2014届数学试题选编12：等差数列及其前n项和（教师版） Word版含

2014届数学试题选编14：等差与等比数列综合

填空题

1 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）数列{an}，2，3，),且a1，a2，a3成公比不为1的等比中,a1?2,an?1?an?cn(c是常数,n?1数列,则{an}的通项公式是______.

【答案】an?n2?n?2

2 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列

n1412*,则=______. a1?,2?an?1?n?N???3an?6i?1ai?an?满足

2?3n?n?2【答案】

43 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知各项均为正数的等比数列{an}

的前n项和为Sn,

若a3=18,S3=26,则{an}的公比q=________. 【答案】3

4 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设数列{an}满

足:a3?8，?an?1?an?2??2an?1?an??0(n?N*),则a1的值大于20的概率为____.

【答案】1

45 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知数列

?a?满足ann?1（q?qan?2q?2为常数，|q|?1），若a3,a4,a5,a6??18,?6,?2,6,30?，则a1? ▲ ．

【答案】?2或

?126

31131

×=1-2, ×1×2221×22

6 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）观察下列等式:

+

4113141511

×2=1-×+×2+×3=1-2, 3,,由以上等式推测到一个一

2×323×21×222×323×424×2

*

般的结论:对于n∈N, 3141n＋2

×+×2++1×222×32nn＋

【答案】1?1

×n=______. 2

1

?n?1??2n7 ．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知等比数列{an}的首项是1,

1

公比为2,等差数列{bn}的首项是1,公差为1,把{bn} 中的各项按照如下规则依次插入到{an}的每相邻两项之间,构成新数列{cn}:a1,b1,a2,b2,b3,a3,b4, b5,b6,a4,,即在an和an?1两项之间依次插入{bn}中n个项,则c2013?____.

【答案】1951

8 ．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）若数列

?an?是各项均为正数

的等比数列,则当bn?na1?a2??an时,数列?bn?也是等比数列;类比上述性质,若数

列?cn?是等差数列,则当dn?_______时,数列?dn?也是等差数列.

【答案】

c1?c2???cn

n9 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）已知等差数列?an?满

足:a1??2,a2?0.若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为___________.

【答案】?7

10．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）过点

P(?1， 0)作曲线C:y?ex的切线,切点为T1,设T1在x轴上的投影是点H1,过点H1再作

曲线C的切线,切点为T2,设T2在x轴上的投影是点H2,,依次下去,得到第n?1(n?N)个切点Tn?1.则点Tn?1的坐标为______.

【答案】n， en

11．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知数列{an}满足3an+1+an=4(n∈N*),

??且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<

【答案】7 解答题

1

的最小整数n是______. 125

12．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）数列?an?是公比大于1的等比数

列,a2?6,S3?26. (1)求数列?an?的通项公式;

(2)在an与an?1之间插入n个数,使这n?2个数组成公差为dn的等差数列.设第n个

2

等差数列的前n项和是An.求关于n的多项式g(n),使得An?g(n)dn对任意n?N?恒成立;

(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,???,dn,???,这个数列中是否存在不同的三项

dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;

若不存在,说明理由.

【答案】

3

13．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）设等差数列{an}的公差d?0,

数列{bn}为等比数列,若a1?b1?a,a3?b3,a7?b5 (1)求数列{bn}的公比q;

(2)若an?bm,n,m?N*,求n与m之间的关系;

(3)将数列{an},{bn}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn},是否存在正整数p,q,r(p?q?r)使得p,q,r和cp?p,cq?q,cr?r均成等差数列?说明理由.

