第五章 设计一个合理的教学

第五章 设计一个合理的教学

第3节：“我”怎样设计一节课

相信还没有设计一节成功数学课的“普适性”程序——按照这个程序一步一步走下去就可以设计一个有效的数学教学过程，以后是否有也很难说。

但设计一个合理的数学教学却也有一些基本的准则，遵循它们，我们就可以设计出一节体现数学课程标准理念的数学课。

首先，需要对教学的“合理性”作一个解释。

关于教学的“合理性”有多方面的含义，如：行为合理性、选择合理性、实践合理性、实质合理性等。这里，我们所关注的是教学实施合理性。

教学实施合理性包含：

教学实施合乎目的性——教学实践各要素以实现预期目的为指向，进行相互作用；

教学实施合乎规律性——教学实践各要素要以符合人的认识规律、学生的心理发展规律、社会规律（条件）进行整合，以便最大限度的形成教学的整体效益。

显然，教学目的具有强烈的时代感、相对意义下的最大价值观；而且人们对人的认识规律、学生的心理发展规律的认识，以及所拥有的社会规律（条件）也都依赖于特定的历史条件。因此，“合理的数学教学”就只是一个在现代数学教育观念背景意义下的概念。

或者说，我们这里所说的“合理的数学教学设计”就是指在新课程意义下的，以实现新课程教学目标为指向的、遵循学生数学学习规律的、符合客观现实条件

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的数学教学设计。

数学教学设计受很多因素的影响——包括教学的目标、学习内容、学生的认知特点、教师自身状况和教学条件等。下面我们从几个主要方面入手，加以探讨。 1．

关于学习素材

首先，在数学学习活动中，学生一定要成为积极主动的参与者，而不是一个旁观者，因此，我们设计数学教学活动的第一要旨就是设法让学生主动地参与到数学学习活动中来。这就是说，学习素材（包括内容与形式）一定要引起学生参与到数学活动中来的欲望；

其次，我们所提供的学习素材或任务应当有较高的数学价值——体现基本的、核心的数学观念，包含基本的数学概念与重要的数学思想方法，需要常用的数学技能，或者本身就是经典的数学问题。

课例 猜想与证明 ⑴ 教学目标

① 让学生经历探索与证明数学结论的过程，体验相应的数学思想方法，发展解决问题的能力；

② 通过求解相应的“问题串”，使学生体会到不同数学知识领域之间的联系；

③ 通过反思自己以及同伴解决问题的过程，使学生提出问题的能力得到发展。

⑵ 设计意图

数学本来就是一个整体，许多不同知识之间有着密切的联系，只是因为研究的需要，人们才把她分成不同的分支。基础教育阶段主要包括“数与代数”、“几

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何”、“统计”、“概率”等知识领域。在具体数学知识的教学

过程中，比较容易让学生看到不同“领域”之间内容的差异，而感受不到其间的联系。因此，有必要设计一些教学活动，帮助学生形成良好的数学整体观——这是一个极为重要的数学基本观念。而这样的活动显然不能通过（甚至主要通过）讲解、告之的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟。事实上，综合运用数学知识解决问题的过程也是发展学生解决问题能力的重要途径。

⑶ 教学过程设计：

① 教师提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，使得它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？

② 学生小组研讨，并形成进一步的问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？

师：怎样思考这个问题？能否形成一个“合理”的猜想？

目的在于引导学生形成一个有效的解题思路，例如：考虑：如果已知矩形的长与宽分别为2和1，结论会怎样呢？

（若已知矩形的长与宽分别为2和1，则其周长与面积分别为6和2，所求矩形的周长与面积应为12和4。 若先固定所求矩形的周长——周长为12的矩形很多，它们的长与宽可以是5和1、4和2、3和3，也可以是11/2和1/2??其中是否有面积为4的？也可以先固定所求矩形的面积：面积为4的矩形也有很多，它们的长与宽可以是4和1、2和2、1/2和8?.. 其中是否有周长为12的？）

进一步，如果已知矩形的长与宽分别为3和1，是否还有相同的结论？已知矩形的长和宽分别为4和1，5和1，??n和1呢？

③ 全班交流并证明：一般的，已知矩形的长和宽分别为n和m时，仍然有

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相同的结论。

不同的小组可能出现不同的想法——至少是不同的解题思路，交流有益于相互启发，形成更深刻的认识。

④ 教师提出问题：反过来，任意给定一个矩形，是否也一定存在一个矩形，它的周长和面积分别是所给矩形周长和面积的一半呢？

教师介绍如下的“自然”想法（若学生能够形成则更好）：这个结论应当是肯定的，理由是：既然任意给定一个矩形，都存在一个新矩形，使得它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”；那么，这个旧矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半。例如，长和宽分别为3+5和3-5的矩形（其周长和面积分别为12和4），是由长和宽分别为2和1的矩形“加倍”而来的，后者就满足对前者的“减半”要求。

