小波分析理论及实际应用举例

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1 小波变换

合肥工业大学理学院二零零七年秋季

第1讲数学预备

1.1 线性空间

三维向量空间R 3中的点可以用从原点指向该点的向量来表示。

1.1.1 定义集合E 称为一个实(复)线性空间，如果在E 上定义了两种运算：一个是“+”法，使得对E 中的x 、y 和z ，都有

（1） x + y = y + x;

（2） x + (y + z) = (x + y) + z;

（3） E 存在零元素θ，即θ + x = x;

（4）每个E 的元素x 有逆元素-x ，使x + (-x) = θ；

另一个是数乘，使得对E 中的x 、y 和实(复)数α、β，都有

（1） α(βx) = (αβ)x;

（2） 1x = x, 0x = θ;

（3） (α + β)x = αx + βx;

（4） α(x + y) = αx + βy.

例如：设R n 为n 维实向数的全体，按通常的向量加法和数乘构成线性空间。例如，有界数列的全体组成的空间l ∞ ={x: sup i |x i | < ∞, x = (x 1, x 2, …)}，按类似通常的向量加法和数乘构成线性空间。

例如：设C[a,b]为[a,b]上所有连续函数的全体，按通常的函数运算定义加法和数乘构成线性空间。

例如：L p [a,b]，p>1，为[a,b]上所有p 可积函数的全体，即满足∞

a p dt t x |)(|。可以根据

下列公式，证明L p [a,b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间。

1.1.2 H ?lder 不等式

设1/p + 1/q = 1, p>1,x(t)属于L p [a,b], 和y(t)属于L q [a,b]。则x(t)y(t)属于L[a,b]，且

b a q p b a p b a dt t y dt t x dt t y t x /1/1|)(||)(||)()(|??? ????? ??≤???

证明：可以假设不等式的右边的两个因子都不等于零。否则，x(t)或y(t)几乎处处等于零，从而不等式的左边也几乎处处为零，显然不等式成立。1/p + 1/q = 1意味着p + q = pq ，(p-1)(q-1)=1。令y = x p-1，那么x = y 1/(p-1) = y q-1。假设A > 0, B

p B q A p B A q

A p dy y dx x xdy ydx A

B 11010100+=+=+≤????--p-1

令p

a p dt x t x t A /1||)

()(??? ??=

?，q

a q dt y t y t B /1||)

()(?

?? ??=

?。

那么

1)(=?

p dt t A 和1)(=?b

q dt t B 。

由于q p t B q t A p t B t A )(1)(1)()(+≤

，两边积分后，11

1)()(=+≤?q

p dt t B t A b a （此式称为

Young 不等式）。代入)()(t B t A 的表达式，即得证明。 1.1.3 Minkowski 不等式

设p ≥1,x(t)和y(t)属于L p [a,b]。则x(t)+y(t)属于L p [a,b]，且

a p p

a p dt t y dt t x dt t y t x /1/1/1|)(||)(||)()(|??

? ??+??

? ??≤?

? ??+???

证明：p = 1显然。设p > 1。

(x+y)p ≤ (2max{|x|, |y|})p ≤ 2p (|x|p + |y|p )，所以x+y 属于L p [a,b].

因为(x+y)p 属于L[a,b]，所以(x+y)p/q 属于L q [a,b]。应用H ?lder 不等式，得到

????+++≤++=+b

p b a

q p b a

p dt y x y dt y x x dt y x y x dt y x ///|||||||||||||| q

a p p

a p q

a p p

b a p dt y x dt y dt y x dt x /1/1/1/1||||||||?

? ??+??

? ??+?

? ??+??

? ??≤????

b a p p b a p p b a p dt y x dt y dt x /1/1/1||||||??? ??+???

? ????? ??+??? ??=???，因此，

a p p

a p q

a p p

a p dt y dt x dt y x dt y x /1/1/11/1||||||||??

? ??+??

? ??≤??

? ??+=?

? ??+????-.

根据Minkovski 不等式，L p [a,b]，p ≥ 1，按通常的函数的加法和数乘构成线性空间。 1.1.4

级数形式的H ?lder 不等式和Minkowski 不等式

记l p

，p ≥ 1，为满足

∞<∑∞

k p

k x [a,b]上所有数列x = (x 1,x 2,x 3,…)的全体。特别记l 1为 l 。

设数p > 1和数q 满足1/p + 1/q = 1。设x 属于l p 和y 属于l q 。则xy 属于l ，且

k q k p

k p k k k k y x y x /11/111??

????

??≤∑∑∑∞=∞=∞

事实上，当上式右边等于零时，数列x 或者数列y 等于零数列，所以左边也等于零，即上述不等式成立。因此，可以设右边的两个因子都不等于零。所以有n 使得

>∑=n

k p

x 和

>∑

k q

k y 。取p

i p i k

k x x A /11||??

? ??=

∑=和q

i q i k

k y y B /11||??

??=

∑=，根据Young 不等式，有

∑∑∑∑====+≤??

????

??n i q i

n i p

q n

i q i p

i p i k

k y x q

x x p

y x y x 1

/11/11|

|1|

||||，

所以，

1|||||

|/11/111

=+≤

? ????