【答案】解:(1)设{bn}的公比为q,由题意

22???aq?a?2d?aq?a?2d 即?4 ?4???aq?a?6d?aq?a?6dq2?11q?1不合题意,故4?,解得q2?2 ?q??2

q?13(2)由an?bm得

a?(n?1)d?aqm?1,又2d?aq2?a?a ?d?n?1?1??(?2)m?1即n?1?(?1)m?122m?12a 2

m?12?n?1?N ?(?)*m?1?0 ?m为奇数，且n?2?1

(3)若{an}与{bn}有公共项,不妨设an?bm

n?2由(2)知:m为奇数，且*m?12?1

令m?2k?1(k?N),则bm?a?(2)2k?1?1?a?2k?1

?cn?2n?1a

若存在正整数p、q、r(p?q?r)满足题意,则

?2q?p?r ?q?1p?1r?1?2(a?2?q)?(a?2?p)?(a?2?r)

4

?2?2qp?1?2r?1,又?2p?1?2r?1?22P?r?2?2p?r2(当且仅当p?r时取\?\)

又?p?r,?2p?1?2r?1?2p?r2

又y?2x在R上增,?q?p?rp?r.与题设q?矛盾, 22?若不存在p、q、r满足题意

5

数学附加题

14．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知数列

?an?的前n项和为Sn, 且

a1?a5?17.

(1)若

?an?为等差数列, 且S8?56.

①求该等差数列的公差d;

nbn??b?3?an,则当n为何值时,bn最大?请说明理由; n②设数列满足

(2)若

?an?还同时满足: ①?an?为等比数列;②a2a4?16;③对任意的正整数k,存在

?an?的通项公式.

自然数m,使得Sk?2、Sk、Sm依次成等差数列,试求数列

【答案】解: (1)①由题意,得

?2a1?4d?17??8a1?28d?56 解得d??14分

②由①知因

a1?212323an??nbn?3n?an?3n?(?n)2,所以22,则

为

bn?1?bn?3n?1?所以

2?n?2n?2?n?3n?2?n??n??22n??n

(1b11?b10,且当n?10时, ?bn?单调递增,当n?11时,?bn?单调递减,

bn最大

故当n?10或n?11时,

?a1?1?a?16an?aa?aa?16a?a?17?155(2)因为是等比数列,则24,又1,所以?5或

?a1?16??a5?1

从而

an?2或an?(?2)n?1n?111an?16?()n?1an?16?(?)n?122或或.

又因为Sk?2、Sk、Sm依次成等差数列,得2Sk?Sk?2?Sm,而公比q?1,

a1(1?qk)a1(1?qk?2)a1(1?qm)2??kk?2m2m?k2q?q?q2?q?q1?q1?q1?q所以,即,从而 (*)

6

n?1a?2n当时, (*)式不成立; n?1a?(?2)n当时,解得m?k?1;

1an?16?()n?12当时, (*)式不成立; 1an?16?(?)n?12当时, (*)式不成立.

n?1a?(?2)n综上所述,满足条件的

15．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{an}是等差数

列,a1?a2?a3?15,数列{bn}是等比数列,b1b2b3?27. (1)若a1?b2,a4?b3.求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)若a1?b1,a2?b2,a3?b3是正整数且成等比数列,求a3的最大值.

【答案】解:(1)由题得a2?5,b2?3,所以a1?b2?3,从而等差数列{an}的公差d?2,

所以an?2n?1,从而b3?a4?9,所以bn?3n?1

(2)设等差数列{an}的公差为d,等比数列?bn?的公比为q,则a1?5?d,b1?3,a3?5?d,b3?3q. q因为a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列,所以(a1?b1)?(a3?b3)?(a2?b2)2?64. 设??a1?b1?m,m,n?N*,mn?64,

?a3?b3?n3??5?d??mq则?,整理得,d2?(m?n)d?5(m?n)?80?0.

?5?d?3q?n?n?m?(m?n?10)2?36解得d?(舍去负根).

2a3?5?d,?要使得a3最大,即需要d最大,即n?m及(m?n?10)取最大

2值.m,n?N*,mn?64,

7

?当且仅当n?64且m?1时,n?m及(m?n?10)取最大值.

