北师大版2019-2020年九年级数学下册教案：3.3 垂径定理1

*3.3 垂径定理

1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)

2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)

一、情境导入

如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？

二、合作探究

探究点一：垂径定理

【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度

如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，

且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝3.∴OD＝23，∴AB＝43.故选D.

方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】 垂径定理的实际应用

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的

AB︵)，点O是这段弧的圆心，C是AB︵

上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.

解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.

方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】 垂径定理的综合应用 如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点

E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长．

解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OE＝1

2OB＝1

2OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根

据勾股定理可以解得CE的长，进而求出CD的长．

(1)证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴AC︵＝AD︵

，∴AC＝AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°.在Rt△COE中，OE＝11

2OC，∴OE＝2OB，∴点E为OB的中点；

(2)解：在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝1

2AB

＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝OC2－OE2＝16－4＝23，∴CD＝2CE＝43.

方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

探究点二：垂径定理的推论

【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数

如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，

M、N分别是AB︵、AC︵

的中点，则∠MON的度数是( )

A．100° B．110° C．120° D．130°

解析：已知M、N分别是AB︵、AC︵

的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题．

【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度

如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点

P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．

解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．

解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝11

2AB＝2×10

＝5(cm)．

方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型三】 动点问题 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P

是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．

解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝1

2AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，

连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.

方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．

三、板书设计

垂径定理

1．垂径定理

2．垂径定理的推论

垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.

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