对数的概念教学设计

课题：3.2.1对数的概念 (第1课时)

一. 教材分析

“对数的概念”这节课是北师大版必修1第3章指数函数和对数函数第四节——“对数”的第1课时．学习对数的概念是对指数概念和指数函数的回顾与深化，是学习对数函数的基础．

二. 学情分析

高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程．

对数的概念对学生来说，是全新的，需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念．在教学过程中，力求让学生体会运用从特殊到一般，类比等数学方法来理解对数式与指数式之间的内在联系，将对数这一新知纳入已有的知识结构中．

三. 教学目标

1. 理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．

2. 学生在解决具体问题中体会引入对数的必要性，在举例过程中理解对数． 3. 学生在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想，学会用相互联系的观点辩证地看问题．

四. 重点与难点

1. 重点：（1）对数的概念； （2）对数式与指数式的互化． 2. 难点：对数概念的形成．

五. 教学方法与教学手段

问题教学法，启发式教学．

六．教学过程

1. 创设情境 建构概念

某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%．（设该物质最初的质量为1）

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【问题1】你能就此情境提出一个问题吗？

[设计意图]通过学生熟悉的问题情境，让学生自主地提出问题，引发思考，体会这些问题之间的关联是指数式ab =N中已知两个量求第三个量．

[教学过程]

师：写好的同学请和同桌交流一下. 师：你提的是什么问题呢？

生：经过5年，这种物质的剩留量为原来的多少？ 师：是多少呢？ 生：0.845=N.

师：有不同的问题吗？

生：经过多少年，这种物质的剩留量为原来的一半？ 1

师：这个问题怎么解决呢？ 0.84x=2.

师：同学们提出了很好的问题，这两个问题实际上都与我们学过的指数函数y=0.84x有关．第一个问题是已知指数x求幂y；第二个问题是已知幂y求指数x．如果底数是未知的，那么，我们还可以解决已知指数x和幂y求底数a的问题．

[阶段小结]这些问题实际就是在研究a =N(其中a＞0且a≠1)中已知两个量求第三个量．我们可以研究以下三类问题：

设a =N.

(1) 已知a，b，求N； 比如32＝9，53＝125，…… (2) 已知b，N，求a；

比如a5＝32?a＝2，a3＝5?a＝35，……

b

b

(3) 已知a，N，求b. 2b＝2?b＝1， 2b＝4?b＝2，

【问题2】2b=3，这样的指数b有没有呢？

[设计意图]利用具体的问题引发学生的认知冲突，引导学生运用数形结合的方法探索指数b是存在的，并且只有一个，进而想办法用数学符号表示指数b．

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[教学过程]

生：2b＝3这个问题和指数函数y=2x有关，我们可以作出它的图象来观察. 师：作出y=2x与y=3的图象，发现它们有交点，而且只有一个，那么指数b在哪里呢？

生：交点的横坐标就是指数b．

师：看来满足2b＝3的指数b可由“2和3”唯一确定，但它究竟是个什么数呢？现在用我们学过的数又不能把它写出来，怎么办呢？

生：用一个新的符号来表示它.

师：是的，数学家也是这么想的，他们解决这种问题的办法就是引进一个新的符号，比如这里的a3＝5，a等于什么呢？数学家就用a＝35来表示， a是由3和

5确定的，将3和5写在相应的位置.

师：现在如何表示这里的指数b呢？指数b由2和3确定，数学家用log23来表示，读作以2为底3的对数，其中2为底数，写在下方，3叫真数．

11师：有了这个符号，就可以解决我们刚才的问题了，0.84x=2? x＝log0.842. 师：你能再举一些这样的对数吗？ 生：3b＝10? b＝log310； 4b＝5? b＝log45； 2b＝7? b＝log27；

……

师：这里的1能用对数表示吗？ 生：1= log22．

师：同样这里的2也可以表示为log24. 对数b其实就是一个数．

思考：根据这些具体的例子，你能得到一般情况下，对数是怎么表示的吗？ 对数的概念：如果a的b次幂等于N(其中a＞0，a≠1)，即ab=N，那么就称b是以 a为底 N的对数，记作logaN＝b．其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 数学史简介：对数是由17世纪苏格兰数学家纳皮尔发明的，有兴趣的同学可以查阅相关的数学史资料.

师：根据对数的概念，我们不难发现，对数来源于指数，这两个等式表示的是a，b，N三个量之间的同一个关系，只是表现形式不同而已，比如在a =N

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b

中，a＞0，a≠1，a叫底数，b叫指数，N叫幂，当变为对数式时，a的范围不变，a还叫底数，指数b现在叫对数，幂N现在叫真数.

2．具体实例 理解概念

[学生活动]请每位同学写出2—3个对数，与同桌交流．

[设计意图]深入理解对数．第一阶段，让学生体会对数可以转化为指数，对数式和指数式是等价的；第二阶段，认识特殊的对数，明确对数式中a，b，N的范围． [教学过程]

师：大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看，有同学写了这样一个对数log327. 你知道它是个什么样的数吗？ 师：为什么等于3呢？ 生：因为33 =27.

师：还有同学写了log19，这是个什么数啊？

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生：－2. 师：为什么？ 1

生：因为()－2 =9.

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师：想认识对数只要将它转化为相应的指数式就容易理解了. 师：我也写一个log926，这是个什么数呢？ 生：不知道.

师：你知道它大概是多大吗? 生：1到2之间.

