第十一章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

x??f(x)?e?L??sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导数，

且f(0)?0，则f(x)?（ ） (B) (2分，难度：三级)

(A).

1?xx11(e?e) (B). (ex?e?x) (C). (ex?e?x) (D).0 2222．闭曲线C为x?y?1的正向，则

?ydx?xdy?（ ） (C) (2分，难度：二级) ??x?yC (A).0 (B).2 (C).4 (D).6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则

?ydx?xdy? ( ) D (2分，难度：二级) 22??4x?yC(A).?2? (B). 2? (C).0 (D). 4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则级)

(A).0 (B). 5．设C:x2?y2?a2，则

2?

??(x?2?y2?z2)ds?（ ） (D) (2分，难度：二

? (C). ? (D). ?

22(x?y)ds? （ ）(C) (2分，难度：一级) ??C1412(A).2?a (B). ?a (C). 2?a (D). 4?a 6. 设?为球面x?y?z?1，则曲面积分

222233??1??dSx?y?z222的值为（ ） (B)

(2分，难度：一级)

(A).4? (B).2? (C).? (D).?

7. 设L是从O(0,0)到(B)(1,1)的直线段，则曲线积分

12?Lyds?（ ）(C)

(2分，难度：一级)

(A). 8. 设I=?L1122 (B). ? (C). (D). ? 2222yds 其中L是抛物线y?x2上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,

则I=（ ）(D) (2分，难度：一级)

- 1 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

(A).

555555?155?1 (B). (C). (D). 6126129. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 ?，那么

? 是（ ）(D)

(2分，难度：一级)

11xdx?ydyydy?xdx； ； (B). 2?l2?l11 (C). ?ydx?xdy； (D). ?xdy?ydx。

2l2l (A).

10．设S:x2?y2?z2?R2(z?0)，S1为S在第一卦限中部分，则有（ ）(C)

(2分，难度：一级)

(A).(C).

??xds?4??xds (B).??yds?4??yds

SS1SS1??zds?4??zds (D).??xyzds?4??xyzds

SS1SS111．设?为曲面z?2?(x2?y2)在xoy平面的上方部分，则??ds=（ ） (D)

? (2分，难度：二级)

(A).

?2?0d??r021?4rrdr (B).

202?2?0d??201?4r2rdr

2(C).

?2?0d???2?r?1?4rrdr (D).

2?2?0d??01?4r2rdr

?上的曲线积分有关系（ ）(B) (2分，难度：一级) 12. 曲线弧?AB上的曲线积分和BA

(A).

?ABf(x,y)ds???f(x,y)ds (B).

BA?ABf(x,y)ds??BAf(x,y)ds

(C).

?ABf(x,y)ds??f(?x,y)ds?0 (D).

BA?ABf(x,y)ds??f(?x,?y)ds

BA?13．设?为曲面z?2?(x2?y2)在xoy平面的上方部分，则??zds=（ ）(D)

(2分，难度：二级)

2(A).

?2?0d??2?r202(2?r2)1?4r2rdr (B).

2?2?0d??(2?r2)1?4r2rdr

0(C).

?2?0d??0?2?r?rdr (D). ?2?0d??(2?r2)1?4r2rdr

02x2y214．设C表示椭圆2?2?1,其方向为逆时针方向，则曲线积分?(x?y2)dx=（ ）?abL(B)

(2分，难度：二级)

- 2 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

22(A).?ab (B). 0 (C). a?b (D). ??ab

???x?cost,15．设C的曲线方程为?0?t?,则?x2ydy?y2xdx=（ ）(C)

2c??y?sint, (2分，难度：一级)

?(A).

?20(costsint?sintcost)dt

??dtdt(B). ?2costsint? ??2sintcost?002sint2cost1?(C)．?2dt

20?(D)．

?20(cos2t?sin2t)dt

则I?16．设?为球面x2?y2+z2=R2下半球面的下侧，??zdxdy=（ ）(B)

? (2分，难度：二级)

(A).??2?0d??R0RR2?r2dr (B). R2?r2rdr (D).