? ??∑∑∑===q

p y x y

x q

i q i p n

i p

i n

k k

即

i q i p

i p i q

n i q i p

n i p i

k k k y x y x y x /11/11/11/111||||||||??

????

??≤??

????

? ??≤∑∑∑∑∑∞=∞====，

因为此式右边是一个数或无穷大，且对任何n 成立，所以让左边的n 趋向无穷大时不等式仍

成立：

i q i p

i p i

k k k y x y x /11/111||||??

????

? ??≤∑∑∑∞=∞=∞

=。

类似于积分形式的Minkowski 不等式，可以证明：设数p ≥ 1，x 和y 属于l p 。则x+y 属于l ，

且

k p k p

k p k k y x y x /11/11/11??

??+??

??≤??

? ??+∑∑∑∞=∞=∞=

根据Minkovski 不等式，l p ，p ≥ 1，按通常的数列的加法和数乘构成线性空间。

1.2 距离空间

1.2.1 定义设X 表示一个非空集合。如果对于X 中的任何两个元素x 和y, 都有一个实数

ρ(x,y)与之相对应，而且满足以下三条性质：（距离公理）（1）ρ(x,y) ≥ 0，当且仅当x = y 时等号成立；（正定性）（2）ρ(x,y) = ρ(y,x);（对称性）

（3）对于X 中的任何三个元素x 、y 和z, 成立ρ(x,z) ≤ ρ(x,y) + ρ(y,z),（三角不等式）则称ρ(x,y)为x 和y 间的距离，称X 为距离空间，记为（X ，ρ）。距离空间中的元素称为点。

距离实际上是一个映射ρ：X ?X →R +

例子例如：设X=R ，即实数的全体。距离ρ:R ?R →R 定义为

||),(y x y x -=ρ。

满足距离公理。其中，我们利用了绝对值的三角不等式：|x - z| ≤ |x - y| + |y - z| 在同一个集合R 上，距离又可以定义为

4 |

|1||),(y x y x y x -+-=ρ。可以证明它也满足距离公理。事实上，正定性和对称性是显然的；由于函数t/(1+t)当t ≥ 0时是单调增加的，又由于绝对值的三角不等式，所以

||||1||||||1||||||1||||||1||),(z y y x z y z y y x y x z y y x z y y x z x z x z x -+-+-+-+-+-=-+-+-+-≤-+-=ρ ),(),(|

|1||||1||z y y x z y z y y x y x ρρ+=-+-+-+-≤. 这个距离的大小是有界的。一般地，在集合R n 上定义距离是∑=-=n i i i y x

y x 1||),(ρ，其中

),,...,,(21n x x x x =，容易证明它满足距离公理。

例如：设C[a,b]的距离是|)()(|max ),(t y t x y x b t a -=≤≤ρ，满足距离公理。

例如：设L p [a,b]（p>1）的距离是p b a p dt t y t x y x /1|)()(|),(??? ??-=?ρ，满足距离公理。

但是，距离空间不必是附加上距离的线性空间。

1.2.2 定义设（X ，ρ）是距离空间，x 1,x 2,…,是X 中的点列，x ∈X 。如果当n →∞时ρ(x n ,x) →0，那么称点列{x n }按距离ρ收敛于x 。x 为x n 的极限。记为

x x n n =→∞lim 或 x n →x, n →∞。

“当n →∞时ρ(x n ,x) →0”的含义是：对任意给定的ε > 0，总存在着数N ，使得对所有的n > N ，ρ(x n ,x) < ε。注意：由于ε是任意的，所以ρ(x n ,x) →0。点列的极限定义并没有给出求极限的方法。

完备性

极限的定义并没有给出极限的求法。在工程上的一种实用的方法是依此计算点列x 1, x 2, x 3,…,x n ，并逐次计算ρ(x n ,x n-1)，如果ρ(x n ,x n-1)不大于某个事先给定的误差ε > 0，则计算停止，而且用x n 作为极限的近似值。这样的作法有其根据，也有不足之处。现在我们从数学的角度来考虑这个问题。

1.2.5 定义设（X ，ρ）是距离空间，x 1,x 2,…,是X 中的点列。如果对任给的ε > 0，存在数N ，使得对所有的m, n > N ，ρ(x n ,x m ) < ε，那么称点列{x n }为基本点列，又叫作Cauchy 点列。例如方程x 2 = 2有有理数的近似解序列1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, …。容易看出这是一个基本点列。但是其极限点不是有理数。所以，在有理数范围内，这个序列是不收敛的。这说明基本点列未必是收敛的。但是，可以证明：距离空间中收敛点列一定是Cauchy 点列。事实上，当n →∞时ρ(x n ,x) →0，即对任给的ε > 0，存在数N ，使得对所有的n > N ，ρ(x n ,x) < ε/2。当m >N 时ρ(x m ,x) < ε/2。因此，ρ(x n ,x m ) ≤ ρ(x n ,x)+ ρ(x,x m ) < ε。基本点列是否收敛的问题与距离空间的定义有关系。

5 1.2.

