2012智轩第二基础基础导学桥 第八章 假设检验

2012智轩考研数学第二基础导学桥系列---概率论与数理统计

第八章 假设检验

2012考试内容

显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

2012考试要求

1．理解显著性检验基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。 2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

一、 假设检验与参数区间估计的关系

1.1 参数?的置信度为1??的区间估计，正好是显著性水平为?的假设检验的接受域。 1.2 区间估计中，假设总体中的参数是未知的，要用样本对它进行估计；而假设检验中，是先

对参数做出假设，再用样本对假设作检验。在某种意义上，假设检验是区间估计的逆问题。 1.3 具有完全相同的8大枢轴量（8大枢轴量详见第七章）。

二、假设检验的基本思想及两类错误与显著性检验

比如，一个人说他射击是高手，我们将半信半疑。怎样才能确定他的话真假，最好的办法就是先假设他是高手或低手，然后让他实际打几枪，根据他射击的结果来检验。如果其射击结果命中率在90% 以上，我们就接受他的说法；如果命中率在50% 以下，我们就拒绝他的说法。但我们的判断也可能犯错误，一是他的确是高手，但在这次射击中失误了，而我们却只根据他这一次的命中率没把他当高手，也就是说我们犯了以真当假的错误—称为第一类错误。二是他本来是个低手，但这次命中率恰好超过了90% 以上，我们却把他当成了高手，实事上我们犯了以假当真的错误—称为第二类错误。这两类错误，我们都尽可能使其概率最小，但实事上做不到，因为它们是此消彼长的关系，因此，我们首先要控制主要错误（又称显著性错误）的概率。

为了说明两类错误主次关系的直观含义，我们引用一个生活例子：某人因身体不适前往医院求医。医生的职责就是通过各种生理检查，根据化验的数据作出该病员是否犯病的结论。然而再好的医生都不可避免会犯下两类错误。一种是病员确实有病，但由于生理指标未出现明显的异常现象，使医生判断为无病。另一种是病员实际上没有疾病，但生理指标呈现某种异常，使医生判断为有病。这两类错误都会导致病员的损失。然而两类错误的损失是不一样的。如果“有病判无病”—第1类错误，其结果可能延误了治病的时机造成病情的加重以致死亡；而“无病判有病” —第2类错误其结果是病员会有一些经济或其他损失，然而对生命是无碍的。因此医生总是尽可能地避免犯上述第1类错误。

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如果用假设检验的数学语言表达即为：原假设H0：该人有病，备选假设H1：该人无病。而生理检验指标就是样本观测值，医生要作的决定即为接受H0或拒绝H0。而拒绝域W即为“生理指标属于正常范围”，而第I类错误概率PH0(W)正是“有病误判无病”的概率。第II类错误PH1(W)正是“无病误判有病”的概率。由于两类错误的影响不同，第一类错误的后果严重，是显著的，故经常要求控制第一类错误概率，即PH0(W)??，其中?是充分小的正数，这也就是显著性检验的由来，?称为显著性水平，注意到此时对第2类错误概率并未提出要求。 当总体的分布函数未知，或只知其形式而不知道它的若干参数的情况时，我们可以根据历史经验或者其他的充分理由对总体分布或者它的参数提出某种假设：例如

，称为原假设或零假设； H0：总体分布是正态分布 或者 H1：?1??10（?10为某一已知常数）而它的否定命题为：

H1：总体分布不是正态分布 或者 H1：?1??10，称为备择假设。

假设检验方案即为寻求一个区间W，一旦样本的观测值落在W内，就作出拒绝H0的决定，故称为拒绝域，W的余集W成为接受域，样本的观测值落在W就作出接受H0的决定。假设检验就是根据取到的样本观测值作出拒绝还是接受假设的决定。

?X????????，当??0.01; 0.05, 0.1等很小的值时，叫做小概率事件，例如：若P???/n??0?小概率事件在一次试验中可以认为是不会发生的，称为小概率原理。也就是说事件

?X???X?????是不可能发生的，在H0:假设????0?下，其中分位数????~N?0,1?。???/n?1??0/n2?0?可查表得到，X??X?????，则小概的值可由样本观察值确定。如果???0代入，有1??0/n?0/n2X?????的拒绝域为1??0/n2率事件发生了，就拒绝H0；反之，接受H0。显然，

??????,??????,??1???；接受域??1??2??2?????, ??1???? ，由此还可以推出?的拒绝域为1??22?。可以看出，它与区间估计的分界点是完全相同的，只是

??X?

?0n?1?? or ??X?2?0n?1??2193

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区域描述不同而已。

三、检验法则（小概率事件，如认为p=0.005时事件不可能发生！）

3-1 数学方法

例 如： 已知X?0.5110,，n?9，X~N??, 0.015?，取??0.05，检验???0?0.5。

?H0:???0?H0:??0.5 解： 我们设? ??H:???H:??0.50?1?1一方面，完全按照区间估计的选用方法选用枢轴量。 已知?2，关于?的假设检验使用枢轴量 Z?由正态总体的定义得 P{Z?z?}??

