【数学】贵州省凯里市第一中学2022届高三下学期《黄金卷》第二套

凯里一中2018届《黄金卷》第二套模拟考试

理科数学试卷

命题学校:凯里一中(试题研究中心)

第I 卷(选择题,共60分)

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数2018z i i =+，则z =（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

2. 已知{}13A x x =-<<，{}2320B x x x =-+<，则A B =（ ）

A ．(,)-∞+∞

B ．(1,2)

C ．(1,3)-

D ．(1,3)

3. 函数24()x f x x

+=的最小值为（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 6 D ． 8

4. 直线3542

y x =-和圆2242200x y x y +-+-=的位置是（ ） A ．相交且过圆心 B ． 相交但不过圆心 C. 相离 D. 相切

5. 某几何体的三视图如图(1)所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）

A ．3．42

D ．3

6. 设3log a π=，1

()2b π=，8073tan 4

c π=，则（ ） A ． a c b >> B ．b a c >> C.a b c >> D ．c b a >>

7.2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学

校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（ ）种

A. 5040

B. 4800

C. 3720

D. 4920

8. 已知抛物线214y x =的焦点F 是椭22

221y x a b

+=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ?是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A ．．11 9.过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（ ）

A ． D 9.中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N n =（mod m ），例如101(mod3)≡.我国南北朝时代名著《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图（2）的程序框图，则输出的n =（ ）

A ． 16

B ． 18 C. 23 D ．28

10.如图（3）所示，在半径为R 的θ内有半径均为2R 的1C 和2C 与其相切，1C 与2C

外切，AB 为1C 与2C 的公切线.某人向O 投掷飞镖，假设每次都能击中O ，且击中O 内每个点的可能性均等，则他击中阴影部分的概率是（ ）

A ．4π

B ．14 C. 8

π D ．18

11.在ABC ?中，23C π∠=，若()tan tan()3

f A A A π=+-，则函数()f A 的最小值为（ ）

A ． ．．3

12.已知偶函数4log ,04

()(8),48x x f x f x x ?<≤=?-<

x F x f x =-在区间[]2018,2018-的零点个数为（ ）

A ． 2020

B ．2016 C. 1010 D ．1008

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题：（本题共4小题每题5分，共20分）

13. 已知(1,1)a =-，(2,1)b =-，(1,2)c =，若a b c λμ=+，则λμ

= ． 14. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12018a =，2432a a a +=-，则

2019S = ．

15. 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于2

2b a

(a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线2

22:1x C y a

-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，

若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ l ⊥于点Q ，且1MQ MF +的最小值为3，则双曲线C 的通径

为 .

16.已知球O 是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，

MN 为球O 的一条直径，点P 为正八面体表面上的一个动点，则PM PN ?的取值范围是 ．

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，(2cos ,cos cos )m C a B b A =+，(,1)n c =-，且m n ⊥.

（Ⅰ）求角C ；

（Ⅱ）若3c =，求ABC ?周长的最大值.

18.2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30,[)30,40,[)40,50,[)50,60，[)60,70，[]70,80，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；

（Ⅱ）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该社区群众中每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中年龄在[)3040，的人数为ξ，

若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，及数学期望()E ξ.

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：//PC 平面BED ；

（Ⅱ）若PD AD =，2PE AE =，求直线PB 与平面BED 所成角的正弦值.

20.已知抛物线2:2(0)C y py p =>的焦点F 为曲线22:1243x y Γ-=的一个焦点，O 为坐标原点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 作x 轴的平行线交抛物线的准线于P ，直线OP 交抛物线于点N .

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）若M 、F 、N 三个点满足2MF FN =，求直线MN 的方程.

21. 已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈

（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

（Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,(0)f 上恒成立，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，4n n

b a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线2cos :4sin x t l y t αα=+??=+?

， (t 为参数，α为倾斜角).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=.

（Ⅰ）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）设点M 的直角坐标为(2,4)，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求MA MB +的取值范围.

23.选修4-5：不等式选讲

已知a 、b 、c 均为正实数.

（Ⅰ）若3ab bc ca ++=，求证：3a b c ++≥

（Ⅱ）若1a b +=，求证：221

1(1)(1)9a b --≥

凯里一中2018届《黄金卷》第二套模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

1-5: CBBAD 6-10: ADCCB 11、12：DA

二、填空题 13. -3 14. 2018 15. 2 16. 4

[0,]3

三、解答题

17. 解：（Ⅰ）∵m n ⊥ ∴2cos (cos cos )0c C a B b A -+=

由正弦定理得2sin cos (sin cos cos sin )0C C A B A B -+=

即2sin cos sin()0C C A B -+=∴2sin cos sin 0C C C -=，在ABC ?中，0C π<< ∴sin 0C ≠ ∴1

cos 2C =， ∵(0,)C π∈,∴3C π

=

（Ⅱ）由余弦定理可得：22222cos ()2(1cos )9c a b ab C a b ab C =+-=+-+=

即2()39a b ab +-=∴2

21[()9]32a b ab a b +??