6 定义若距离空间X 中的任何Cauchy 点列都收敛，则称X 为完备的距离空间。

例如：按通常的距离，实数的Cauchy 点列都收敛于某个实数。

例如：设C[a,b]按距离 |)()(|max ),(t y t x y x b t a -=≤≤ρ构成完备的距离空间。事实上，设{x n (t)}是C[a,b]的Cauchy 序列，即

0|)()(|max ),(→-=≤≤t x t x x x m n b t a m n ρ。

因此，在每一点固定的t 处数列{x n (t)}是Cauchy 实数序列，收敛于一个实数x(t)，这样就在每一个t 处定义了一个函数。根据连续函数一致收敛的性质，函数x(t)也是t 的连续函数，即x ∈C[a,b]。

1.3 赋范线性空间

1.3.1 定义设X 为实（或复）线性空间。若对任意一个x ∈X ，都有一个非负实数||x||与之对应，且满足

（1）||x|| = 0当且仅当x=0;

（2）||αx|| = |α| ||x||, α∈K, K 为实(或复)域, x, y ∈X;

（3）||x+y||≤||x|| + ||y||, x,y ∈X.

则称||x||为x 的范数，称X 为赋范线性空间。

任何赋范线性空间都是距离空间。事实上，定义ρ(x,y) = ||x-y||, x,y ∈X, 则（X ，ρ）是距离空间。反过来，距离空间X 未必是线性空间；即使是线性的距离空间，距离需要满足

（1） ρ(x,y) = ρ(x-y ，0)；

（2） ρ(αx,0) = |α|ρ(x,0)。

此时，用||x|| = ρ(x,0)定义范数。实际上，||x|| = ρ(x, 0)满足距离定义的（1）和（2）。而且， ||x+y|| = ρ(x+y, 0) = ρ(x, -y) ≤ ρ(x, 0) + ρ(0, -y) = ρ(x, 0) + ρ(-y, 0) = ||x|| + ||y||.

例如，R n , C[a,b]和L p [a,b]上的距离都满足性质（1）和（2）。因此，可以定义范数： R n 的范数

2/121||||||???? ??=∑=n i i x x 或 ||sup ||||i i x x =

C[a,b]的范数|)(|max ||||t x x b t a ≤≤=。

L p [a,b]（p>1）的范数p b a p dt t x x /1|)(|||||??? ??=?。

1.3.2 定义若赋范线性空间X 按距离ρ(x,y) = ||x-y||, x,y ∈X,是完备的距离空间，则称X 是Banach 空间。

1.4 Hilbert 空间

1.4.1 定义设X 为实（或复）K 上的线性空间。若对任意x, y ∈X ，都有唯一的数(x, y) ∈K 与之对应，且满足

（1）),,(),(),(y z y x y z x +=+ z ∈X;

6 （2）),(),(y x y x αα=, α∈K;

（3）),(),(x y y x =;

（4）0),(≥x x ，且00),(=?=x x x 。

则称),(y x 为x ，y 的内积，称X 为内积空间。特别地， ),(),(),(),(y x a x y a x ay ay x ===，

),(),(),(y z x z y x z +===+，

例如，定义,),(1∑==n

i i

i y x y x ，x, y ∈R n 。则(x,y)定义了内积空间R n

上的内积。例如，定义?=

b a dt t y t x y x )()(),(，x, y ∈L 2[a,b]。则(x,y)定义了内积空间L 2[a,b]上的内积。例如，定义,),(1∑∞

==i i

i y x y x ，x, y ∈l 2。则(x,y)定义了内积空间l 2

上的内积。 1.4.2 性质定义),(||||x x x =。则||x||构成赋范线性空间X 的范数。事实上，（4）表明||x||满足范数的正定性条件。（2）表明||x||满足范数的正齐性条件。为了证明三角不等式，先证 Cauchy 不等式|||||||||),(|y x y x ?≤。

首先，当y=0时由于00)0,(====x ，这个不等式是成立的。其次，假设||y||=1。

()()

22),()

,(),(),(),(),(),()),(,(),(),(),(),(),()

),(,),(()),(,()

),(,),((0y x x y x x y y x y x y x x x y y x y x y y x y x y x x x y y x x y y x y y x x x y y x x y y x x -=---=---=---=--≤ 即x y x ≤),(。最后，对于一般的非零的y ， x y y

y x y y y y x y x ?≤==),(),(),(。这就证明了Cauchy 不等式。因此，

7 ()y

x y x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y x y x ++=+?++?≤+++≤+++=++=+|),(||),(||