问学生：你同意上面的观点吗？你是怎样求解的？ 回顾上面几个问题的求解过程，是否有可以借鉴的地方——此时，反思是很有价值的活动，它不但可以帮助学生理解思考对象，更可以使学生在研究方法、研究能力方面得到提高。

⑤ 学生讨论 可以模仿上面的思考过程：若已知矩形的长和宽仍为2和1，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？若已知矩形的长和宽为3和1，4和1，5和1呢？

⑥ 全班交流对如下问题的思考：对于满足什么条件的矩形，存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？

证明所得到的结论。 ⑦ 教师介绍如下的想法：

这个问题是有关图形性质的，而解决问题所用的基本方法是“代数”的。

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但还是可以从“图形”的角度来研究它。

以长和宽分别为2和1的矩形为例。我们知道，它的“加倍” （周长和面积分别是它2倍）矩形满足x+y=6，xy=4（x、y分别是所求矩形的长和宽）。

若固定所求矩形的面积，可以发现：满足要求的（x、y）可以看作反比例函数xy=4的图像在第一象限内点的坐标。这样的点有无数个，也就是说面积为4的矩形有无数个；若固定所求矩形的周长，可以发现：满足要求的（x、y）可以看作一次函数x+y=6的图像在第一象限内点的坐标。这样的点也有无数个，也就是说周长为12的矩形有无数个。

而满足“加倍”要求的矩形的边长x、y就可以看作是反比例函数xy=4的图像与一次函数x+y=6的图像在第一象限内交点的坐标。从图 中看到，这样的交点存在，即满足要求的矩形是存在的。

y O同样的，满足“减半”要求的矩形的边长x、y可以看作是反比例函数xy=1的图像与一次函数x+y=3/2的图像在第一象限内交点的坐标。从图 中看到，这样的交点不存在，即满足要求的矩形是不存在的。

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y ⑧ 提示学生反思上述分析问题的过程，思考：还能提出什么问题？ 这里可以产生许多新的问题，如： 任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，使得它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍？一半？

任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？1/3倍？

对于面积为1的矩形来说，它的周长最小是多少——凡是周长要求小于这个值的矩形都是不存在的；或者，对于周长为3的矩形来说，它的面积最大是多少——凡是面积要求大于这个值的矩形也都是不存在的。

课例分析：显然，这个研究课题对学生具有较强的吸引力：一方面，它与学生的直观多半形成冲突，从而造成一种“悬念” ——究竟解是什么？另一方面，对它的求解很容易“上手”，每一个学生都可以独立进入求解程序，但最终解决还是有一定难度的，这就又造成了一个“悬念”——究竟这么解？

除此以外，这个课题的解决过程牵涉到许多重要的数学思维方式——采用归纳的方式来形成一个猜想，进而用正例来加强对猜想的肯定程度，或用反例来否定猜想的正确性；采用不同的语言（几何与代数）去表述同一个问题（现象），

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O这有助于对问题的理解、也有助于体会不同知识之间的联系。而且在具体的求解过程中，学生需要有较强的基础知识和基本技能——对命题条件与结论的理解；构造与证明命题的基本方法等。 课例：对称 ⑴ 教学目标：

① 让学生经历从图形的“对称”到代数式的“对等”的认识过程，从本质上理解“对称”观念的意义。

② 帮助学生初步掌握分析图形中的对称关系，代数对象中的对等关系的基本方法。

③ 让学生尝试运用“对称”观念解决问题的过程，发展其解决问题的能力。 ⑵ 设计意图

“对称“是一个基本的数学观念——不但在许多几何图形里可以见到它，

在代数表达式里也能够把握到它。甚至在生活中也可以看到它的应用。当我们找到了不同数学对象之间存在的对称关系以后，往往就把握了

这两者之间的实质性联系，甚至可以在“对称”的意义下把它们视为同一

个对象。学生对于“对称”的理解应当有一个递进的过程——从直观的图形对称，到抽象的代数“对等”。

⑶ 教学过程

① 师： 画一条线段，将正方形ABCD分为两个全等的部分。 （这个问题非常简单，每一个学生都可以解决——画出四条符合要求的线段（图1）。

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BPAO师：还有别的线段符合要求吗？ 分析一下上面的答案，图1的四条线段都符合要求，