=+-≤ ???∴2()36a b +≤ ∴6a b +≤，

当且仅当3a b ==时取等号，∴ABC ?周长的最大值为6+3=9

18. 解：（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为x ，则

()0.005100.010100.020100.030500.5x ?+?+?+?-=，解得55x =，

即80名群众年龄的中位数55．

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，任意抽取1名群众，年龄恰在[30,40）的概率为110

, 由题意可知1

(3)10

B ξ，:，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 003319729()()=10101000P

C ξ（=0)= 112319243()()()=10101000

P C ξ=1=, 22131927()()()=10101000P C ξ=2= 3303191(3)()()=10101000

P C ξ== X 的分布列为

所以7292432713003()

10001000

10001000100010E ξ????===0+1+2+3.或者13()3=1010

E ξ?= 19. 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于G ，连接EG .在三角形ACP 中，中位线 //EG PC ，

且EG ?平面BED ,PC ?平面BED ，∴//PC 平面BED

（Ⅱ）设2CD =，则2AB BC AD PD ====，且23

PE PA =.分别以,,DA DC DP 为,,x y z 轴的正方向建立

坐标系，则42(0,0,0),(2,0,0),(,0,),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2)33D A E C B P

∴

42

(2,2,0),(,0,),(2,2,2)

33

DB DE PB

===-，设平面BED的一个法向量为(,,)

n x y z

=，

则

220

42

33

x y

n DB

x z

n DE

+=

?

??=

??

?

??

+=

?=

??

??

,令1

x=-，则1

y=，∴2

z=∴(1,1,2)

n=-

设直线PB与平面BED所成的角为α，则

||2 sin|cos,|

||||

PB n

n PB

PB n

α

?

=<>==

?

所以PB与平面BED

20. 解：（Ⅰ）解由曲线22

:1243

x y

Γ-=，可得

22

1

13

44

x y

-=，所以曲线

22

:1

13

44

x y

Γ-=是焦点在x轴上的双曲线，其中22

13

,

44

a b

==，故2221

c a b

=+=，Γ的焦点坐标分别为12

(1,0)(1,0)

F F

-、，因为抛物线的焦点坐标为(,0),(0)

2

p

F p>，由题意知1

2

p

=，得2

p=，所抛物线的方程为24

y x

=

（Ⅱ）设直线MN的方程为1

ty x

=-，联立直线与抛物线的方程得

2

1

4

ty x

y x

=-

?

?

=

?

，消去x得2440

y ty

--=，设

1122

(,),(,)

M x y N x y，由根与系数的关系得

1212

4,4

y y t y y

+==-，因为2

MF FN

=，故

1122

(1,)2(1,)

x y x y

--=-，得1

2

2

y

y

=

-，由1

2

2

y

y

=-及

12

4

y y=-，

解得1

2

y

y

?=-

?

?

=

??

1

2

y

y

?=

?

?

=

??12

4

y y t

+=

，解得

4

t=-或

4

t=

故MN的方程为

1

4

y x

-=-或

1

4

y x

=-，化简得440

x-=或440

x-=

另解：如图，由2

MF FN

=，可设||2,||

MF t FN t

==，则

||22,||2MS t EF t =-=-，因为FSM NEF ??，所以MF MS FN EF

= 解得，32

t =，所以||23,||1MF t MS ===，在Rt FSM ?中， ||1

cos tan ||3SM FMS FMS FM ∠=

=?∠=即t a n 22F M x ∠=（k 为直线的斜率）

，所以

直线MN 的方程为1)y x =-，即20y --=，由于对称性知另一条直线的方

程为0y +-=.

21. 解：

（Ⅰ）因为1a =，所以()(2)ln(1)f x x x x =++-，(0)(02)ln100f =+?-=，切点为(0,0). 由'2()ln(1)11x f x x x +=++-+，所以'02(0)ln(01)1101

f +=++-=+，所以曲线()y f x =在(0,0)处的切线方程为01(0)y x -=-，即0x y -= （Ⅱ）由'2()ln(1)1

x f x x a x +=++-+，令'()()([0,))g x f x x =∈+∞， 则22'11()01(1)(1)

x g x x x x =

-=≥+++（当且仅当0x =取等号）.故'()f x 在[0,)+∞上为增函数. ①当2a ≤时，''()(0)0f x f ≥≥,故()f x 在[0,)+∞上为增函数，

所以()(0)0f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；

②当2a >时，由于'(0)20f a =-<，'1(1)10a a f e e

-=+>，根据零点存在定理， 必存在(0,1)a t e ∈-，使得'()0f t =，由于'()f x 在[0,)+∞上为增函数，

故当(0,)x t ∈时，'()0f t <,故()f x 在(0,)x t ∈上为减函数，

所以当(0,)x t ∈时，()(0)0f x f <=,故()0f x ≥在[0,)+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞

（III ）证明：由24,13,1331,.22,22,21

n n n n n S n n a b n n n n ?=?=??=+-?=?=??+≥??≥?+? 由（Ⅱ）知当0x >时，(2)ln(1)2x x x ++>，故当0x >时，2ln(1)2

x x x +>+， 故2

222ln(1)212n n n

n ?

+>=++，故1122ln(1)1n n k k k k ==+>+∑∑.下面证明：ln(1)(2)n T n n <++ 因为1222222ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1231n

k k n n =+=++++++???++++-∑ 45612(1)(2)ln(3)ln ln(1)(2)ln 223412

n n n n n n n n ++++=?????????==++-- 而，4222321311n T n =

+++???++++ 1

222222224111111213122131233n n n k T T k n n ==+++???+=+++???+=+-=-++++++++∑ 所以，1ln(1)(2)ln 23n n n T ++->-，即：1ln(1)(2)ln 23n n n n T T ++>-+> 22. 解：（Ⅰ）由222,sin x y y ρρθ=+=及2240x y y +-=，得24s i n ρρθ=，即

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