),(),(||),(|2 这蕴涵着y x y x +≤+。所以，?是一个范数。例如，?=b

a dt t y t x y x )()(),(，x, y ∈L 2[a,b]，容易验证这是一个内积空间L 2[a,b]上的内积。

根据Cauchy 不等式，y x y x ?≤|),(|，即

???=≤=b a b a b

a dt t y dt t x y x y x dt t y t x 22|)(||)(|||||||||),()()(

这相当于证明了p = 2时的H ?lder 不等式。

1.4.7 Hilbert 空间按范数),(||||x x x =完备的内积空间称为Hilbert 空间。

正交分解与投影定理

1.4.8 定义设U 为内积空间。

（1）若x,y ∈U 使得(x,y)=0，则称x 与y 正交。记为x ⊥y 。

（2）若x ∈U ，M ?U 使得y ∈M 蕴涵了(x,y)=0，则称x 与M 正交, 记为x ⊥M 。

（3）若M ，N ?U 使得x ∈M 和y ∈N 蕴涵了(x,y)=0，则称M 与N 正交，记为M ⊥N 。。

（4）若M ?U 。U 中与M 正交的所有元素的全体称为M 的正交补，记M ⊥。注意M ?M ⊥={0}不是空集，即元素既可以属于M 又可以属于M ⊥。

（5）设M 是U 的线性子空间和x ∈U 。如果存在着x 0∈M 和x 1∈M ⊥使得x = x 0 + x 1,则称x 0为x 在M 上的投影，称x = x 0 + x 1为x 关于M 的正交分解。

1.4.9 勾股定理设U 为内积空间。若x,y ∈U 使得x ⊥y ，则||x+y||2 = ||x||2 + ||y||

2. 证明：2

22|||||||||),(),(),(),(||),(|||||y x y y x y y x x x y x y x y x +=+++=++=+

1.4.10 性质设U 为内积空间，x ∈U 和L 是一个U 中稠密子集。若x ⊥L ，则x=0。

1.4.11 性质设U 为内积空间和M ?U ，则M ⊥是U 中的闭线性子空间。

1.4.12 变分原理设M 是U 的线性子空间和x ∈U 。若x 0为x 在M 上的投影，则 ||||inf ||||0y x x x M

y -=-∈。证明：2020202002||||||||||||||||||||x x y x x x y x x x y x -≥-+-=-+-=-，再对所有的y 取下确界。

1.4.13 投影定理设M 是Hilbert 空间H 的闭子空间，则对任何的x ∈H 。必存在唯一的x 0∈M ，

x 1∈M ⊥使得x = x 0 + x 1。

1.4.14 最佳逼近元的一般提法

设x 1,x 2,…,x n 是内积空间U 中的n 个线性无关元。令M=span{x 1,x 2,…,x n }。对U 中的任一元素x ，求出一组数*1*1*

1,...,,a a a ，使得||||inf ||||1,...,1*21∑∑==-=-n

i i i a a a n i i

x a x x a x n i 。

8 解法：设∑==n i i i x a x 1

0为最佳逼近元。根据性质1.4.12，x 0

-x ⊥M 。 0,1*=??? ??-∑=j n i i i x x x a ，()j j n i i i x x x x a ,,1*=??

? ??∑=， ??????

? ??=??????? ????????? ??),(.),(),(.),(.),(),(....),(.)

,(),(),(.),(),(21**2*1212222111211n n n n n n n n x x x x x x a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x 对i = 1, 2, …, n ，有

第j 列

1212222111211122211111*

),(.),(),(....)

,(.),(),(),(.),(),(),(.),()...,(....

),(.),()...,(),(.),()...

,(-=n n n n n n n n n n n n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a

令误差0x x -=δ。因为⊥∈-∈M x x M x 00,，所以，0),(00=-x x x 。 202202||||||||||||||||x x x +=+=δδ，

2022||||||||||||x x -=δ。

Hilbert 空间中的Fourier 分析

1.4.15 定义若在Hilbert 空间中有一组两两正交的非零元素x 1, x 2, x 3, …，则称它们为正交系。进一步，如果其中每个元素的范数都是一，那么称它们为规范正交系。

例如，l 2中的元素组

e 1=(1,0,0,0,…), e 2=(0,1,0,0,…), e 3=(0,0,1,0,…), …

是规范正交系。

例如，],[2ππ-L 中定义内积?-=π

πfgdt g f ),(，则它的一个规范正交系是 ,...sin 1,cos 1,...,sin 1,cos 1,21nt nt t t π

ππππ 例如，]2,0[2

πL 中定义内积?=π

π201),(fgdt g f ，则它的一个规范正交系是

,...sin ,cos ,...,sin ,cos ,2

1nt nt t t 1.4.16 性质设{e 1, e 2, e 3, …e n }是Hilbert 空间的一个规范正交系。则x 在e 1, e 2, e 3, …e n 的线性组合所生成的子空间M 的投影是∑==

n i i i e e x x 10),(，且∑==n i i e x x 1220|),(|||||。

9 证明：显然，x 0在M 中。因为),(),)(,(,),(),(1

10k n

i k i i n i k i i k e x e e e x e e e x e x ==??? ??=∑∑==，所以0),(0=-i e x x 。因此x-x 0⊥e i ，得到x-x 0⊥M 和分解式x = x 0+(x-x 0). ∑∑====n

i i n i i i e x e e x x 122

120|),(|||),(||||||。 1.4.17 Bessel 不等式设{e 1, e 2, e 3, …e n }是Hilbert 空间H 的一个规范正交系。则对任一x ∈H ，212|||||),(|x e x n i i