2X???~N(0,1) ?n P{X??0???}???P{Z????n}???z??2???n????z?2?n

因此 ?0.0?5z0.015??0.009 80.0259故有 P{X??0?0.009?8} 0. 0 5 ①

0.?50.0?110 0.00980另一方面，抽样结果 X??0?0.511?按照小概率原理，由①知 X????0.0098这种情况几乎不可能发生（小概率事件），而抽样结果中居然发生了，说明我们拒绝H0，即??0.5假设不成立，而接受H1（在显著性水平

??0.05下）。

以后，我们一般按照下面的方法解答题目

?????X?????根据原假设H0的意义?P{X??0???}???P???? ?n????n??????X????X?????z?????P?Z0?z???? ?Z0?根据分位数定义? P??n?2??2????n??? ?比较得

???n?z?，显然，只要比较Z0的计算值与分位数的查表值Z?的大小即可，即有结论：

22?a? Z0?Z? 拒绝原假设H0，认为H1正确；

2?b? Z0

?Z? 接受原假设H0，认为H?正确。

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3-2假设检验的符号设定

假设检验的假设包括原假设H0和备择假设H1。原假设H0中一般都要含有“=”，可以是“=”，“?”， “?”，但不能是“?”， “>”或“<”。因为在进行假设检验计算时要将原假设代入统计量，若原假设不含有“=”，则无法将之代入统计量进行计算，这就是原假设H0中一定要含有“=”的原因。

在假设检验中，H0:???0; H1:???0 与 H0:???0; H1:???0是一个意思；

H0:???0; H1:???0 与 H0:???0; H1:???0也是一个意思。

比如要检验参数?，根据不同要求，可以做原假设H0:???0，也可以做原假设H0:???0，或者可以做H0:???0。但不能作原假设H0:???0，也不能做H0:???0或H0:???0。 若原假设为H0:???0，则备择假设可以是H1:???0, H1:???0 或 H1:???0三种情形都可以；若原假设是H0:???0，则备择假设通常是H1:???0；若原假设是H0:???0，则备择假设通常是H1:???0。

3-3 “统计量”的接受域与拒绝域直观求法及一般步骤

3-3-1 为了形象地确定接受域与拒绝域，我们先来看“位置关系”。

设?0为某一固定值，若???0成立，则称?在?0之左；若???0成立，则称?在?0之右；若???0成立，则称?在?0之两侧。这可以通过数轴上点的位置关系形象地理解。 根据原假设和备择假设的不同形式，可以规定H0，H1的位置关系： 若H0:???0（或H0:???0），H1:???0，称H0在左，H1在右。 若H0:???0（或H0:???0），H1:???0，称H0在右，H1在左。 若H0:???0，H1:???0，称H0在中间，H1在两侧。

H1相对H0的位置关系就是H1中?相对于已知量?0的位置关系。

设显著性水平为?，对于不同类型的假设检验，可以用下面的方法确定“统计量”的接受域与拒绝域（一般只写拒绝域）：

找出统计量X，设统计量服从的分布为A（A可以是正态分布、t分布、?2分布、F分布）。判断H0与H1的位置关系，H0对应“统计量”的接受域，H1对应“统计量”的拒绝域。通过

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H0与H1的位置关系形象地确定接受域与拒绝域的位置关系。接受域较大，对应概率为1??，拒绝域较小，对应概率为?，这就可以形象地确定分位点，从而得到各种类型的“统计量”的接受域与拒绝域。

若A的概率密度关于y轴对称，即为偶函数时（正态分布，t分布），根据对称性，接受域可以写为|X|?z1??2，拒绝域可以写为|X|?z1??2。

明确了“统计量”的接受域与拒绝域的概念，就可以进一步得到假设检验的一般步骤。 3-3-2 假设检验的一般步骤如下

根据上面对“统计量”的接受域与拒绝域的讨论，可以进一步得到假设检验的一般步骤： ① 根据已知条件，确定原假设和备择假设，并找出统计量。

② 判断H0，H1的位置关系。根据H0对应概率为1??的接受域，H1对应概率为?的拒绝域的原则，并结合它们的位置关系确定分位点，再利用分位点写出“统计量”的接受域或拒绝域（一般只写拒绝域即可）。

将H0中的等式???0结合样本值代入统计量进行计算，若结果落在“统计量”的接受域，就保留其对应的原假设H0；若结果落在“统计量”的拒绝域，就保留其对应的备择假设H1。 例如，我们再解答前面的例子

?H:???0?H0:??0.5我们设?0 ???H1:??0.5?H1:???0已知?2，关于?的假设检验使用枢轴量 Z?X??0~N(0,1) ?nH0在1??中部，H1在1??两侧，分位数zZ0?X??0?1??2?z1?0.052?z0.975?1.96，拒绝域为Z?1.96。

?n0.511?0.50.011?3??2.2在拒绝域内，故接受H1，即??0.5。

0.0150.0159这种解答方法就具有定势作用，望读者掌握。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5pn2.html