CQD表明它们一定具备一个共性。是什么呢？从图1中不难发现，这个共性就是：它们都经过该正方形的中心O。如果要寻找满足题目要求的其他线段，恐怕应该先从过正方形中心的线段入手。大家可以试一试。

学生活动。

（如图2，PQ过正方形的中心O，那么，PA=QC, BP=DQ于是，可以说

明两个梯形APQD与CQPB全等了。） ② 师：这样一来，你发现什么了——原来我们可以画无数条线段，

只要它们过正方形的中心O，都可以把正方形ABCD分为两个全等的部分！

反过来呢？请大家叙述自己的结论，并给出证明。 （满足题目要求的线段一定过正方形的中心O。证明略） 学生活动。

③ 师：看起来这个中心O是本题的一个关键点。事实上，它也是正方形中的一个非常特殊的点，我们把它叫做正方形的对称中心。过对称中心的任一直线将正方形分成两个全等的部分；过对称中心的任一直线与正方形的交点都是对称点——相对于对称中心而言，它们的地位相当（称为对等）。正方形也就是中心对称的图形。正方形的这种“对称性”常常可以被我们用来巧妙地解决问题。

例1． 有两个全等的正方形ABCD和MNPQ，A在MNPU的中心，直线AD和MN相交于MN的

14处，图3。问：两个正方形的重叠部分的面积是多少？

分析：正方形MNPQ的对称中心A的特点并没有充分地表现出来，不妨延长BA，DA与PN ，PQ 分别交于S，T后，可知正方形MNPQ被分为四个全等的部分。

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于是，其重叠部分的面积是正方形的。

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UMD

PANCB （图3）

这个求解过程还表明：AD和MN相交于何处乃是虚晃一枪，并不影响问题的结论。

④ 师：还有哪些图形是中心对称图形？你能得到什么样的结论？ （学生活动）

师：首先关注正多边形，你们是怎样思考的？

（学生交流思考方法和结论：正偶数边形是中心对称图形，而正奇数边形不是。）

师：从上面的讨论可以看出：正三角形也具有某种“对称性”——过一条边上的中线，可以把它分成全等的两个部分。这样的图形叫做“轴对称”图形——存在一条直线，把该图形分成全等的两个部分。这条直线叫做对称轴。轴对称图形只有与对称轴垂直的直线与图形的交点才是对等的。其它的正奇数边形呢？大家可以猜一猜。

（学生可以猜到：所有的正奇数边形都是轴对称图形）

⑤ 师：我们能够得到的结论是：正奇数边形都是轴对称图形，正偶数边形都是中心对称图形。而中心对称图形又显然是轴对称图形。因此，从对称的意义上来看，中心对称图形更完美一些。

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那么，除去正偶数边形，还有没有中心对称图形了？想一想我们熟悉的图形。 （矩形、菱形、平行四边形和圆都是！）

⑥ 对称性质的应用

图形的对称性通常表现为上述点或直线之间的“对等”性。而这种对等性又可以给我们的解题带来很多启发。

例2．在一切周长相等的三角形中，以什么三角形的面积最大？

分析：这个面积最大的三角形一定具有某种特点。从边长的角度来看，根据三角形面积的海伦公式

S=p(p-a)(p-b)(p-c)

我们发现，在形成面积时，三边是对等的——没有理由去突出哪一条边。因此可以想象：以正三角形的面积为最大。

类似地，在周长相等的四边形中，哪一种四边形的面积最大？ （按照上面的分析思路，我们可以知道，以正方形的面积为最大。） 事实上，我们可以得到哪些合理的猜想？

（在周长相等的所有n边形中，以正n边形的面积为最大； 在周长相等的所有封闭平面曲线中，以圆所围的面积最大——圆是最“对称”的图形：相对于圆心（也是对称中心）而言，圆周上的任何一点都是对等的。）

在我们所遇到的问题中，更多的情况是解题所需要的对称性并没有明显地表露出来，而要靠我们领悟和揭示。

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例3． 用一条最短的曲线，把一个等边三角形分成等积的两个部分。 分析： 如图6，所求曲线的起，终点必定都在该三角形的边上，否则就不是最短（为什么？）。

l2l1A于是，考虑两种情况：

BC（1） 起，终点在同一条边上； （图6） （2） 起，终点在两条边上。

由等边三角形自身的对称性，估计所求曲线也应具有某种对称性。 对于（1），设l1 是所求曲线（图7）。但l1 本身并未表现出对称性，补上l1关于BC的对称形l1’，及A关于BC的对称形A’BC，

Al1Bl'1CA'图7

于是，对称性就显露了：若l1 为满足要求的最短曲线，则l1 与l1’所围的面积是S▲ABC，且l1 与l1’形成圆，即l1 是半圆。

对于（2），起，终点在两条边上。同样可以作一个对称图形(图8)——六个同样大小的正三角形组成一个正六边形；

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Al2BC图8

若l2 是满足要求的最短曲线，则相应的对称曲线l2 与l2’所围成 的面积是3S△。作为最短曲线， l2 与l2’应形成一个圆.