??2?02?d??d??R0RR2?r2rdr R2?r2dr

(C). ??2?0d??00017．设f有连续的一阶导数，则?(1,2)(0,0)f(x?y)dx?f(x?y)dy? （ ）(B)

(2分，难度：三级)

3(A).2?10f(x)dx (B).

?0f(x)dx

(C). f(3)?f(0) (D). 0

18．设C为正方形|x|?|y|?a(a?0)的边界，则曲线积分??xyds=（ ）(A)

C (2分，难度：二级)

(A).0 (B). 42?21?1?1??1?1?1a?? (C)．4?a?? (D)．42?a??

3?3?3??2?2?2219．设L是圆域D：x?y?-2x的正向周界，则

??L(x3?y)dx?(x?y3)dy=（ ）(D)

(2分，难度：二级)

- 3 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

(A). ?2? (B). 0 (C)．20．设L为x?x0,0?y?3? (D)．2? 232,则

?4dsL的值( ). (B)

(2分，难度：一级)

(A). 4x0 (B). 6 (C). 6x0 (D). 4 21.设L为直线y?y0上从点A(0,y0)到点B(3,y0)的有向直线段,则

?2dyL=(

(2分，难度：一级)

(A). 6 (B). 6y0 (C). 0 (D).-6y0 22. 若L是上半椭圆??x?acost,取顺

?y?bsint,,则

?Lydx?xdy的

( ).

(C)

(2分，难度：二级)

(A).0 (B).

?ab 2在

(C).?ab (D).??ab

23、设P(x,y),Q(x,y)D内有一阶连续偏导数,则在D内与?Pdx?QdyL路径无关的条件

?Q?P?,(x,y)?D是( ).(C) (2分，难度：一级) ?x?y (A).充分条件 (B).必要条件 (C).充要条件 (D).充分非必要条件 24、设?为球面x?y?z?1取外侧,?1为其

222,则( )式正确. (B)

(2分，难度：一级) (A).

??zds?2??zds??1??1 (B).

??zdxdy?2??zdxdy??133zds?2z????ds ??12

(C). 25、若?22zdxdy?2z????dxdy.

为球

x2?y2?z2?R2的

,则

??x?y2zdxdy等于( ). (B)

(2分，难度：一级)

(A).

Dxy2222222222xyR?x?ydxdyxyR?x?ydxdy (B). 2????Dxy (C). 0 (D). ?2

Dxy22222xyR?x?ydxdy ??- 4 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

226、曲面积分

2??zdxdy?在数( ). (C) (2分，难度：一级)

?(A).向量zi穿过?(C).向量zk穿

2?的流 (B).面密度为z22的

?的质量 ?的

??的流量 (D). 向量zj穿

27、设?是

x2?y2?z2?R2的外侧,Dxy是xoy面的圆域x2?y2?R2,下述等式

正确的是( ). (C) (2分，难度：二级) (A)

2222222??xyzds???xyR?x?ydxdy (B)?Dxy2222(x?y)dxdy?(x?y)dxdy ?????Dxy (C)

222zdxdy?2R?x?ydxdy (D)??zdxdy?0 ?????Dxy?28、若?是空间区域?的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( ). (B)

(2分，难度：一级) (A).

?外侧???x2dydz?(z?2y)dxdy =???(2x?2)dxdydz；

?3 (B).

?外侧???(x?yz)dydz?2x2ydzdx?zdxdy=???(x2?1)dxdydz；

? (C).

?内侧???x2dydz?(z?2y)dzdx=???(2x?1)dxdydz?2.

(D).

?内侧???xdzdx?(z?2y)dxdy=???(2x?1)dxdydz?.

29．设?是曲面z?x2?y2与平面z?1,z?2所围空间立体的表面取外侧， 则

???ez?x?y22dxdy=（ ）(B) (2分，难度：三级)

2222 (A). 2?(e?e) (B).2?e (C).?2?e (D). 4?e

30．设L是上半圆y?Rx?x2上从点A(R,0)到O(0,0)的弧段(R?0)，且曲线积分（下式中k为常数）

?L(exsiny?ky)dx?(excosy?k)dy=（ ）(C)

(2分，难度：三级)

k?R2k?R2k?R2k?R2 (A). (B). (C). (D).