2从而最大的d?63?761, 273?761 2所以,最大的a3?16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知数列

{an}满足:a数列b{}ba1?1,a2?a(a?0),n满足n?an?n2(n?*N )(1)若{an}是等差数列,且b3?45,求a的值及{an}的通项公式; (2)若{an}的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.

【答案】解 (1)因为?an?是等差数列,d?a?1,an?1?n(a?1),

[1?2(a?1)][1?4(a?1)]?45,解得a?3或a??7(舍去), 4an?2n?1

(2)因为?an?是等比数列,q?a,an?an?1,bn?a2n 当a?1时,bn?1,Sn?n;

a2(1?a2n)当a?1时, Sn?

1?a217．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若数列

nbn??S?3?t. nn公差为6的等差数列;数列的前项和为

?an?是首项为6?12t,

(1)求数列(2)若数列使得

?an?和?bn?的通项公式;

?bn?是等比数列, 试证明: 对于任意的n(n?N,n?1), 均存在正整数cn,

, 并求数列

bn?1?acn?cn?的前n项和Tn;

(3)设数列

?dn?满足dn?an?bn, 且?dn?中不存在这样的项dk, 使得“dk?dk?1与

dk?dk?1”同时成立(其中k?2, k?N?), 试求实数的取值范围.

【答案】解: (1)因为

?an?是等差数列,所以an?(6?12t)?6(n?1)?6n?12t

8

而数列

?bn?的前

nnS?3?t,所以当n?2时, n项和为

bn?(3n?1)?(3n?1?1)?2?3n?1,

n?1?3?t,bn??n?12?3,n?2 b?S?3?t?1又1,所以

(2)证明:因为

?bn?是等比数列,所以3?t?2?31?1?2,即t?1,所以an?6n?12

nn?1n?1b?2?3?6?3?6?(3?2)?12, n(n?N,n?1)n?1对任意的,由于

n?1n?1*a?6(2?3)?12?bn?1c?3?2?N令n,则cn,所以命题成立

1?3n1n1T?2n???3?2n?n?c?1?322 数列n的前n项和

?6(3?t)(1?2t),n?1dn??4(n?2t)3n,n?2?(3)易得,

3?8[n?(2t?)]?3nn?1n2由于当n?2时, dn?1?dn?4(n?1?2t)3?4(n?2t)3,所

以

①若

2t?37?2t?24,则dn?1?dn,所以当n?2时,?dn?是递增数列,故由题意得 ,即

?5?97?5?977?t??d1?d2,即6(3?t)(1?2t)?36(2?2t),解得444,

2?2t?379?3?t?24,则当n?3时,?dn?是递增数列,, ,即4t?74

②若

234(2t?2)3?4(2t?3)3d?d23故由题意得,即,解得

③若

m?2t?3m3m5?m?1(m?N,m?3)??t??(m?N,m?3)224,即24,

则当2?n?m时,

?dn?是递减数列, 当n?m?1时,?dn?是递增数列,

m则由题意,得dm?dm?1,即4(2t?m)3?4(2t?m?1)3m?1,解得

t?2m?34

9

?5?97?5?972m?3?t?t?444(m?N,m?2) 综上所述,的取值范围是或18．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）设

fk(n)?c0?c1n?c2n2?????cknk?k?N?,其中c0,c1,c2,???,ck为非零常数, 数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意的正整数n,an+Sn=fk(n). (1)若k=0,求证:数列{an}是等比数列;

(2)试确定所有的自然数k,使得数列{an}能成等差数列.

【答案】【证】(1)若k?0,则fk(n)即f0(n)为常数,不妨设f0(n)?c(c为常数).

因为an?Sn?fk(n)恒成立,所以a1?S1?c,即c?2a1?2. 而且当n≥2时,an?Sn?2, ① an?1?Sn?1?2, ②

①-②得 2an?an?1?0(n?N，n≥2).