比较l1与l2的大小，得：l2 < l1，

故所求最短曲线是l2。 ⑦ 代数中的对等及其应用

师：上面我们看到了在几何图形中所存在的对称现象，以及它对求解几何问题的有效作用。那么，代数中是否也有类似的“对称现象”？先看一个问题：

1a1b1c例5． 若 a，b，c>0 且 a+b+c=1，试求 S=(a+最小值。

)2+(b+)2+(c+)2的

分析：在这个问题中，a，b，c所处的地位是完全平等的——在条件式以及结论式中两两互换a，b，c，都不改变原问题。此时，我们简称a，b，c对等。这种对等显然是一种“对称现象”。对该问题而言，可以想象最小值应当在a=b=c时取得（可以验证）。

这里，“对称”的概念已经由位置上的一种“平等”关系上升为性质上的一种“对等”关系。并且由几何范围延伸到了代数范围。事实上，这里还可以形成一种直观的认识——在条件中处于“对等”地位的元素，在结论中也必定处于“对等”的地位。

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例6．解方程组：

?x?y?z?6? ?xy?yz?xz?11

?xyz?6?分析：由于x，y，z在条件式中是对等的，故其在结论式中也应当对等。即若能求得一组解（x，y，z），则可以得到另外五组解（x，z，y），（y，z，x），(y，x，z)，(z，x，y)，(z，y，x)。如果你这时一眼看出一组解（1，2，3）则问题得到解决，否则可以应用韦达定理去得到一组解。

课例分析：从学生生活经验角度来看，对称是一种“图形特征”。但从数学角度对它加以研究时，我们所关注的是它的数学本质属性——地位对等，无论是从数学对象的位置、形状、还是从其性质的角度。这里，从几何现象到代数现象的研究过程可以清晰地揭露出对称的这一本质。

不仅如此，事实上，这里所呈现的还是一个深刻理解数学观念的途径示范

过程，它也给那些对数学学习有着特殊要求的学生提供了一个进一步发展的机会。

一般而言，在设计具体素材时，从学生已知出发,通过把要学习的课题和

素材与学生的实际(知识或生活等)相联系,可以帮助学生构建对知识的更深刻的理解——这是建构型教学的基石.而这里,“关联”并不一定事先就告诉学生,可以通过鼓励学生通过不断地研究新的学习素材和解决问题而感受到这种“关联”. 2．

关于学习方式

学生的数学学习不能只是模仿、记忆、计算等低思维水平的活动，还应当要有

动手实践、自主探索、合作交流等高水平的思维活动。为此，数学教学活动中应考虑给学生留有从事探索、思考的时间与空间，给学生创造表达自我理解、与同伴交流的

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机会。

课例 “点火”还是“灭火”

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授课内容——不等式复习。课上有这样一道练习题：

若x为锐角，求函数

acos22x?bsin22x（a?b?0）的最小值。

教学过程一：启发学生思考，获得如下解答：

因为

acos22x?bsin22x?2acos22xsin?b22x

当且仅当

acos22x?bsin22x时等号成立，

从中解得 cosx?2a222a?b

同理 sinx?2a222a?b

代入上式得 2acos22xsin?b22x?2(a?b)

22所以

acos22x?bsin22x的最小值为2(a2?b2)。

师（看完解答）：答案是否正确？ 学生（齐声）：正确。

教师引导学生回忆应用基本不等式 a?b?2ab时需要注意的三个条

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件——“正、等、定”，即a，b必须取正值，当a×b为定值，且a＝b时，a＋b取得最小值。

通过启发，学生发现了上述解题过程不符合“定”这一条件。不过，还是有学生不明白，站起来辩解，

生1：“把cos2x和 sin2x的值代人后，不就为定值了吗？” 师（面带笑容）：“那不行，必须先为定值。” 生1：“为什么不行呢？”

师（仍然不慌不忙）：“至于为什么，课本上对此没有要求，它也超出了高考要求的范围，我们在这里不作研究。”