46810- 5 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

31．设l:??x??(t)（ ）． (A) (??t??,)那么曲线积分计算公式?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=

l?y??(t)(2分，难度：一级) (A)． (B)． (C)． (D)．32.设I???[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]dt

L???????yxdx?dy，则( ) （B） (2分，难度：二级)

x2?y2x2?y2

（A）对任意分段光滑的闭曲线，有I?0；

（B）在L不包含原点时，I?0，其中L是任意分段光滑闭曲线；

?P?Q和（C）因为在原点不存在，故对任何分段光滑闭曲线L，I?0； ?y?x（D）在L包含原点时I?0，在L不包含原点时I?0.

33. 设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．(A)

(2分，难度：二级)

(A)．(C)．

??C3yx2dx?x3dy (B)．?ydx?xdy

CC2xydx?x2dy (D)．?3y2xdx?y3dy

C34. 若P(x,y)及Q(x,y)在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D内，曲线积分． (B) (2分，难度：一级) ?Pdx?Qdy与路径无关的充分必要条件是（ ）

l(A)．在域D 内恒有

?P?Q?Q?P?? (B)．在域D 内恒有 ?x?y?x?y(C) 在域D 内恒有

?Q?P??0 ?x?y (D)．在D内任一条闭曲线l?上，曲线积分35.设曲面?:|x|?|?Pdx?Qdy?0

l?y|?|z|?1,则??|xyz|ds =( ) (B) (2分，难度：三级)

?(A).0 (B).

3 (C). 83 (D). 43 15- 6 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

36．设?是yoz平面上的圆域y2?z2?1,则

??(x?2?y2?z2)dS=（ ）（D）

(2分，难度：二级)

(A)0; (B) ?; (C )

二、填空题

1. 设L是以(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分

11?; (D ) ?. 42??ydx-(eLy2+x)dy= -2 (2分，难度：二级)

2.S为球面x2?y2?z2?a2的外侧,则??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy?0

s (2分，难度：一级) 3．

ydx-xdy =?2? (2分，难度：二级) 22??x+yx2+y2=14．曲线积分I???(xC2?y2)ds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则I?2?a3

(2分，难度：一级)

5．设∑为上半球面z?4?x2?y2?z?0?，则曲面积分???x2?y2?z2?ds= 32π

? (2分，难度：二级)

6. 设曲线C为圆周x?y?1,则曲线积分

22???xC2?y2?3x?ds? 2? . (2分，难度：二级)

7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分

?C(x?y)ds?1+的值为 ?。

2 (2分，难度：二级)

8. 设?为上半球面z?4?x2?y2，则曲面积分???ds1?x2?y2?z283 (2分，难度：二级)

9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z?f(x,y)的面积是

- 7 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

S???1?(D?z2?z2)?()d? ?x?y(2分，难度：一级)

10．设L是抛物线y?x3上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(2x-4y)dx? 12 ?L(2分，难度：一级)

11、设?为螺旋线x?cost,y?sint,z?3t上相应于t从0到?的一段弧，

则曲线积分I??(x2?y2?z2)ds? 2??1??2? . (2分，难度：二级)

?12、设L为x2?y2?a2的正向，则

/////////////////////

xdy?ydx??Lx2?y2? 2? .(2分，难度：二级)

13、设?是柱面x2?y2?4,介于则 1?z?3之间的部分曲面，它的法向指向OZ轴一侧，则

???x2?y2?z2dxdy= 0 (2分，难度：一级)

14、设L是单连通域上任意简单闭曲线取顺时针方向，a,b为常数，则

??adx?bdy=0 .(2分，难度：一级)

L15、设?是x?y?z?a的内侧(a?0),则

2222???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy=?125?a 5.(2分，难度：二级)

