西华大学2011应用计算方法参考答案

西华大学研究生课程考试试题

课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 考试 年 级： 2011 学时： 54 考试时间： 120 专 业： 学生姓名: 学号:

一、(8分)计算f??2?1，取2?1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

?61?解: 方法一

2?1?6， 3?2?2，

?31?3?22?3， 99?70。2

设y?(x?1)，若x?若通过

612，p?1.4，则|e(p)|??10?1。

21?2?1?6计算y值，即计算函数f(x)?(x?1)?6在x?2处的值，由于

f?(x)??6?x?1?，故e(f(p))?|f?(p)|e(p)，得

|e(f(1.4))|??6(1.4?1)?7|e(p)|?0.013|e(p)|；（2分）

若3?22?7??计算y值，即计算函数f(x)?(3?2x)323在x?2处的值，由于

f?(x)??6?3?2x?，故得

|e(f(1.4))|??6(3?2?1.4)2|e(p)|?0.24|e(p)|；（2分）

若3?22???3计算y值，即计算函数f(x)?(3?2x)?3在x??42处的值，由于

f?(x)??6?3?2x?，故得

|e(f(1.4))|??6(3?2?1.4)?4|e(p)|?0.005|e(p)|；（2分）

若99?702计算y值，即计算函数f(x)?99?70x在x?2处的值，由于

f?(x)??70，故得

（2分） |e(f(1.4))|??70|e(p)|?70|e(p)|；

比较4个结果得，通过

1?3?22?3计算得到的结果最好。

方法二

根据数值计算原则：（1）避免两个相近的数相减；（3分）（2）简化计算步骤，减少运

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算次数。（3分） 可以判断得出：通过

1?3?22?3计算得到的结果最好。（2分）

二、(10分) 设

?1?1?1???A???11?1?

??1?11???计算||A||1，||A||2，||A||?

解： ||A||1?3，||A||??3（6分）。由于A是对称矩阵，所以||A||2?max(|?(A)|)（2分），而A的特征值为?1,2,2，故||A||2?2（2分）

三、(10分)为求方程x?x?1?0在1.5附近的根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。 （1）x?1?3211，迭代公式； （2）x?x?1?k?12x2xk1，迭代公式xk?1?x?11。 xk?1试分析每种迭代公式的收敛性。 解：考虑区间[1.3,1.6]（2分）。

3[1,.6.] （1）当x?1g(x)?1?时，

122??[1.3,1.6]，|g(x)|????0.910?1，

x2x31.33故迭代xk?1?1?1在[1.3,1.6]上收敛。（4分） 2xk1， x?1 （2）当x?[1.3,1.6]时，令g(x)?|g?(x)|??11??1.076?1。 32322(x?1)2(1.6?1)故迭代xk?1?1发散。（4分） xk?1?x1?x2?x3?1??x1?2x2?2x3?0。 ??2x?x?x?1123?第 页(共 页) 2

四、(10分)用LU分解法求解方程组：

?11?1???解：设A??12?2?，X?(x1,x2,x3)T，b?(1,0,1)T，Y?(y1,y2,y3)T。

??211??? （1）对A进行LU分解，

?100??11?1?????A?LU??110??01?1?。（4分）

??231??002????? （2）解方程LY?b得：Y?(1,?1,6)T；（3分） （3）解方程UX?Y得：X?(2,2,3)T（3分） 五、(10分)线性方程组：

?x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?3 ?2x?2x?x?5123?考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性。

?0?22???解：1、BJ???10?1?，BJ的特征值为?1??2??3?0，?(BJ)?0?1。故Jacobi

??2?20???迭代收敛。（5分） 2、BGS?0?22?????02?3?，BGS的特征值为?1??2?2，?3?0，?(BGS)?1。故?002???Gauss-Seidel迭代发散。（5分）

六、(10分)现在你没有计算器，也没有计算机。请你用线性插值和二次插值计算出43的近似值，并估计误差。

解：问题可化为：已知函数f(x)?插值法求函数f(x)?（1）线性插值：

43介于36与49之间，以x0?36，x1?49为节点，进行线性插值得

x在xi?0,1,4,9,16,?的值yi?0,1,2,3,4,?，通过

x在x?43的值。

f(x)?L1(x)?x?42，于是43?6.5385， 131(43?36)(49?43)?0.0243。误差为：|R1(42)|?（5分） 322?4?36（2）二次插值：