若an=0,则an?1=0,,a1=0,与已知矛盾,所以an?0(n?N*). 故数列{an}是首项为1,公比为1的等比数列.

2【解】(2)(i) 若k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k=1,设f1(n)?bn?c(b,c为常数), 当n≥2时,an?Sn?bn?c, ③ an?1?Sn?1?b(n?1)?c, ④

③-④得 2an?an?1?b(n?N，n≥2).要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有an?b?d(常数),

而a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为an =1n?N*,

故当k=1时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an =1n?N*,此时f1(n)?n?1. (iii) 若k=2,设f2(n)?an2?bn?c(a?0,a,b,c是常数), 当n≥2时,an?Sn?an2?bn?c, ⑤

????an?1?Sn?1?a(n?1)2?b(n?1)?c, ⑥

10

⑤-⑥得 2an?an?1?2an?b?a(n?N，n≥2), 要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有 an?2an?b?a?d,且d=2a,

考虑到a1=1,所以an?1?(n?1)?2a?2an?2a?1n?N*.

故当k=2时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an?2an?2a?1n?N*, 此时f2(n)?an2?(a?1)n?1?2a(a为非零常数). (iv) 当k≥3时,若数列{an}能成等差数列,则an?Sn的表达式中n的最高次数为2,故数列{an}不能成等差数列. 综上得,当且仅当k=1或2时,数列{an}能成等差数列.

19．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知数列{an},其前n项和为Sn.

????⑴若对任意的n?N?,a2n-1,a2n+1,a2n组成公差为4的等差数列,且a1=1,

S2n?2013,求2nn的值;

⑵若数列{Sn+a}是公比为q(q??1)的等比数列,a为常数,求证:数列{an}为等比数列an1的充要条件为q=1+.

a【答案】⑴因为a2n?1,a2n?1,a2n成公差为4的等差数列,

所以a2n?1?a2n?1?4,a2n?a2n?1?（8n?N?), 所以a1,a3,a5,,a2n?1,a2n?1是公差为4的等差数列,且

a2?a4?a6??a2n?a1?a3?a5??a2n?1?8n,

又因为a1?1,所以S2n?2?a1?a3?a5??a2n?1??8n

?2[n+所以

n(n?1)?4]+8n?4n2+6n?2n(2n+3), 2S2n?2n+3?2013,所以n?1005 2nSn?a?(a?1)qn?1,所以Sn?(a?1)qn?1an?aan, ① an⑵因为

所以Sn?1?(a?1)qnan?1?aan?1, ②

②-①,得(a?1)(1?qn)an?1?[a?(a?1)qn?1]an, ③

11

(ⅰ)充分性:因为q?1?1,所以a?0,q?1,a?1?aq,代入③式,得 aq(1?qn)an?1?(1?qn)an,因为q??1,又q?1,

所以

an?11?,n?N*,所以?an?为等比数列, anq(ⅱ)必要性:设?an?的公比为q0,则由③得(a?1)(1?qn)q0?a?(a?1)qn?1,

1整理得?a?1?q0?a??a?1?(q0?)qn,

q此式为关于n的恒等式,若q?1,则左边?0,右边??1,矛盾;

）q0?a,?(a?1?1若q??1,当且仅当?1时成立,所以q?1?.

）q0?(a?1)a?(a?1q?1由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{an}为等比数列的充要条件为q=1+

a20（．江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知各项均为正数的数列?an?2前n项的和为Sn,数列an的前n项的和为Tn,且

???Sn?2?2?3Tn?4,n?N*.

⑴证明数列?an?是等比数列,并写出通项公式; ⑵若Sn2??Tn?0对n?N恒成立,求?的最小值; ⑶若an,2xan?1,2yan?2成等差数列,求正整数x,y的值.