?x2?y2?z2?1,其方向由x轴正向看去为逆时针方向，则 16．设曲线L为?z?z(|z|?1),00??L(x2?yz)dx?(y2?xzdy)?(z2?xy)dz=0 (2分，难度：二级)

2217．已知曲面?：z?x?y(z?1)，则

???1?4zdS=3? (2分，难度：二级)

18． 若?为光滑封闭曲面，V为其所围立体的体积，cos?,cos?,cos?为?的外法线的方向余弦，则曲面积分

????(xcos??ycos??zcos?)dS= 3V . (2分，难度：二级)

19．设C为x?y?a(a?0)的边界，则

??xyds? 0 (2分，难度：二级)

C20．设C为以A(1,1),B(2,2),C(1,3)为顶点的三角形的正向边界曲线，则曲线积分

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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

222I=??2(x?y)dx?(x?y)dy??C4 (2分，难度：二级) 3

2321. 设L：2x2?y2?1，则曲线积分??L3xsinydx?xcosydy＝ 0 。

(2分，难度：一级)

t2t322．某物质沿曲线C：x?t，y?，z?（0≤ｔ≤1）分布，其线密度为??2y，

23则它的质量M可用定积分表示为

?10t1?t2?t4dt 。

(2分，难度：二级)

23．若

(x?y)dx?(x?y)dy22(x?y?0)为某函数的全微分，则m? 1 。 22m(x?y)(2分，难度：二级)

24．设C为抛物线y?1?x上自点A(?1,0)到点B(1,0)的一段弧，则曲线积分

2?AB222(x?y)dx?(x?y)dy的值为 . ?3 (2分，难度：二级)

25、设S:x?y?z?R，则

2222???S4?R4xds?. (2分，难度：二级)

32x2?y2?1，其周长为s，则?26．L是曲线xy?x2?4y2ds=4s ． ?4L??(2分，难度：二级)

27．L是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为A，则

?2xdy?5ydx?3A ．

L(2分，难度：二级)

28. 曲线积分?(1,1)(0,0)(x3?2xy)dx?(x2?2y4)dy的值为

17 20(2分，难度：三级)

29．设F(x,y)为可微函数，则曲线积分?ABF(x,y)(ydx?xdy)与路径无关的

充要条件是 yFy?xFx

(2分，难度：三级)

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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

x2x22?y?1上具有连续的二阶偏导数，L是椭圆?y2?1 30．设f(x,y)在44顺时针方向的曲线，则?[?3y?fx(x,y)]dx?fy(x,y)dy? ?6?

L(2分，难度：三级)

31．设?是由锥面z?个边界的外侧，则

x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整

??xdydz?ydzdx?zdxdy?2?(1??23)R. 2(2分，难度：三级)

?x?3t?32. 空间曲线?y?3t2从O(0,0,0)到(3,3,2)的弧长? 5

?z?3t3?(2分，难度：二级)

x2y2??1,其周长为a，则33． 设L为椭圆43??(2xy?3xL2?4y2)ds? 12a .

(2分，难度：二级)

三、计算题 1．eL?x2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?1，直线y?x及x轴在第一象限所围图形的边界。

（5分，难度：二级）

解：记线段OA方程y?x,0?x??x?cos?2?，圆弧AB方程?,0??? 24?y?sin?线段OB方程y?0,0?x?1。 ………………………………………………….. 2’

x2?y2x2?y2则原式＝

OA?eds＋

AB?eds＋

OB?ex2?y2ds＝?220e2x2dx＋?ed?＋?exdx…….4’

0?401＝2(e?1)??4e …………… 5’

?x?3costx2x(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy2. 计算?，其中l 为由点A(3,0)经椭圆?l?y?2sint- 10 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

侧，设所围区域为?，显然在?2和?3的曲面积分为0。 …………………3’ 则由高斯公式有

I????1??2??3??xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy

?1?3???dv???zdxdy……………………………….…4’

