2.4.1抛物线及其标准方程教案

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§2.4.1抛物线及其标准方程教案

高二数学组：万志强

一、教学目标

1.知识与技能目标：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。

2.过程与方法目标：掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法。通过本节课的学习，提高学生观察，类比，分析和概括的能力。

3.情感态度与价值观目标：通过本节的学习，让学生体验数学的美，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。

二、教学重点和难点

重点：抛物线的定义和标准方程．

难点：抛物线的标准方程的推导；抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。

三、教学方法

启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法

四、教具准备

多媒体

五、教学过程

1.引入：

（1）生活中的抛物线（图片及动画展示）；

（2）我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当常数e在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；当常数e大于1时，轨迹是双曲线；那么当常数e等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程. 2.抛物线的定义：

如图所示，把一块直尺固定在图上直线l的位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠

着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征？

这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等.曲线即为初中见过的抛物线.

现在我们一起归纳抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.下面根据抛物线的定义来求其方程，大家先想想一般求曲线方程的步骤.(建系、设点、立方程、化简)

3.抛物线的标准方程：（怎样建立坐标系，使得方程最简单？）

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为

y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（

设动点M（x,y），由抛物线定义得：

pp,0）,l的方程为x=-. 22(x?p2p)?y2?x? 222

化简得： y=2px(p＞0)

通过比较可以看出，第种方法的答案不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是（是x=-

p,0），准线方程2p 24.探究抛物线其他形式的标准方程：

在求椭圆、双曲线标准方程是，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？完成下表（可正常推导，也可以通过图象对称得到） 图形开口方向标准方程焦点坐标（准线方程向右 y2=2px(p＞0) x=-p,0） 2 p 2向左 2y=-2px(p＞0) x=（-p,0） 2 p 2 向上向下 x2=2py(p＞0) （0,p） 2y=-p 2 x2=-2py(p＞0) （0,- p） 2y=p 2

5.抛物线方程特点：（“三看” 抛物线的标准方程）

（1）从形式上看：方程左边为二次式，系数为1；右边为一次项，系数为?2p. （2）从焦点、准线上看：焦点落在对称轴上，准线与对称轴垂直；且原点到焦点与准线的距离相等，均为

p 2(3)从一次项上看：一次项确定焦点、准线及开口方向；一次项系数为焦点非零坐标的4倍. 左下负，右上正;谁一次，焦点在谁上，准线与它垂直.一次变量定焦点,开口方向看正负.

6.例题：

(1)已知抛物线的标准方程是y?6x，求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.

解:(1) ∵ p=3，

∴ 焦点坐标是(,0), 准线方程是x??2323 2（2）∵ 焦点在y轴的负半轴上，且焦点坐标是F(0,-2)

∴ ?p??2 2∴ p?4

∴ 所求抛物线的标准方程是x??8y

7.练习：

变式1 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

（1）焦点是F（3，0）；