【答案】(1)因为(Sn?2)2?3Tn?4,其中Sn是数列{an}的前n项和,Tn是数列{an}的

2*前n项和,且an?0,

当n?1时,由(a1?2)2?3a12?4,解得a1?1, 当n?2时,由(1?a2?2)2?3(1?a22)?4,解得a2?221; 4分 2由(Sn?2)?3Tn?4,知(Sn?1?2)?3Tn?1?4,两式相减得

2(Sn?1?Sn)(Sn?1?Sn?4)?3an?1?0,即(Sn?1?Sn?4)?3an?1?0,

亦即2Sn?1?Sn?2,从而2Sn?Sn?1?2,(n≥2),再次相减得

12

1a11an?1?an,(n≥2),又a2?a1,所以n?1?,(n≥1)

an222所以数列{an}是首项为1,公比为其通项公式为an?1的等比数列, 212n?1 n?N*

nn?1?1??1???1???n??1?n?2?4??1??4????2?1????,Tn?(2)由(1)可得Sn???1????,

113???4??????2???1?1?42若Sn??Tn?0对n?N恒成立,

2*S只需??nTn2?1?1???62*对n?N恒成立, ?3??n?3?n2?1?1?1????2?n因为3?6?3对n?N*恒成立,所以?≥3,即?的最小值为3; n2?1xy2x2y(3)若an,2an?1,2an?2成等差数列,其中x,y为正整数,则n?1,n,n?1成等差数

2221列,

整理得2?1?2xy?2,

当y?2时,等式右边为大于2的奇数,等式左边是偶数或1,等式不能成立, 所以满足条件的x,y值为x?1,y?2

21．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知数列

?an?中,a1?2,a2?3,其前n项和Sn满足Sn?1?Sn?1?2Sn?1,其中n≥2,n?N*. (1)求证;数列?an?为等差数列,并求其通项公式;

(2)设bn?an?2?n,Tn为数列?bn?的前n项和,求使Tn>2的n的取值范围.

(3)设cn?4n?(?1)n?1??2n(?为非零整数,n?N*),试确定?的值,使得对任意

an?N*,都有cn?1?cn成立.

【答案】解:(1)由已知,

?Sn?1?Sn???Sn?Sn?1??1(n≥2,n?N*),

13

即an?1?an?1(n≥2,n?N*),且a2?a1?1. ∴数列?an?是以a1?2为首项,公差为1的等差数列. ∴an?n?1

(2) ∵an?n?1,∴bn?(n?1)?1 2n1111?Tn?2??3?2?L?n?n?1?(n?1)?n...........(1)2222

11111Tn?2?2?3?3?????n?n?(n?1)n?1..........(2)2222211111(1)?(2)得：Tn?1?2?3?L?n?(n?1)?n?1

22222n?3∴ Tn ?3?n

2n?3n?3代入不等式得:3?n?2，即n?1?0

22n?3n?2设f(n)??1,则f(n?1)?f(n)???0

2n2n?1∴f(n)在N?上单调递减, ∵f(1)?1?0,f(2)?11?0,f(3)???0, 44∴当n=1,n=2时,f(n)?0,当n≥3时，f(n)?0, 所以n的取值范围.为

n≥3,且n?N?

(3)Qan?n?1,?cn?4n?(?1)n?1?2n?1,要使cn?1?cn恒成立, 即cn?1?cn?4n?1?4n?(?1)n?2n?2?(?1)n?1?2n?1?0恒成立,

?3?4n?3(?1)n?1?2n?1?0恒成立,∴(?1)n?1??2n?1恒成立,

(i)当n为奇数时,即??2n?1恒成立,当且仅当n?1时,2n?1n?1有最小值为1,???1.

n?1(ii)当n为偶数时,即???2恒成立,当且仅当n?2时,?2有最大值?2,

????2.即?2???1,又?为非零整数,则???1

?综上所述:存在???1,使得对任意的n?N,都有cn?1?cn

22．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知等差数列{an}的首项a1为a(a?R,a?0).

14

设数列的前n项和为Sn ,且对任意正整数n都有

a2n4n?1. ?an2n?1(1) 求数列{an}的通项公式及Sn ;

(2) 是否存在正整数n和k,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.