≤∑=。

证明：2020202||||||||||||||||x x x x x ≥-+=

1.4.8 R n 上的Fourier 变换假设)()(2n R L t f ∈，R n 上的f (t )的傅立叶变换定义为 dt e t f f it R n ??-=ωω)()(F 。

ωωπωd e f f t f it R n n ??==)()2(1})(F {F F 1- 1.4.9 Plancherel 定理：设f , g ∈L 2(R n ). 则有下列等式。

（1）),()2(1)()(),(g f dt t g t f g f n R F F π=

=? （2）).,(),(-1g f g f F

F = （3）???=?gdx f gdx f n n R R F F

特别在实数域R 上的傅立叶变换的傅立叶变换是

?-=R it dt e t f f ωω)()(?, ω ∈ R . 而傅立叶逆变换是?=R it d e f

t f ωωπω)(?21

)(, t ∈ R . 由Flancherel 定理，)?,?(21),(g f g f π=，即??=R R d g f dt t g t f ωωωπ)(?)(?21)()(。定义设f (t )∈L 2(R )。f f f ==--F F FF 11，其中，

[]?

-==R t i dt e t f t f f ωωω)()()()(?F 称为f 的Fourier 变换。 ?=-R

t i d e g g ωωωω)()(1F 称为g 的Fourier 逆变换。那么，[]?==-R

t i d e f t f t f ωωω)(?)()(1F F . Fourier 积分的性质：

10 （1）对称性[][]())()()()(ωω-=-t f t f F F

（2）线性[]g f g f F F F βαβα+=+

（3）平移性质[][]())()()()(ωωωt f e

a t f a i F F -=- （4）伸缩性质[][])()(1)()(a t f a at f ωωF F =

（5）微分性质[][])()(t f i t f F F ω='

（6）乘积定理??=R

R d g f dt t g t f ωωωπ)()(21

)()(F F 定义()?-=*=*R dt t x g t f x g f x g f )()()()(为f 和g 的卷积。

（7）卷积性质。[])()()(ωωωg f g f F F F ?=*和[])()(ωωg f fg F F F *=

假设f(t)的支集是[0,2π]，即集合{t:f(t) ≠ 0}的闭包。

1.4.10 离散的傅里叶变换（DFT ）和快速傅里叶变换（FFT ）

首先我们推导傅里叶变换和逆变换的离散形式。一个函数)(x f 的傅里叶变换和逆变换分别定义为

?-=R itu dt e t f u F π2)()(, u ∈ R ；

?=R

itu du e u F t f π2)()(, t ∈ R . 为了计算傅里叶变换式，对函数)(t f 从t = 0开始每隔?x 采样，共采集N 个样，即让t = x ?x ，x = 0,1,…,N-1。相应地令u = ω?ω，和ω = 0,1,…,N-1。根据采样理论，应取?ω = 1/(N ?x)，那么，?x ?ω = 1/N ，傅里叶变换及其逆变换可以分别写成

∑∑-=--=??-??=??=?10

/210))((2)()()(N x N ix N x x x i x e x x f x e

x x f F ωπωωπωω，（1）

∑∑-=-=????=??=?10/210))((2)()()(N N ix N x x i e F e

F x x f ωωπωωωπωωωωωω。（2）

用?ω乘以（1）的两边，并注意到?x ?ω = 1/N ，我们有 ∑∑-=--=-?=???=??10/210/2)(1)()(N x N ix N x N ix e

x x f N x e

x x f F ωπωπωωωω。（3）

在（2）和（3）中，简记ωωω??)(F 和)(x x f ?分别为)(ωF 和)(x f ，那么，（3）和（2）分别可以写成：

11 ∑-=-=10/2)(1)(N x N ixu e

x f N F πω 和 ∑-==1

0/2)()(N N ix e F x f ωωπω。这就是离散形式的傅里叶变换及其逆变换。令)/2ex p(N i W N π-=，则 .1,...,1,0,)(1)(10-==∑-=N W x f N

F N x x N ωωω .1,...,1,0,)()(10

-==∑-=-N x W F x f N x N ωωω

在已知W N 的条件下，计算每一个F(ω)至少需要作N 次乘法和一次除法，计算所有的F(ω)共需要作不少于N 2次乘法。

其次，我们推导快速傅里叶变换公式。假设N 是2的幂，即N = 2n 。记N = 2M 。容易看出W N 有“折半”的性质：

x M

x M x N W M x i M x i W W ωωωπωωπ=-=-==]/2ex p[)]2/(22ex p[222。利用这些公式和性质，得到

.)12()2(21)12()2(21)12()2(21)(21)(21

)(21)(1)(1021010222102210)12(2102222120210??

????++=??