?1?1?3?36．计算????z044848axdydz?(z?a)2dxdydz???3??????。 …………………7’

x2?y2?z2222，其中?为下半球面z??a?x?y的下侧，a为大

于零的常数。

（7分，难度：二级）

解：取?xoy为xoy面上的圆盘x2?y2?a2，方向取上侧，则

???axdydz?(z?a)2dxdyx2?y2?z2?1axdydz?(z?a)2dxdy ??a??1?22????axdydz?(z?a)dxdy???axdydz?(z?a)dxdy?， ……….3’ a????xoy??xoy???1?2?????(2z?3a)dv?a??dxdy? a???Dxy???2???a1?2???2?d??d??rcos?r2sin?d??3a?a3?a2?a2? a0?30??2????a?11??1??a434???4??cos?sin?d??rdr??a??????a4???a3。 ………7’

aa?2?0?2???2?37、求

?(eLxsiny?y?x)dx?(excosy?y)dy，其中L为圆周y?2ax?x2上从A(2a,0)到点O(0,0)的一段弧. （5分，难度：二级） 解：添加直线段L1:OA，则 原式?(?L?L1??2a0L1)(exsiny?y?x)dx?(excosy?y)dy …………….2’

=??dxdy-?xdx。（2分） …………….4’

D=π2a-2a2 …………….5’ 2- 26 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

22?x?y?2?38．已知空间曲线?：?，计算曲线积分??e22??z?x?yx2?y2ds．

（5分，难度：二级）

?x?2cos???解：?的参数方程?y?2sin?,0???2? ………………. 2’

???z?2则原式＝e??x2?y2ds??e02?2x?2?y?2?z?2d? …….4’

??e02?22d?=22e2? …….5’

39．计算I???[?f(x,y,?z)x]d?ydz[2(f,x?,y)z?]ydzd[x(?f,x,其y中zzdxdyf(x,y,为z)连续函数，?是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧.

（6分，难度：二级）

解： 将积分转为第一类曲面积分 I????{[f(x,y,z)?x]1?11?[2f(x,y,z)?y]?[f(x,y,z)?z]}dS ……………. 2’ 333z1=1(x?y?z)dS ???3?11dS ? 1 O= y …………. 4’ ???311S?= x= …………. 6’

23 40. 计算

1???(x3?yz)dydz其中∑为圆柱面x2+y2=R2在0≤z≤H中的一段曲面的外侧，R和H

都是正数。 （7分，难度：二级） 解：∑的方程：x?R2?y2∑在yoz面上的投影域为(D)：－R≤y≤R,0≤z≤H.

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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

由对称性，则

???yzdydz?0, …………….2’

???xdydz?2??D(R?y)dydz?4?0(R?y)dy??0dz …………….4’ ?34244?4HR?0costdt??RH4334所以：??(x?yz)dydz??RH ……………5’

?441．设f(u)具有连续导函数，?为x?0的锥面y2?z2?x2?0与球面x2?y2?z2?1，

32232R2232Hx2?y2?z2?4所围立体表面的外侧，计算曲面积分

1y1y333I??xdydz?[f()?y]dzdx?[f()?z]dxdy ???zzyz（7分，难度：二级）

解：令P?x，Q?31y1yf()?y3,R?f()?z3 zzyz?P?R1y?Q1'y?3x2，??2f'()?3z2 …………. 3’ ?2f()?3y2，?x?zzz?yzz I????(??P?Q?R??)dv ?x?y?z=3=3222(x?y?z)dv …………. 4’ ????2??0?0d??4sin?d??r4dr …………. 5’

12=

93(2?2)? …………. ……….7’ 542. 计算(esiny?ydx)?e(L?xxcosy?x3dy)，其中L是从A(1,0)沿x?y?1(x?0)到

2323B(0,1)．

（6分，难度：二级）

解：补充直线段BO，OA …………. 1’

x?(eLsiny?y)dx?(excosy?3x)dy

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第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

??L?BO?OA??10OB??OA …………. 2’ …………. 4’

???4d???cosydy?0D?4?ydx?sin10021

?4??sin3td(cos3t)?sin1?