【答案】

23．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.设{an}是首项为a,公差为d的等差数列

(d?0),Sn是其前n项和.记bn?nSn*,n?N,其中c为实数. 2n?c(1)若c?0,且b1，b2，b4成等比数列,证明:Snk?n2Sk(k,n?N*); (2)若{bn}是等差数列,证明:c?0.

【答案】本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化

能力及推理论证能力.

证明:∵{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d?0),Sn是其前n项和 ∴Sn?na?n(n?1)d 2(1)∵c?0 ∴bn?Snn?1?a?d n215

123d)?a(a?d) 22112111∴ad?d?0 ∴d(a?d)?0 ∵d?0 ∴a?d ∴d?2a 24222n(n?1)n(n?1)d?na?2a?n2a ∴Sn?na?22∵b1，b2，b4成等比数列 ∴b2?b1b4 ∴(a?2∴左边=Snk?(nk)2a?n2k2a 右边=n2Sk?n2k2a ∴左边=右边∴原式成立

(2)∵{bn}是等差数列∴设公差为d1,∴bn?b1?(n?1)d1带入bn?nSn得: 2n?cb1?(n?1)d1??nSn1132(d?d)n?(b?d?a?d)n?cd1n?c(d1?b1) ∴111222n?c对n?N恒成立

1?d??12d?0??b?d?a?1d?0∴?1 12??cd1?0?c(d?b)?0?11由①式得:d1?1d ∵ d?0 ∴ d1?0 2证

:(1)

若

,

则

由③式得:c?0 法二:

c?0n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a,bn?. an?a?(n?1)d,Sn?222当b1，b2，b4成等比数列,b2?b1b4,

d?3d???2即:?a???a?a??,得:d?2ad,又d?0,故d?2a.

2?2???由此:Sn?n2a,Snk?(nk)2a?n2k2a,n2Sk?n2k2a. 故:Snk?n2Sk(k,n?N*).

2(n?1)d?2anS2(2)bn?2n?, 2n?cn?c(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2an2?c?c222 ?2n?cn2

16

(n?1)d?2a(n?1)d?2a2. (※) ??22n?cc若{bn}是等差数列,则bn?An?Bn型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a2c?0故有:,即,而≠0, ?0222n?c故c?0.

c经检验,当c?0时{bn}是等差数列.

24．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知等差数列

?an?的前n项和

为Sn,公差d?0,且S3?S5?50,a1,a4,a13成等比数列. (Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)设?

【答案】解:(Ⅰ)依题意得

?bn??是首项为1,公比为3的等比数列,求数列?bn?的前n项和Tn. a?n?3?24?5?d?5a1?d?50?3a1? 22??(a?3d)2?a(a?12d)11?1解得??a1?3,

?d?2?an?a1?(n?1)d?3?2(n?1)?2n?1，即an?2n?1

(Ⅱ)

bn?3n?1,bn?an?3n?1?(2n?1)?3n?1 anTn?3?5?3?7?32???(2n?1)?3n?1

3Tn?3?3?5?32?7?33???(2n?1)?3n?1?(2n?1)?3n

?2Tn?3?2?3?2?32???2?3n?1?(2n?1)3n

17

3(1?3n?1)?3?2??(2n?1)3n 1?3??2n?3n∴Tn?n?3n

25．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列{an}的前n项和为

Sn.

(Ⅰ)若数列{an}是等比数列,满足2a1列

?a3?3a2, a3?2是a2,a4的等差中项,求数

?an?的通项公式;

(Ⅱ)是否存在等差数列{an},使对任意n?N*都有an?Sn?2n2(n?1)?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)设等比数列

?an?的首项为a1,公比为q,

?a1(2?q2)?3a1q,(1)?2a1?a3?3a2,依题意,有?即?32a?a?2(a?2).43?2?a1(q?q)?2a1q?4.(2)由 (1)得 q?3q?2?0,解得q?1或q2?2.