????++=+===∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=+-=-=-=M x M x M M x x M M x M x M M x x M M x x M M x x M odd x M even x M M x x M N x x N W W x f W x f M W W x f W x f M W x f W x f M W x f M W x f M W x f M W x f N

F ωωωωωωωωω

ωωωω 定义

∑-==10)2(1)(M x x M even W x f M

F ωω， ω = 0,1,…,M -1. ∑-=+=10)12(1)(M x x M odd W x f M

F ωω, ω = 0,1,…,M -1. 则 []ωωωωM odd even W F F F 2)()(21)(+=, ω = 0,1,…,M -1. （4）我们还需要计算)(ωF 在ω = M,M+1,…,N -1处的值。为此，注意到

ωωωωM M M M M M W W W W 22,-==++，

12 因此， [][],)()(21)()(21)(22ωωωωωωωM odd even M M odd even W F F W M F M F M F -=+-+=++ （5）

其中，ω = 0,1,…,M -1。根据上面分析，我们只需要在M 个点ω = 0,1,…,M -1处分别求出)(ωeven F 和)(ωodd F 的值，并且每次用ωM W 2乘以)(ωodd F ，就可以用上面的公式(4)和(5)来计算)(ωF 在2M 个点ω = 0,1,…,2M -1处的值。公式(4)和(5)就是一维的快速傅里叶变换公式。

最后，我们证明FFT 算法的时间复杂性是Θ(N log N )。设计算一个有N 个点的FFT 算法的时间复杂性是T(N )。根据以上的公式，一个有N 个点的FFT 运算分成两个各有N /2点的FFT 运算，并且，其中的一个每次要与ω

M W 2作一次乘法，共有Θ(N )次乘法，所以，

T(N ) = 2T(N /2) + Θ(N )。

依此可得

T(N ) = T(2n ) = 2T(2n-1) + Θ(2n ) = 22T(2n-2) + 2Θ(2n ) = …= n Θ(2n ) = Θ(N log N )。第二讲连续小波变换

2.2 连续小波的定义

2.1.1 定义设f (t ), ψ(t ) ∈ L 2(R )，即从数域K 到数域K 的平方可积函数，而且满足容许条件:

∞<≡?

R d C ωωωψψ2|)(?|, 则称?-R dt a

b t t f a )()(1

ψ，a,b ∈R ，a ≠ 0，是f (t )的连续小波变换，记为),(b a f W ψ，或),(b a Wf 。称ψ(t )为小波母函数，a 为尺度因子，b 为平移因子。

记,()a b t b t a ψ-??=

???。

b a R

b a f dt t t f b a f W ,,,)()(),(ψψψ==?， a,b ∈R ，a ≠ 0. 上面是L 2(R)的内积。注意满足容许条件意味着：0)0(?=ψ，即0)(=?

R dt t ψ。我们知道，假设周期函数()f t 的周期是1，那么t b f a -?? ???

的周期是a 。因此， a 越大，频率越低。可见小波变换中的a 相当于周期的作用，b 相当于相位（时间位移）。

2.1.2 在上面的定义中的),(b a f W ψ是有意义的。事实上，

13 ()()∞<≤-???2/122

/12)()()()(1

R R R dt t f ds s dt a b t t f a ψψ。

在整个实轴上定义的一个变元的函数经过一元连续小波变换以后是在半平面上定义的两个变元的函数。注意：

()())()(?)()(1)(?/)()(,a sign e a a du e u e a sign a du e u a sign a dt e a b t a a ib R a iu ib R b au i R it b a ωωωωωωψ

ψψψωψ

---+--===??? ??-=???，其中，u = (t-b )/a .

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 例：在信号()sin(250)sin(2300)x t t t ππ=+加上噪音后，用FFT 进行分析。 % Fourier 分析

t=0:0.001:1.3;

x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);

f=x+3.5*randn(1,length(t));

subplot(321);plot(f);

Ylabel('幅值');

Xlabel('时间');

title('原始信号');

y=fft(f,1024); % DFT 有1024个采样点

p=y.*conj(y)/1024; % 计算功率谱密度');

ff=1000*(0:511)/1024; % 计算各点对应的频率值

subplot(322);plot(ff,p(1:512));

Ylabel('功率谱密度');

Xlabel('频率');

title('信号功率谱图

');

现在用连续小波变换来处理同样的信号。

% 连续小波变换

figure

% 用db3小波作母小波函数（如下图形），尺度a

分别为1, 1.2, 1.4, 1.6, …, 3.

coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','plot');

14 title('f 对不同的尺度的db3小波连续变换的系数值');

Ylabel('尺度'); Xlabel('时间');

figure

% 连续小波变换的三维图形

coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','3Dplot');

title('f 对不同的尺度的db3小波连续变换的系数值');

Ylabel('尺度');

Xlabel('时间');

下方左图是右图的俯视图。

2.1.3 性质由于连续小波变换是用内积定义的，而内积关于第一个变元是线性的，所以有连续小波有迭加性。以下假设f(t)是平方可积函数。

性质1（迭加性）设f(t)是平方可积函数，则

),(),(),)((2121b a Wg k b a Wf k b a g k f k W +=+

性质2（平移性）设f(t)是平方可积函数，则),)((),)((00t b a t Wf b a t t Wf -=- 证明：

),)(())(()(1)()(1),)((0000t b a t Wf dt a t b u u f a dt a b t t t f a b a t t Wf R R -=--=--=

-??ψψ

性质3（尺度法则）0),,)((1

),)((>=λλλλλb a t Wf b a t Wf 证明：??-=-=R R u d a b u u f a dt a b t t f a b a t Wf λλλψψλλ)(

)(1)()(1

),)(( ),)((1)()(11

b a t Wf du a b u u f a R λλλ

λλψλλ=-=? 性质4（乘法定理）设f(t), g(t)是平方可积函数，则

???