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师：你怎么知道的呢？

生：因为91=9，92=81，26在9和81之间.

师：你是将问题转化为指数问题来考虑的. 我们知道对数就是一个数，可以设它为b，转化为9b =26就好理解了.

[阶段小结]其实想要认识同学写的对数，只要将它转化为相应的指数式就明白了，指数式和对数式是可以等价转化的.

师：看大家写的对数有大于0的，有小于0的，有没有等于0的对数呢？ 生：log21=0. 师：还有吗？

生：只要底数取a>0，a≠1，真数为1的对数都等于0. 师：怎么表示呢？ 生：loga1=0(a>0，a≠1). 师：为什么？

生：因为a0＝1(a>0,a≠1) .

师：a0＝1是个特殊的指数式，还有其他特殊的指数式吗？ 生：a1＝a.

师：由这个我们又能得到什么样的对数式呢？ 生：logaa=1(a>0，a≠1) .

师：对数可正可负可为0，那对数是否能取到所有的实数呢？ 生：是的.

师：你怎么知道的呢？

生：从指数式a =N(其中a＞0且a≠1)中我们可以知道.

师：对数b可以取到一切实数，底数a＞0，a≠1，真数N应满足什么要求呢？ 生：大于0.

生：在a＞0且a≠1时，a =N ，根据指数函数的值域可知 N只能取大于0的数.

[阶段小结]通过讨论，我们认识了一些特殊的对数，知道对数b可以取到一切实数，但是真数N必须大于0. 在认识对数的过程中，我们运用了对数式与指

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b

b

数式之间的等价转化. 3．概念应用 方法总结

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练习 求下列各式的值：(1)log264； (2)log10100； (3)log927． [设计意图] (1)理解对数是个数，对数问题可以转化为指数问题来解决．(2)反思解题过程，从中得到两个对数性质logaab=b，alogaN＝N (a＞0且a≠1)，为对数求值提供新的方法．(3)激起学生进一步探索对数相关结论的兴趣．(4)介绍常用对数和自然对数． [教学过程]

师：回头看第1个问题的解决过程，log226=6，log1010-2=-2你有什么发现？ 师：一般情况下logaab=b对吗？ 生：对，因为ab= ab.

师：在logaa=b这个式子中，真数N变成了a，相当于将指数式a =N带入对数式logaN=b，消去N.现在如果将对数式logaN=b带入指数式a =N消去b，会得到什么呢？ 生：a

logN

a＝N (a＞0

b

b

b

b

且a≠1)．

师：从第3小题中，你又会有什么发现呢？对数还有很多有趣的性质，有兴趣的同学可以继续研究.

师：大家看第2小题底数是10，我们通常将以10为底的对数叫常用对数，简记为log10 N＝lg N．以后在高等数学和物理学中还会经常用到以e为底的对数，叫做自然对数，loge N＝ln N．比如，lg2，ln3.

【问题3】什么是对数？研究对数的基本方法是什么？

[设计意图]回顾反思本节课学习的知识和方法．主要让学生体会研究一个新的数学对象的一般方法，即

生：对数就是一个数．遇到对数问题转化为指数问题来解决．

师：很好，我们通过一些具体的例子得到了对数的概念，又通过举例和练

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习进一步认识了对数，在认识的过程中，发现遇到对数的问题可以转化为指数问题来解决.这两个式子是等价的，表示的是a，b，N这三个量之间的同一种关系.

师：既然对数就是一个数，你觉得下面我们可以研究什么？ 生：对数的运算．

师：那如何研究对数的运算性质呢？请同学们先回去思考，我们下节课再研究．

4. 课堂小结 布置作业

(1)课本P74 练习第1、3、4、5题． (2)探究对数的运算性质．

[设计意图]布置作业的面向全体学生，旨在掌握对数的概念，熟练对数式与指数式的互化．探究对数的运算性质给学生提供进一步自主研究对数的机会．

七. 教学设计说明

对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念。此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系．对数的概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的重要作用．

对数概念的获得，应符合学生认知规律，教师不能直接抛出定义．教材所呈现的，是经过数学家整理过的数学知识，不一定完全符合学生的认知习惯，不可照本宣科．利用情境问题，教师引导学生提出问题，使学生产生认知冲突，从而认识到对数是有必要引进的一个重要的概念．

教师引导学生举出类似的例子，归纳共同特征，获得对数概念．通过揭示对数式与指数式的关系，让学生体会到对数式与指数式的等价，从而体现了将对数问题与指数问题互相转化来解决的思想方法．进而将抽象的对数概念具体化特殊化，引导学生进一步认识对数．

学习的过程就是一个不断地提出问题、解决问题的过程，提出问题比解决问题更重要．教师应给学生提供由自己提出问题、选择研究方法的机会，逐渐学会研究问题，促进能力发展．学生尚未完全掌握学习一个新的数学概念的一般方法，在学

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习过程中，教师应及时补充启发性提示语，帮助学生理解特殊化的意义，进行阶段性小结，以帮助学生明确研究一个新的数学对象的一般方法．

对于能力较强的学生，可引导他们尝试证明归纳出来的性质，经历数学研究的完整过程．

教学过程中，应充分发动学生，通过举例、说理、交流等活动，提供学生充分展示思维的机会．通过总结一般方法，促进学生体验由特殊到一般的思维过程．

针对不同学生的需求布置分层作业，不仅能帮助学生进一步掌握本课知识，还能帮助学生形成研究新对象的一般步骤和方法．

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