2011年高考试题与答案（全国卷文科数学）

2011年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修II）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号

填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1．设集合U=?1,2,3,4

2? A．?1，?,M??1,2,3?,N??2,3,4?,则e（M?N）= 3? B．?2，C．?2，4?

D．?1，4?

2．函数y?2x(x≥0)的反函数为

x2 A．y?4(x?R) B．y?x24(x≥0)

C．y?4x(x?R)

122D．y?4x(x≥0)

,则a?2b?

C．5

D．7 23．权向量a,b满足|a|?|b|?1,a?b??

A．

2

B．3

?x?y?6?4．若变量x、y满足约束条件?x?3y?2，则z?2x?3y的最小值为

?x?1? A．17 B．14 C．5 D．3

5．下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是 A．a?b?1 B．a?b?1

C．a?b

22 D．a?b

336．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1?1，公差为d?2,Sk?2?Sk?24，则k=

A．8 B．7 C．6 D．5

7．设函数f(x)?cos?x(?＞0)，将y?f(x)的图像向右平移

原图像重合，则?的最小值等于

1A． B．3

3?3个单位长度后，所得的图像与

C．6

D．9

8．已知二面角??l??，点A??,AC?l,C为垂足，点B??,BD?l，D为垂足，若AB=2，

AC=BD=1，则CD=

A．2 A．12种

B．3 B．24种

C．2 C．30种

D．1 D．36种

52)=

9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有

10．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1?x)，则f(?

A．-12

1B．?

4C．

14 D．

12

11．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离C1C2=

A．4

B．42

C．8

D．82

12．已知平面?截一球面得圆M，过圆心M且与?成600，二面角的平面?截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4?，则圆N的面积为 A．7? B．9? C．11?

D．13?

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号

填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作．．．．．

答无效） ．．．13．（1-x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: ．

3?214．已知a∈（?,at），n?2,?ocs则?=

15．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 。

16．已知F1、F2分别为双曲线C:

x29-

y227=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），

AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设等比数列?an?的前n项和为Sn,已知a2?6,6a1?a3?30,求an和Sn

18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知asinA?csinC?（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若A?750,b?2,求a与c

19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；

（II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

2asinC?bsinB,

如图，四棱锥S?ABCD中， AB?CD,BC?CD，侧面SAB为等边三角形，

AB?BC?2,CD?SD?1．

（I）证明：SD?平面SAB；

（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知函数

f(x)?x?3ax?(3?6a)x?12a?4a?R?

32 （I）证明：曲线y?f(x)在x?0处的切线过点（2，2）；

（II）若f(x)在x?x0处取得极小值，x0?(1,3)，求a的取值范围。

22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?2y22过F且斜率为-2?1在y轴正半轴上的焦点，

????????????的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。

参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要

考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和

难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；

如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题

1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题 13．0 14．?三、解答题

17．解：设{an}的公比为q，由题设得 ?a1q?6, ? 26a?aq?30.?1155 15．

23 16．6

…………3分

?a1?3,?a1?2,或?解得?

?q?2,?q?3. …………6分

n?1n当a1?3,q?2时,an?3?2,Sn?3?(2?1);

n?1n当a1?2,q?3时,an?2?3,Sn?3?1.

…………10分

18．解：

（I）由正弦定理得a?c?222222ac?b.

2…………3分

由余弦定理得b?a?c?2accosB.

22 故cosB?,因此B?45?. …………6分

（II）sinA?sin(30??45?)

?sin3?0co?s?45c?os3?0sin45

?2?46. …………8分

故a?b?sinAsinB?2?26?1?3,

c?b?sinCsinB?2?sin?60?6 .sin?45 …………12分

19．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。 （I）P(A)?0.5,P(B)?0.3,C?A?B, P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B?)…………3分 …………6分 …………9分 …………12分

0

?? （II）D?C,P(D)?1?P(C)?1?0.8?0.2,

12?0.2?0.8?0.384. P(E)?C3

20．解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2， 连结SE，则SE?AB,SE?3.