6?12?2(si4nt?sint)dt?sin103???sin18． …………. 6’

43．求摆线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t??)的弧的重心．

（6分，难度：二级）

tds?(xt?)2?(yt?)2dt?a2(1?cost)dt?2asindt2． …………. 1’ 解：

tM??ds??2asindt?4aL02． …………. 2’

?tMx??xds??a(t?sint)2asindtL02

??tt3?2a2?tsindt?a2?(cos?cost)dt00222 816?8a2?a2?a233 ． …………. 3’

?tMy??yds??a(1?cost)2asindtL02 ??t3t?2a2?sindt?a2?(sint?sin)dt00222 416?4a2?a2?a233． …………. 4’

?故

x?My4Mx4?ay??aM3，M3． ………….6’

?x2?y2?144．计算?从z轴正向看L的方向(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，其中L是???x?y?z?2L为顺时针方向．

（5分，难度：二级）

解：取?为x?y?z?2被x?y?1所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根 据斯托克斯公式有：

22?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz

L- 29 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

???0dydz?0dzdx?2dxdy? …………. 3’

??2??dxdy??2?Dxy． …………. 5’

45．

??xzdydz?y?22zdzdx?xz2dxdy其中?是z?x2?y2在0?z?1的第一象限部分的下侧．

（8分，难度：三级）

解：补面?1,?2,?3，

22 ?1:z?1，x?y?1，x?0，y?0，取上侧； 2 ?2:y?0，x?z?1，x?0，取左侧；

2?:x?0y?z?1， y?0，取后侧． …………. 1’ 3 ，

x??

?2zdydz?y2zdzdx?xz2dxdy

?

???1??2??3????????????1?2?3

…………. 2’

????(4xz?2yz)dv???xdxdy?0?0?Dxy …………. 5’

?010?0??2d??rdr?2(4rco?s?z?2rsin??z)dz??2d??rco?s?rdr0r11

?1215??21321． …………. 8’

2xy2?3x246. 验证3dx? dy是某个函数u(x,y)的全微分，并求出这个函数。yy4（6分，难度：二级）

2xy2?3x2解：令P?3，Q?

yy4?P?6x?Q?4=，（y?0） …………. 2’

?x?yy2xy2?3x2所以当y?0时 3dx?dy是某个函数u(x,y)的全微分。

yy4则

x2x1dy??3dx …………. 4’ 20yyu(x,y)??(x,y)(0,1)Pdx?Qdy??y1x21=3??1 …………. 6’ yy- 30 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

47．设AB为连接点A(0,1),B(1,2)的某一位于直线段AB之上的光滑曲线，又设?AB与AB

1x所围图形的面积为k,式计算曲线积分：(y?)dx?dy. 2?????AByy（7分，难度：三级）

解：令P?y?1x，Q?2 yy?P1?Q1，（y?0） …………. 2’ ?1?2，??yy?xy2设?AB与AB所围的区域为D，则

??????????ABBA1x?Q?P(y?)dx?2dy???(?)dxdy????dxdy??k …………. 4’

yy?x?yDDAB的方程为y?x?1

?????AB21x1y?1(y?)dx?2dy??(y??2)dy?1 …………. 6’

1yyyy1x(y?)dx?dy??(?k?1)?k?1. …………. 7’ ?????AByy248．验证(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy在xoy平面内是某一函数u(x,y)的

全微分, 并求这个函数u(x,y).

（6分，难度：二级） 解： 在xoy平面内,P?2xcosy?y2cosx,Q?2ysinx?x2siny具有一阶连续偏导数,且

?Q?P?2ycosx?2xsiny? …………. 2’ ?x?y故所给表达式是某函数u(x,y)的全微分,并且有 u(x,y)? ?49．计算

??(x,y)(0,0)x(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy …………. 4’

02xdx??y0(2ysinx?x2siny)dy?y2sinx?x2cosy …………. 6’

??(xy?yz?zx)ds,其中?为锥面z??x2?y2被柱面x2?y2?2ax所截得的有限部分.