当q当q?1时,不合题意舍;

?2时,代入(2)得a1?2,所以,an?2?2n?1?2n

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为d,则 方法1: [a1?(n?1)d][a1n?n(n?1)d]?2n2(n?1),得 2d22331n?(a1d?d2)n?(a12?a1d?d2)?2n2?2n对n?N*恒成立, 2222?d2?2?2,??32则?a1d?d?2,

2?12?23a?ad?d?0,?1212?解得?

?d?2,?d??2,或?此时an?2n,或an??2n.

?a1?2,?a1??2.18

故存在等差数列{an},使对任意n?N*都有an?Sn?2n2(n?1).其中an?2n, 或an??2n

方法2:令n?1,a12?4,得a1??2,

2令n?2,得a2?a1?a2?24?0,

①当a1?2时,得a2?4或a2??6,

若a2?4,则d?2,an?2n,Sn?n(n?1),对任意n?N*都有

an?Sn?2n2(n?1);

若a2??6,则d??8,a3??14,S3??18,不满足a3?S3?2?32?(3?1). ②当a1??2时,得a2??4或a2?6,

若a2??4,则d??2,an??2n,Sn??n(n?1),对任意n?N*都有

an?Sn?2n2(n?1);

若a2?6,则d?8,a3?14,S3?18,不满足a3?S3?2?32?(3?1).

综上所述,存在等差数列{an},使对任意n?N*都有an?Sn?2n2(n?1).其中

an?2n,或an??2n

26．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）

设数列?an?的前n项和为Sn,满足an?Sn?An2?Bn?1(A?0).

39,a2?,求证数列?an?n?是等比数列,并求数列?an?的通项公式; 24B?1(2)已知数列?an?是等差数列,求的值.

A(1)若a1?

【答案】

19

27．（2012年江苏理）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满

足:an?1?an?bnan?bn22,n?N*,

(1)设bn?1?bn??b??1?,n?N*,求证:数列??n?aan???n?2???是等差数列; ??(2)设bn?1?2?bn,n?N*,且{an}是等比数列,求a1和b1的值. an【答案】解:(1)∵bn?1?1?bnan?bn,∴an?1?=22anan?bnbn?1?b?1??n??an?2. 20

∴

bn?1an?12?2??bn??bn?1??bn???bn???bn??1???.∴ ???????1????????1?n?N*? .

aa?n??n?1??an???an???an???22222???bn???∴数列????是以1 为公差的等差数列.

a???n???(2)∵an>0，bn>0?a?bn?,∴n22?an2?bn2

2∴1

设等比数列{an}的公比为q,由an>0知q>0,下面用反证法证明q=1 若q>1,则a1=a22logq时,an?1?a1qn>2,与(﹡)矛盾. qa1a21>a2>1,∴当n>logq时,an?1?a1qn<1,与(﹡)矛盾. qa1若0

∴b1，b2，b3中至少有两项相同,与b1

∴bn=2??2??2?22?2?2?2=2. ?1∴ a1=b2=2.

21

∴

bn?1an?12?2??bn??bn?1??bn???bn???bn??1???.∴ ???????1????????1?n?N*? .

aa?n??n?1??an???an???an???22222???bn???∴数列????是以1 为公差的等差数列.

a???n???(2)∵an>0，bn>0?a?bn?,∴n22?an2?bn2

2∴1

设等比数列{an}的公比为q,由an>0知q>0,下面用反证法证明q=1 若q>1,则a1=a22logq时,an?1?a1qn>2,与(﹡)矛盾. qa1a21>a2>1,∴当n>logq时,an?1?a1qn<1,与(﹡)矛盾. qa1若0

∴b1，b2，b3中至少有两项相同,与b1

∴bn=2??2??2?22?2?2?2=2. ?1∴ a1=b2=2.

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