=R R R dt t g t f C db a da b a g W b a Wf )()(),(),(2ψ，其中?-=R d C ωωωψψ12|)(?|。

15 证明：由于 []

)()(?)(?2)

()(?)(?2)()(?),(?21),(,b a f a sign a d e a f a sign a f b a f W R ib b a ωψωπωωψωπωψωπ

ωF ===

?- [][][][].)(?)(?)(?2)(?)(?),(?)(?2)(?)(?,)(?)(?212)(?)(?2)(?)(?2),(),(2???====R R R d a g f a a f a g a a f a g a db a g a a f a db b a g W b a Wf ωωψωωπωψωωψωπ

ωψωωψωπ

πωψωπωψωπF F F F

g f C dt t t f C d g f

C d da a a g f a

da d a g f a da db b a g W b a Wf R

R R R R R R ,)()()(?)(?21)(?)(?)(?21)(?)(?)(?21),(),(222ψψψωωωπωωψωωπωωψωωπ===???? ??==????????∞∞- 性质5 在性质4中取f(t) = g(t)，则

???=R

R R dt t f C da db b a f W a 222|)(||),(|1ψψ。性质6（反演公式）设f(x)是平方可积函数，则

??-=R R b a dbda x b a f W a C x f )(),(1)(,21ψψψ。

证明：令)()(x t t g -=δ.

)()()()()(),(,,,x dt t x t dt t x t b a Wg b a R

b a R b a ψψδ=-=-=??, )

()()()()()()(),(),()

(),(22,x f C dt x t t f C dt x t t f C dt t g t f C db a da b a g W b a Wf db a da x b a Wf R R R R R R R b a ψψψψδδψ=-=-===???????

由此得证。

2.1.4设一个频率为100Hz 的波含有频率为±50Hz 的干扰，要求观察三个波长的时间和100±50Hz 的频率范围。但是，对于一个频率为104Hz 的波，容许的干扰频率范围应该大得多，例如±103Hz ，而由于波长较短，观察三个波长所需要的时间会短得多。从时间-频率窗口来看，时间和频率的乘积应该保持基本不变。连续小波变换具有自动保持时间和频率乘积

16 不变的特点。

定义设ψ(t)是小波函数，称为时窗中心2,2,*||)(||/|)(|t dt t t t b a R

b a ψψ?=，为时窗半径||)(||/)|)(|)((,2/12,2*t dt t t t t b a R

b a ψψ?-=?，为频窗中心2,2,*||)(?||/|)(?|ωψωωψωωb a R

b a d ?=，为频窗半径||)(?||/)|)(?|)((,2/12,2*ωψωωψωωωb a R

b a d ?-=?。其中，||?||是L 2(R)的范数。显然，*ψt 和ψt ?分别是|ψ|2的一阶矩和二阶中心矩。而*ψω和ψω?是ψ的Fourier 变换的模平方的一阶矩和二阶中心矩。

2.1.5 定理乘积ω???22t 是一个不依赖于a 和b 的常数。证明：事实上，b a ,ψ与ψ有相同的L 2范数：

222

2,2,||||)()(1)(||||ψψψψψ==-==???R R R b a b a dt t dt a b t a dt t 。 ()

||||)(||||1)()(||||1)(||||1||)(||/|)(|*22222222,2,*b at b du u u a du u b au dt a

b t a t t dt t t t R R R b a R b a +=+=+=-==????ψψψψψψψψψψ

()

)()(||||1)()(||||1

)(*)(||||1||

)(||/)|)(|)((2/122

*22

/122*

/12

2,2/12,2*ψψψψψψψψψψψt a du u t u a du a b

t a b at t dt a b t a t t t dt t t t t R R

R b a R

b a ?=-=???

?????---=???

?????--=-=?????

其中，*

ψt 和ψt ?是与ψ有关的不依赖于a 和b 的数量。类似地，

,2,||?||)()(?||?||ψ

ωωψψψ

===??R

b a b a d a a dt t ， ,1)(||||1

)(||?||1

||?||/|)(?|*

22,2,*ψωωωψωψω

ψωψ

ψωωψ

ωωa

d a d aw a d a R R

b a R

b a ====??

[]

)(?)(||||11)(?)(1

||||1

)(?)1(||?||1||?||/)|)(?|)((2

/12

*222

/122*,2/12,2*ψψ

ψψωωωψωωψωωψωωψωωψωωψψωωψ

ωωω?=-=

????-=??????-=-=?????a

d a d a a a a d a a a d R

R R b a R

b a 其中，*

ψω和ψω?是与ψ有关的不依赖于a 和b 的数量。

()

)()(||||1)()(||||1

)(*)(||||1||

)(||/)|)(|)((2/122

*22

/122*

/12

2,2/12,2*ψψψψψψψψψψψt a du u t u a du a b

t a b at t dt a b t a t t t dt t t t t R R

R b a R

b a ?=-=???