（6分，难度：三级）

解: 曲面?在xoy平面上的投影区域为Dxy={(x,y)x2?y2?2ax}, 又曲面?关于xoz平面对称, 函数xy和yz都是关于y的奇函数, 故有

??xyds?0,???yzds?0 …………. 2’

?- 31 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

x2?y222又在曲面?上, dS?1?(z?dxdy?2dxdy, x)?(z?y)dxdy?1?22x?y于是由计算第一型曲面积分的方法得

z?y??(xy?yz?zx)dS???zxdS?2??x??Dxyx2?y2dxdy ………….4’ Dxy?20x?rcos?,y?rsin???2?2??d?2?2acos?0r3cos?dr?82a4?cos5?d??82a44264??2a4 5315 ox………….6’

50.利用斯托克斯公式计算

???2ydx?3xdy?z2dz,其中?是圆周x2?y2?z2?9,z?0,若从

z轴正向看去, 这圆周取逆时针方向.

（6分，难度：二级）

解: 因曲线?在xoy平面上，即有z?0, 故若取?为xoy平面上的区域Dxy?{(x,y)x2?y2?9}的上侧, 则曲线?为?的正向边界曲线, 由斯托克斯公式有

dydzdzdxdxdy??? ………….4’

?x?y?z2y??Dxy

???2ydx?3xdy?z2dz????3x?z2??dxdy???dxdy?9? ………….6’

（7分，难度：三级）

51. 计算

??(z?y?2)ds,其中?为球面x2?y2?z2?R2与平面x?y?z?0的交线.

解: 因积分曲线?的方程对变量x,y,z具有轮换对称性，故

1xds?yds?zds?(x?y?z)ds ………….2’ ???3?1x2ds?y2ds?z2ds?(x2?y2?z2)ds ………….4’ ???3?

因而

1R22122222(0?R)ds??2?R??R3. (z?y)ds?[(x?y?z)?(x?y?z)]ds??3?333?………….7’ ??f?ds,其中f(x,y)?(x?2)2?y2，L为椭圆2x2?y2?1, n为L的52. 计算第一类曲线积分

L?n外法线向量．

（8分，难度：三级）

??????00解: 设L的逆时针方向单位切向量为??(cos?,sin?), 并且有cos?ds?dx,sin?ds?dy将?顺

????0时针旋转即得曲线L朝外的单位法向量n，因此

2?????0n?(cos(??),sin(??))?(sin?,?cos?)

22???dx于是 n0ds?(sin?,?cos?)??(tan?dx,?dx)?(dy,?dx) ………….2’

cos?????????????????????????- 32 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

??f??f?f???0又???,??n,故 ?n??x?y????f?ds?L?n?L?????f?f???0?,??nds?L??x?y?????f?f?(dy,?dx)??,??L??x?y????f?fdy?dx ………….4’ L?x?y??2(x?2)dy?2ydx ………….6’

?4??Ddxdy?4?2??22? ………….8’ 22?. 2其中D为由L围成的椭圆域, 其面积为

53. 计算

??1y2xarctandx?arctandy，其中L是由圆周x2?y2?1,x2?y2?4与直线 Lxxyyy?x,y?3x在第一象限所围区域的正向边界.

（6分，难度：二级）

1y2xarctan,Q?arctan在D内具有一阶连xxyy?Q2?P1?2,?续偏导数, D为单连通域, 并且有 ………….2’ ?xx?y2?yx2?y2解: 因点(0,0)不包含在L所围的区域D内, 又P?利用格林公式得到

原积分?=

54. 计算I???D1dxdy ………….4’

x2?y2???3d?4?211?rdr?ln2 ………….6’

12r22?y(1?cosx)dx?sinxdy,其中l为从点A(0,1)沿曲线yl?1?x到点B(1,0)一段弧．

（7分，难度：三级）

解 因积分路径l不封闭,构造封闭曲线,添加路径L1与L2，记L??l（如图）, 使之构成封闭路径以应用格林公式计算，

L1:x?0,y?[0,1],则dx?0,

??L1?010dy?0 ………….2’

