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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组

第一讲 智巧趣题

卷Ⅰ

教学目标 从三年级开始，我们就要系统地学习奥数知识，本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学习奥数的兴趣，激发学生学习奥数的灵感，充分调动学生学习奥数的积极性. 一个人带着一只狐狸、一只鹅和一些玉米渡河，每次只能带一样， 可是人不在时，狐狸要吃鹅，鹅要吃玉米．那么应该怎样渡河呢？

想挑战吗 ？

分析：先带鹅过河，自己划船回来，第二次带狐狸过去，再把鹅带回来，第三次带玉米过河，自己划船回来，第四次再把鹅带过去即可．

（一） 单循环问题

【例1】 有10个不同国家的集邮爱好者，想通过邮寄的方式相互交换各国最近发行的邮票，使得每人都

有这10个国家的邮票，他们之间至少要通信多少封？

分析：每个人都给另外9个人各写一封信，共需910=90（封），不过着太浪费了，最简单的方法是，推选一个人做中转，另外9个人每人给他寄9张本国邮票，他分发好后再给每个人寄去所需的9张邮票，共通信18封.

[拓展] 赵钱孙李周五个人中，每两个人之间都通过电话，且通话次数刚好等于这两个人的年龄差，已知周和李相差4岁，赵和孙也相差4岁，周和孙相差1岁，赵 和李也相差1岁，赵和钱相差3岁，周和钱相差6岁．问：这五个人之间公通话多少次？

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分析：

从左上图可以得到右上图所示的五人年龄排队的顺序，所以五人之间共通话

1+（1+3）+（1+3+1）+（1+3+1+2）+3+（3+1）+（3+2+1）+1+（1+2）+2=36（次）.

【例2】 8只足球队进行单循环比赛一轮决出了前四名，再按照名次进行淘汰赛，最后决出一、二、三、

四名，共要进行多少场比赛?

分析:一开始，8只球队每一只球队都要与其他球队比赛，而且是单循环比赛，所以共要进行：8×7÷2=28（次），在淘汰赛中有四只球队，是按照名次进行淘汰赛，也就是说第四名与第三名比赛，输掉的队将会被淘汰，这样将会进行四次比赛，所以，一共要进行：28+4=32（次）.

[前铺] 有123名同学进行乒乓球单打比赛，比赛采用单循环淘汰制，一场决出胜负，输得被淘汰，直到

最后产生1名冠军为止．那么一共要打多少场比赛？

分析：一场比赛淘汰1名同学，淘汰122名同学要赛122场.

【例3】 某小组共有7个队参加足球赛，比赛采用单循环，每胜一场得2分，平一场得1分，负一场得

0分，得分最多的前三名出线；当两个组的积分相同时，净胜球（总进球数减去总失球数的差）多的出线，若净胜球仍相等，进球多者出线．问：得多少分才能稳获出线权？不能出线的最高分是多少？

分析：7个队参加的单循环赛，因为每个队都要与其它6个队各赛一场，所以，比赛总场次为：7×6÷2=21（场），每赛一场，参赛的两队共得2分，21场共2×21=42（分）．得高分仍不能出线的极端情况是：7个队中有3个弱队、4个事例不相上下的强队，弱队总是输给强队，3个弱队之间要赛3场，这3场的6分有3个弱队获得，剩下的42-6=36（分）有4个强队平均瓜分，每队得36÷4=9（分），这样，四个强队都得9分，3个队出线，必有一个队不能出线，所以，不能出线的最高分是9分，得10分就稳获出线权.

【例4】 五个人进行单循环象棋比赛．规定：每胜一局得2分，负一局得0分，平一局得1分，比赛结

束后，发现五个人得分是五个连续的自然数，而且名次靠前的都胜了名次紧跟其后的人，这次比赛最多有多少场平局？

分析：5个人共赛10场，共得20分，20=6+5+4+3+2，所以第一名至第五名依次得6，5，5，4，3，2分，考虑到一至四名每人至少胜一场，二至五名每人至少负一场，分析各个名次的得分组合：

6=2+2+2=1+1+2+2，5=2+2+1+0，4=2+2+0+0=2+1+1+0，3=2+1+0+0，2=2+0+0+0=1+1+0+0，显然，得6分、4分、2分的都取後一个数字组合平局最多，有四场．

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第一名 第二名 第三名 第四名 第五名 第一名 0 1 1 0 第二名 2 0 0 1 第三名 1 2 0 1 第四名 1 2 2 0 第五名 2 1 1 2 总分 6 5 4 3 2

【例5】 在一次聚会上，每个人都和其他所有人握了一次手，只有一个人只和他认识的人握了手．如果

他们握手的总次数为60次（两人握手算一次），那么这个人在聚会上认识多少人？

分析：如果聚会上有n个人，每个人都与所有人握手的话，握手的总次数是n（n-1）÷2，但是有一个人只与他认识的人握手，除去这个人之后，剩下的（n-1）个人握手的总次数是（n-1）（n-2）÷2次．现在我们知道握手的总次数是60次，也就是说60< n（n-1）÷2，同时60>（n-1）（n-2）÷2，（n-1）（n-2）<120

[前铺] 在学校的一次小型会议中，每两个人见面都要握手，王校长一共跟别人握了10次手，请问这次

会议一共有多少人参加？所有参加会议的人握手的总次数有多少？

分析：王校长一共跟别人握手10次，说明除了王校长以外，还有10个人，所以参加这次会议的人一共有11人；11个人一共握手的次数是10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（次）．