?????---=???

?????--=-=?????

因此，ψψψψωωω???=???=???221

2222t a

t a t 。由于ψt ?和ψω?是不依赖于a 和b 的数量，所以，定理得证。

19 连续小波变换的信息含有很多的冗余，即连续小波变换的信息之间存在着较强的相关性。这是有利又有弊的事情。一方面，这种冗余可以通过离散化和正交化以减少计算量；另一方面，保留适当的冗余可以使计算的过程稳定和加速，还可以用来检测函数的连续性。

2.2 连续小波变换与函数的lder o

H 连续性 2.2.1 定理设0)0(?=ψ和?∞<+R dx x x |)(||)|1(ψ。如果有界函数f 是以指数α

)10(≤<α的lder o

H 连续的，即α|||)()(|y x c y f x f -≤-，其中，c 是常数，那么，它的连续小波变换f W ψ满足2/1|||),(|+'≤αψa c b a f W ，其中，c '是常数。

注：按lder o

H 连续的函数是连续函数，但未必是Lipschitz 连续的。证明：因为?==R dx x 0)0(?)(ψψ，所以，0)()(==-??R R du u a dx a

b x ψψ和 ????--=--=--=----R R R R dx b f x f a b x a dx a

b f a dx x f a b x a dx a

b x x f a b a f W ))()()((||)()(||)()(

||0)()(||),(2/12/12/12/1ψψψψψ， .

|||)(|||||)(

||),(2/12/1??+-≤--≤R R du u u a c dx b x a b x a c b a f W αααψψψ 但是，不等式右边的积分是收敛的，实际上， ()??????∞<+≤+≤+=>≤>≤R

u u u u R du u u du

u u du u du

u u du u u du u u ,|)(|||1|||)(||)(||||)(||||)(||||)(|1||1||1||1||ψψψψψψααα 因此，存在常数c '使得2/1|||),(|+'≤αψa c b a f W 。

其逆定理是

2.2.2 定理设ψ有紧支撑的，即{x: ψ(x) ≠ 0}的闭包是紧集。设f ∈ L 2(R)是有界和连续的。如果对于某个α∈(0,1)，f 的小波变换满足2/1|||),(|+≤αψa c b a f W ，那么，f 是具有指数α

的lder o

H 连续的。其实，在Fourier 变换满足条件?∞<+R d f

ωωωα|)(?|)||1(的假设下也能确定f 是在整个实轴上具有指数α的lder o

H 连续的。但是，小波函数还能进一步用于局部正则性的特征化。

2.2.3 引理如果]1,0(∈α，那么，α

αα||||||b a b a +≤+。

20 证明：事实上，

()αα

ααα||||||||||||||||||||||||||||||||1b a b a b a b b a a b a b b a a ++=???

? ??++???? ??+≤+++=，即()ααα||||||||b a b a +≤+；另一方面，由于0,)(>=x x x f α

，是关于x 的单调函数，所以，()αα||||||b a b a +≤+；因此，()ααα

α||||||||||b a b a b a +≤+≤+。 2.2.4 定理假设0)0(?=ψ和?∞<+R dx x x |)(||)|1(ψ。如果有界函数f 在x 0

点具有指数α )10(≤<α的lder o

H 连续性，即α|||)()(|00x x c x f x f -≤-，那么，

)|||(||||,|2/1,0ααψb a a c f b x a +≤+。

证明：由平移性质，可设x 0 = 0。因为?

==R dx x 0)0(?)(ψψ，所以， 0)()(2/12/1,==??

? ??-=???-R R R b a du u a dx a b x a dx x ψψψ，

()()?-=R

b a b a dx f x f x f )0()(,,,ψψ。

()()()()()()().||||||||||||)0()(,2/12/12/12/12

/12/12/1,???

????+=+≤+=+=??? ??-≤-??? ??-=

++--R R R R R R R b a du u b a c du u u a c du b au u a c du b au u a c du a b u u a c dx x c a b x a dx f x f a b x a f ψψψψψψψψααααααααα 此处我们利用了不等式ααα||||||b a b a +≤+。进一步， ()()()()()().|)|1(1||1||1||1||???

?∞<+≤+≤+=≥<≥

因此，

()()()

αααααψψψ||||||||||,2/12/12/1,b a a c du u b a c du u u a c f R R b a +'≤+=≤??+2.2.5 定理假定ψ是紧支撑的，设f ∈ L 2(R)是有界且连续的。如果对于v > 0和某个α∈(0,1)， f 的连续小波变换满足

2/1,||,+≤αψa c f b a 关于b 一致成立

和

)|||lg ||||(|||,2/1,0b b a a c f x b a αα

ψ+≤+，

21 那么，f 在x 0点具有指数α的lder o

H 连续的。注意：在上述变换中如果令?-=

R dt a b t t f a b a Wf )()(1),(ψ，那么，定理3.2.1和定理3.2.1中有αψ|||),(|a c b a f W '≤。定理3.2.4和定理3.2.5

中有)|||(||,|0,ααψb a c f b x a +≤+