???0dx?0 ………….4’

则 ????0

L2:y?0,x?[0,1],则dy?0,L20L1L21而

??L?L1?L2???D(?1)dxdy??dy0??11?y202dx?? ………….6’

32??????? ………….7’ ?L?L1?L2?L1L2?3又积分路径l是顺时针方向，因此有

????2???I?y(1?cosx)dx?sinxdy?????? l?L?L1?L2?L1L2??3故

?????????- 33 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

55. 计算曲面积分

??(y?z)dxdy?(x?2)dydz,其中?是抛物柱面y??x被平面x?z?1和

z?0所截下的那部分的后侧曲面.

（7分，难度：三级）

解 如右图,因为柱面y?x 在坐标面xoy上的投影是一条曲线,由 定义知

z1??(y?z)dxdy?0 ………….2’

??在坐标面yOz上的投影区域

记为Dyz:0?y?1,0?z?1?y2. 由于?取后侧,故

0n?Dyz1y???(x?2)dydz????(y2?2)dydz??Dyz??1(y2?2)dydz x………….4’ ??dy 0?? 1 1?y2 0(y?2)dz?? 12? 1 0(y2?2)?(1?y2)dy …………6’

1?6?????2y?y3?y5?? …………7’

5? 05?56． 已知流体的速度场

试求单位时间内流过立方体0?x?a,0?y?a,0?z?a的全表面的外侧的流量(流体的密度为1).

（7分，难度：三级）

解 流量为

??2??2v?(2x?z)i?xyj?xzk

????(2x?z)dydz?x?2ydzdx?xz2dxdy………….2’

………….5’

?(2?x???? a a 0 a 0 a2?2xz)dxdydz

a 0?????dx?(2a?ax?ax)dy ?a?(2a?ax?ax)dx

22 0 0? dxdy(2?x2?2xz)dz

a22 0?2a4a4??a2?3????a?.………….7’ ?2a?3?2??a?2?6??? ??57．利用斯托克斯公式计算曲线积分

?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz

L?x2?y2?1其中L是曲线?从z轴的正向看去L的方向是顺时针的.

x?y?z?2?（8分，难度：四级）

解 设?是平面x?y?z?2上以L为边界的有限部分,其法向量与

z轴正向的夹角为钝

- 34 -

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

角,?在xOy平面上的投影区域为Dxy:x2?y2?1.P?z?y,Q?x?z,R?x?y.则由斯托克斯公式

?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz

L????dydz??xPdzdx??yQdxdy???zR???dydz??xz?ydzdx??yx?zzdxdy?. ………….6’ ?zx?y? ??Dxy2………….8’ n??2dxdy??2??dxdy??2? ?1x1O

57． 求均匀曲面?:z?a2?x2?y2的重心坐标.

1y

（7分，难度：二级）

解： 已知?是中心在原点,半径为a的上半球面.由于?关于坐标面yoz,zox均对称,故有

x?0,y?0. ………….2’ 设?的面密度为?,?的质量为M?2?? a2.

1z?? z dS ………….3’

M???曲面?在坐标面xOy上的投影Dxy:x2?y2?a2,则

z?1M12?? a212?? a2???? zdS?12?? a22Dxy2??2?a2?x2?y2?1?zx?z2y dxdy ………….4’

?Dxy??? ???a?x?y?1?2x2?y2a2?x2?y2a2dxdy

?a?x?y?222Dxya2?x2?y2dxdy

?12? a2Dxy??adxdy?1a ………….6’ 21??所以曲面?的重心坐标为:?0,0,a?. ………….7’

2??xyz4??58．?z?2x?y?dS,其中?为平面???1在第一卦限的部分.

3?234????（5分，难度：二级）

xy??解 设?:z?4?1???,

23??xy???x?0,y?0,??1?,?在坐标面xoy上的投影区域Dxy为：

23??xy??1,x?0,y?0.由于 23- 35 -

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