【例6】 纸上有5个点，任意3点都不在一条直线上，如果把每两个点都连接起来，最多能连成多少条

线段？

分析：取其中一个点跟其余的4个点相连，就可以得到4条线段；再取一个点跟其他的三个点相连，这样又有3条线段，剩下的点可以组成2条线段和1条线段．这样一共可以组成4+3+2+1=10条线段．

[拓展１]如果线段AB上共有99个点，那么，图中共有多少线段？

分析：以A为端点的线段有100条，以（1）处的点为端点的线段有99条，……，以此类推，以（99）处的点为端点的线段有1条，所以，图中共有的线段条数是：100+99+98+…+2+1=（1+100）×10=5050（条）.

[拓展２]乘火车从北京到上海，共有27个火车站（包括北京、上海在内），那么共有多少条不同的线路？

分析：可以把27个车站看成是线段上的27个点，每两个车站间的路段看作两点间的线段，利用前面数线段的方法，可以得到个北京到上海共有：26+25+24+…+3+2+1=（26+1）+（25+2）+…+（13+14）=27×13=351（条）.

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卷Ⅱ

（二） 过河、蜗牛爬井与卖酒问题

【例7】 牧羊人赶着一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后

清查还剩6只，这群羊在过河前共有多少只？

分析：由最后剩6只，逆推过完第9条河时剩（6-3）×2=6（只），同理，一直逆推到原来有6只羊．

[前铺] 38个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载4人的小船(无船工)．他们要全部渡过河去，至少

要使用这只小船渡河多少次？

分析：实际上前面每次过河的人数只有3人，最后一次最多过4人，因为38=3×12+2，所以前面3人一次过了12次，来回一共划了12×2=24（次），最后一次是2人过河，还要用1次．所以最终需要渡河的次数是24+1=25（次）．

[拓展] 一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、

羊、白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？

分析：如下表

次数 1 2 3 4 5 6 7 此岸 狼，白菜 狼，白菜 狼 狼 羊 羊 过河 农民，羊〉 〈农民 农民，白菜〉 〈农民，羊 农民，狼〉 〈农民 农民，羊〉 彼岸 羊 羊 白菜 白菜 狼，白菜 狼，白菜 农民，羊，狼，白菜

【例8】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒

塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？

分析：小强和中强先过桥，用2分钟；再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟，他们一起用时间：2＋1＋10＋2＋2=17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河．（时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的）.

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[前铺] 赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小河边，河岸边只有一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要2分钟，小八路划船需要3分钟，负伤的红军战士划船需要5分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式，三个人全部过河用时最少？

分析：赵大爷首先跟小八路或者红军战士一起过河，用时2分钟，再由赵大爷把船划过来，用时2分钟，最后把剩下的人一起载过去，再用时2分钟．一共用时6分钟．

【例9】 一口井深20米，一只蜗牛从井底白天往上爬2米，晚上又往下滑1米，请问要多长时间，这只

蜗牛能爬出这口井？

分析：“白天往上爬2米，晚上又往下滑1米”其实一天只往上爬1米，如果这样理解，说这只蜗牛爬出

这口井需要20天就错了．因为最后一次爬出井外不会往下滑，所以蜗牛只要往上爬19米，晚上下滑1米，这时距离井口只有2米了，这样只要一个白天再往上爬2米就到井口了．所以只需要18天再加一个白天．

[巩固] 蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需要

几天几夜？

分析：一昼夜可以爬1米，爬了4昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要5天4夜.

[拓展] 一只树蛙爬树，每次往上爬80厘米后，就会下滑10厘米， （1） 这只青蛙这样上下了5次，实际往上爬了多少厘米？

（2） 如果这棵树高5米，向上爬一次用去30分钟，向下滑用去10分钟，那么这只树蛙需要多久才能

到达树梢？

分析：（1）实际上树蛙每爬行一次只前进了80-10=70（厘米），5次共前进了70×5=350（厘米）. （2）5米=500厘米，树蛙爬到树梢需要6次上下加上一次上即可，所以需要：（30+10）×6+30=270

（分钟）

【例10】 吝啬的卖酒老板老钱招聘卖酒伙计，他只给伙计两个分别为5升和3升的盛酒杯，要求满足

所有顾客的买酒需求（当然顾客只需要整数升的酒），这下难倒了很多前来应聘的人，可是有一个聪明的放牛娃娃却做到了，你知道放牛娃娃是怎么样卖出一升酒的吗？

分析：先将5升的酒杯盛满，倒入3升的容器中，再将3升的酒倒入酒缸中，将5升的酒杯中剩余的2升酒倒入3升的酒杯中；再次将5升的酒杯盛满，再将其中的酒倒入3升的容器中，使3升的酒杯装满，这样5升酒杯还剩4升酒；最后把3升酒杯里的酒全部倒入酒缸中，再次将5升酒杯中的酒倒入3升的酒杯中，把3升的酒杯装满，这样5升的容器中就剩下1升酒了．如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 2 3 2 0 0 2 5 2 4 3 4 0 1 3 5升 5 3升 0 还有更简单一方法：用3升的酒杯量2次倒入5升酒杯中，即可量出1升酒．

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