（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二

面角O PM D --

的正切值为，求:a b 的值．

20．已知抛物线24y x =，直线:l 12

y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．

（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ?面积的最大值．

21．已知函数2()()x f x ax e a R =-∈

（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；

（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12e f x -

<<-．

请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．

作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

已知,ABC AB AC ?=中，D ABC ?为外接圆劣弧AC 上的

点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ,延长AD 交BC 的

延长线于F ．

（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；

（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ??=??．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ?=-+???=?

（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知1a b +=，对,(0,)a b ?∈+∞，

14|21||1|x x a b +≥--+恒成立，求x 的取值范围．

2015届高三教学质量监测（二）

理科数学(答案)

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：BDADC CBADB AC

二、填空题：

13． -200 ．14．

．15． 2

．16．

． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=

（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；

（Ⅱ）设,,121n n n

n b b b T S b +???++==求.n T 解：（Ⅰ）)(2

)1(*N n a a S n n n ∈+= ① )2(2

)1(111≥+=---n a a S n n n ② ①-②得：2

1212----+=n n n n

n a a a a a ()2≥n 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a 数列{}n a 的各项均为正数，,01≠+∴-n n a a )2(11≥=-∴-n a a n n

1=n 时，11=a ∴数列{}n a 是首项为1公差为1的等差数列 6分

（Ⅱ）由第一问得22n n S n += 222112(1)1

n b n n n n n n ??∴===- ?+++?? 1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ????????∴=-+-+-+???+-=-= ? ? ???+++???????

? 12分

18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，

[40,60)，[60,80)，[80,100]．

（Ⅰ）求直方图中x 的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

解：（Ⅰ）由直方图可得： 200.025200.0065200.0032201

x ?+?+?+??=．

所以 0.0125x =． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

0.0032200.12??=，

因为12000.12144?=，

所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为

14， 4381(0)4256P X ??=== ???, 3

141327(1)C 4464P X ????=== ???????, 22241327(2)C 44128P X ????=== ? ?????,3

34133(3)C 4464P X ????=== ? ?????, 411(4)4256

P X ??=== ???． 10分 所以X 的分布列为：

01234

12566412864256

EX =?+?+?+?+?=．（或414EX =?=） 所以X 的数学期望为1． 12

分

19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=?，PA b =．

（Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面；

（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，

若二面角O PM D --

的正切值为，求:a b 的值．

19．解：（Ⅰ） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分

又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分

从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分

（Ⅱ）方法1． 过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD

因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分

又3,,44

a a OD a OM AM ===，且OH AP OM PM =………………10分

从而OH ==………………11分

tan OD OHD OH ∠===所以22916a b =，即43

a b =． ………………………12分

法二：如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为y

轴,z 轴建立空间直角坐标系，则

(0,0,),(0,,0)P b D a

,3,,0)8M a ,1,,0)4

O a …………8分

从而333(0,,),

(,,)8

PD a b PM a b =-=-3(,,0)4

OD a =-………………9分 因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为3(,,0)4OD a =-

．……10分 设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得 3330,08PD

n ay bz PM n ay bz ?=-=?=

+-=

取,,x y b z a ===，即,,)n b a = ……………

11分 设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等

从而tan θ=cos 15

θ= 531cos 5||||ab ab OD n OD n a θ-

+?===? 从而43b a =，即:4:3a b =． ……………12分

20．已知抛物线24y x =，直线:l 12

y x b =-+与抛物线交于,A B 两点． （Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ?面积的最大值．

解：（Ⅰ）联立2124y x b y x

?=-+???=?，消x 并化简整理得2880y y b +-=．

依题意应有64320b ?=+>，解得2b >-．

设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-，

设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422

x x y y x y +

+===

-． 因为以AB 为直径的圆与

x 轴相切，得到圆半径为0|

|4r y ==，

又||AB

． 所以 ||28AB r =，

解得85

b =-．

所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-． 故所求圆的方程为2224()(4)165

x y -++=． （Ⅱ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，

又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，

直线l ：12y x b =-

+整理得220x y b +-=，点O 到直线l

的距离d ，

所以1||42

AOB S AB d ?==-= 令32()2g b b b =+，20b -<<， 24()343()

g b b b b b '=+=+， 由上表可得()g b 的最大值为432()327g -= ．所以当43b =-时，AOB ? 21．已知函数2()()x f x ax e a R =-∈

（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；

（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12e f x -

<<-． 解：（Ⅰ）1a =时，2(),()2,x x f x x e f x x e '=-=-()2x f x e ''=-易知

m

a x ()(l n 2)2l n 220,f x f ''==-<从而()f x 为单调减函数．………………４分 （Ⅱ）()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，

即()20x

f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，所以 ()20x f x a e ''=-=，得ln 2x a =．

(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得ln 212a a e >?>．………………6分

又(0)10f '=-<，(1)20f a e '=->

所以101ln 2x a <<<………………8分

111()20x f x ax e

'=-=，得112x e ax = 11112

1111()122x x x x x e f x ax e x e e ??=-=-=- ???

1(01)x <<………………10分

1111()02x x f x e ??-'=< ???

， 1(1)()(0)12

e f f x f -

=<<=-………………12分

另解：2()x e a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x

-'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0x

e p x x

=<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0x

e p x x

=> 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0x

e p x x

=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()x

e p x x

=→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()x

e a p x x

==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a > 1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22

x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．

()20x

f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，0x =不是根，所以2()x

e a p x x ==由两个实根，2

(1)()x e x p x x -'=， 当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0x

e p x x

=<，不能满足条件． 当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0x

e p x x

=> 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0x

e p x x

=>， 故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()x

e p x x

=→+∞，当x →+∞时②

()x e p x x =→+∞，所以2()x

e a p x x

==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a > 1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22

x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．

请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．

作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

已知,ABC AB AC ?=中，D ABC ?为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．

（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；

（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ??=??．

解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆

∴CDF ABC ∠=∠．………………2分

AB AC =ABC ACB ∴∠=∠

且ADB ACB ∠=∠,

EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分

∴CDF EDF ∠=∠．………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠,

所以BAD ?与FAB ?相似,

AB AD AF AB

∴=2AB AD AF ∴=?，…………7分 又AB AC =, A B A C A D

∴?=?，∴AB AC DF AD AF DF ??=?? 根据割线定理得DF AF FC FB ?=?，……………9分

AB AC DF AD FC FB ??=??．……………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ?=-+???=?

（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．

解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为

22sin ρρθ= ……………………………………………2分

又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[

所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分

（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3

y x =--… ………6分 令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．

又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =

，则MC ……8分

所以1MN MC r +≤………………………10分

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知1a b +=，对,(0,)a b ?∈+∞，

14|21||1|x x a b +≥--+恒成立，求x 的取值范围．

解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴ 1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+b a +4a b ≥9 ，故1

a +4

b 的最小值为9，……5分 因为对a ，b ∈(0，+∞)，使1a +4

b ≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，

所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x ≤-1时，2-x ≤9， ∴ -7≤x ≤-1，当 -1＜x ＜1

2时，-3x ≤9，

∴ -1＜x ＜1

2，当 x ≥1

2时，x-2≤9， ∴ 1

2≤x ≤11，∴ -7≤x ≤11

…… 10分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5s4e.html