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离43最近的三个节点为：25，36 49，用这三个节点进行二次失插值得

f(x)?L2(x)，于是43?6.5629，

误差为：|R1(43)|?3(43?25)(43?36)(49?43)?0.0061。（5分） 526?8?36七、(8分)已知y?f(x)的数据表如下：

xi yi -2 0 -1 0.2 0 0.5 1 0.8 2 1 求一次式p(x)?ax?b，使得p(x)为f(x)的最小二乘一次近似；

??2???1解：记A??0??1?2?1??0????1??0.2??a?1?，y??0.5?，c???，要使p(x)?ax?b为f(x)的最小二乘一次????b?1?0.8????1?1???近似，a,b为超定方程Ac?y的最小二乘解。（4分）

?100??a??2.6? 超定方程Ac?y的法方程AAc?Ay为???????,解之

05???b??2.5?TT得:a?0.26,b?0.5 （2分），最后得p(x)?0.26x?0.5为f(x)的最小二乘一次近似。（2分）

八、(8分)如果f??(x)?0，证明用梯形公式计算积分I?并说明其几何意义。

证明：由梯形公式的余项

?baf(x)dx所得结果比准确值I大，

(b?a)3RT(f)??f??(?)，??(a,b)，（3分）

12知若f??(x)?0，则RT(f)?0，因而

I??f(x)dx?T?RT(f)?T，

ab即用梯形公式得到的结果比准确值大。（3分）

从几何上看，f??(x)?0，f(x)为下凸函数，曲线位于对应弦的下方，此时梯形面积

大于曲边梯形的面积。（2分）

九、(8分)试求如下数值积分公式的结点xi(i?1,2)及求积系数Ai(i?1,2)，使公式具有最高代数精度：

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?1?1x2f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2)。 2?A?A?2?13??A1x1?A2x2?0 （2分） ?22?A1x12?A2x2??5?Ax3?Ax3?0?1122解：由于求积公式中有四个末知参数，设公式至少具有3次代数精度，（2分）得

解之得：A1?A2?133，x1??，x2?（2分）。公式为： 355?

1?1x2f(x)dx?13?3?1?3?f?（2分） ??5???3f??5??。????(此题超范围不做)十、(10分)考虑中点公式：yk?1?yk?1?2hf(xk,yk)，

?y???y,0?x?1（1）怎样利用中点公式求解初值问题?？（取步长h?0.25）。

y(0)?1?（2）分析中点公式的绝对稳定区间。

解：（1）由于中点公式是一个两步格式，须用一个单步格式计算出y1。 可以这样求解：令xi?ih（i?0,1,2,3,4）

1、 用Euler公式计算y1：y1?y0?hy0?0.75；

2、 用中点公式计算yi：yi?yi?2?2hyi?1，i?2,3,4。（5分） (2) 将中点公式用于实验方程y???y得：

yn?1?yn?1?2?hyn

对应的特征方程为

r2?1?2?hr

特征根为r1,2(?h)??h?(?h)?1，要|r)|?1，有?1,2(?h对稳定区间为??211??h?，故中点公式的绝22?11?（5分） ,?。

?22?十一、(8分)在实际问题中，f(x)不是初等函数，而导数f?(x)的计算函数比较容易。请设

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计计算f(x)在若干点上的值的方法。

解：要通过f?(x)计算f(x)在若干点上的值，至少要知到f(x)在一个特定点的值，不妨设

f(a)?0。

方法一、先求函数f?(x)的插值多项式Pn(x)，利用公式f(x)??xaf?(t)dt，可得

f(x)??Pn(t)dt，利用此公式就可计算出f(x)在若干点上的值。

ax方法二、f(x)??xaf?(t)dt，用数值积分法计算此积分，可计算出f(x)在若干点上的值。

方法三、令y?f(x)，则f(x)可看成常微分方程初值问题

?y??f?(x) ??y(a)?0?y??f?(x)的解，用常微分方程初值问题的数值解法求解?，可计算f(x)在若干点上的值。

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计计算f(x)在若干点上的值的方法。

解：要通过f?(x)计算f(x)在若干点上的值，至少要知到f(x)在一个特定点的值，不妨设

f(a)?0。

方法一、先求函数f?(x)的插值多项式Pn(x)，利用公式f(x)??xaf?(t)dt，可得

f(x)??Pn(t)dt，利用此公式就可计算出f(x)在若干点上的值。

ax方法二、f(x)??xaf?(t)dt，用数值积分法计算此积分，可计算出f(x)在若干点上的值。

方法三、令y?f(x)，则f(x)可看成常微分方程初值问题

?y??f?(x) ??y(a)?0?y??f?(x)的解，用常微分方程初值问题的数值解法求解?，可计算f(x)在若干点上的值。

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