又SD=1，故ED2?SE2?SD2， 所以?DSE为直角。

…………3分

由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E， 得AB?平面SDE，所以AB?SD。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以SD?平面SAB。

（II）由AB?平面SDE知， 平面ABCD?平面SED。

作SF?DE,垂足为F，则SF?平面ABCD，

SD?SE3?. DE2 …………6分

SF? 作FG?BC，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则SG?BC， 又BC?FG,SG?FG?G，

故BC?平面SFG，平面SBC?平面SFG。

作FH?SG，H为垂足，则FH?平面SBC。

…………9分

FH?SF?FG?SG37，即F到平面SBC的距离为217.

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为α， 则sin?? 解法二：

dEB?217,??arcsin217.

217.

…………12分

以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。 又设S(x,y,z),则x?0,y?0,z?0.

???????????? （I）AS?(x?2,y?2,z),BS?(x,y?2,z)，DS?(x?1,y,z)，

由|AS|?|BS|得

(x?2)?(y?2)?z?222????????x?(y?2)?z,

222故x=1。

????由|DS|?1得y2?z2?1,

????又由|BS|?2得x2?(y?2)2?z2?4,

即y?z?4y?1?0,故y?2212,z?32. …………3分

?????33???33于是S(1,,),AS?(?1,?,),BS?(1,?,)，

22222213?????????????????13???DS?(0,,),DS?AS?0,DS?BS?0.

22故DS?AD,DS?BS,又AS?BS?S, 所以SD?平面SAB。

（II）设平面SBC的法向量a?(m,n,p)，

????????????????则a?BS,a?CB,a?BS?0,a?CB?0.

?????33???),CB?(0,2,0), 又BS?(1,?,22

?33p?0,?m?n?故? 22?2n?0.? …………9分

????取p=2得a?(?3,0,2),又AB?(?2,0,0)。

????????AB?a?cosAB,a?????|AB|?|a|217.

故AB与平面SBC所成的角为arcsin21．解：（I）f'(x)?3x2?6ax?3?6a.

217.

…………2分

由f(0)?12a?4,f'(0)?3?6a得曲线y?f(x)在x?0处的切线方程为 由此知曲线y?f(x)在x?0处的切线过点（2，2） （II）由f'(x)?0得x2?2ax?1?2a?0. （i）当?2?1?a? （ii）当a?x1??a?2?1时,f(x)没有极小值；

…………6分

2?1或a??2?1时,由f'(x)?0得

a?2a?1,x2??a?22a?2a?1,

2故x0?x2.由题设知1??a?当a?a?2a?1?3.

a?2a?1?3无解。

a?2a?1?3得?,?2?1).

22?1时，不等式1??a?2当a??2?1时，解不等式1??a?综合（i）（ii）得a的取值范围是(?5252?a??2?1.

…………12分

22．解：（I）F（0，1），l的方程为y??2x?1，

y2代入x?22?1并化简得

4x?22x?1?0.

2 …………2分

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),

则x1?2?4226,x2?2?46,

x1?x2?,y1?y2??2(x1?x2)?2?1,

由题意得x3??(x1?x2)??2222,y3??(y1?y2)??1.

所以点P的坐标为(?,?1).

经验证，点P的坐标为(?222,?1)满足方程

x?2y2?1,故点P在椭圆C上。 …………6分

（II）由P(?22,?1)和题设知， Q(22,1)

PQ的垂直一部分线l1的方程为

22y??x. ①

设AB的中点为M，则M(21,)，AB的垂直平分线为l2的方程为 42y?22x?14. ②

由①、②得l1,l2的交点为N(?21,)。 88…………9分

|NP|?(?22?282)?(?1?218)?23118,|AB|?|AM|?1?(?2)?|x2?x1|?324(,24282322,

12182|MN|??2)?(2?)?338,|NA|?|AM|?|MN|?3118,故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，

所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分

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