学生若有所思地点点头、坐下。 教学过程二：前面类似。

生：使用基本不等式，为什么必须先确定为定值，而代人后为定值就不对？ 师（顺水推舟）：“这个问题大家可以来讨论。”

学生们争先恐后地发言、争辩，参与程度很高。然而，直到下课铃声响起，也没争个水落石出，但这时已基本形成了两种意见：

甲方认为，若为定值，只要等号成立，这个定值就是原来函数的最值；若不为定值，即使用基本不等式得到的仍为一个新的函数，将等号成立的条件代入此式才得到的这个定值，它只是两个函数图象交点处的一个函数值，它不一定是原来函数的最值。

乙方认为，既然f1(x)?(?)f2(x)成立，无论f2(x)先为定值还是代入后为定值，只要等号能成立，这个定值就是原来函数的最值。

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但双方都不能很好地说服对方，越争越激烈，大家只好把求助的目光投向老师，教师一时也拿不出满意的答复。这时课已拖延好几分钟，只得就此结束。

纪敬

课例分析：从上述记录中可以看出：教学过程（一）所展现的出来的是一种“圆满完成任务”的结果——学生若有所思地点点头、坐下，不再有疑问了，课在数学方面显得“滴水不漏”。但“问题并未得到解决”——尽管学生的知识准备和认知水平已经“够得上”去解决它，而且也深刻地感受到解决它的必要性，还是因为“课本上对此没有要求，它也超出了高考要求的范围，所以我们在这里就不作研究了”。

教学过程（二）则明显地没有解决学生所意识到的这个问题——甲、乙双方都不能很好地说服对方，越争越激烈，?教师一时也拿不出满意的答复。这时课已经拖延好几分钟，只得就此结束。

对学生而言，在教学过程（一）中，他们再一次“听到”：应用基本不等式

a?b?2ab时a，b必须取正值，当a×b为定值，且a＝b时，a＋b取得最小

值。此时（或许在近期），他们使用这个公式时会小心翼翼地先判断“a×b是否为定值”——尽管他们或许不理解“a×b一定要为定值”的原因，但做类似的题目时总是出错的可能性减少了。不过，一旦遇上改变了形式的“类似问题”时，或者间隔了一段时间以后，犯类似错误的可能性还是很大的——因为他们只是反复“听到”这个要求，而且许多教学实例（包括本书中的一些案例）也都证明了这一点。

而在教学过程（二）中，教师通过引导学生提出问题、探究问题，使得学生开始关注“在应用基本不等式 a?b?2ab时，‘为什么’要满足‘a×b为定值’”的条件，了解“定值a×b”与所要求的最值有什么关系，甚至，理解“最值的含义”是什么等相关问题。问题虽然没能当场得到解决，留下了一点遗憾——或许就是留下了一个极好的探索空间，因为这可以在下次课上引发更为深入、

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成熟的探讨。假以时日，学生对相关问题的理解将会上一个台阶。

更重要的是，从教育的意义来看，类似于教学过程（一）所带给学生更多的是：对数学知识的理解主要关注的是“是什么”、“怎么做”，而不是“为什么”；对数学知识的掌握则重在熟练、准确地运用它去解决类似的问题；权威（书本或专家、老师）给出的结论是不需要怀疑的，面对它时，我们的任务就是接受、模仿与记忆?等观念。

而类似于教学过程（二）所带给学生更多的则是：对于数学知识的理解，不仅要知道“是什么”和“怎么做”，更应当要弄清楚“为什么”——真理永远是第一位的。

从教学的角度来看，这两种做法可以形象地描述为“灭火”与“点火”。教师应当努力设法去做引发学生积极探索的“点火”者，而不是“灭火”者，因为这对学生一般能力的发展有着长远的影响。

正如我们在第二章所表述的那样，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。我们认为，学生这样的数学学习过程是一个构建自己对数学知识（方法）的理解过程——每一次学习活动都会对相应的学习对象形成一定的理解，而这样的构建过程是需要时间的。足够的独立思考与交流时间有助于学生反思并重组自己新的数学活动经验——这些经验是什么含义，它是如何在已有的知识背景基础之上形成的,以及他人的不同理解对自己而言意味着什么等等。最终，这些条理化了的经验就形成他们对数学的理解。

在这个思考之下，我们可以对前面的“一类数列通项公式的求法”给出一个新的教学设计。

课例 一类数列通项公式的求法——另一种设计

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师：到现在为止，我们所研究的数列都是等差数列或者等比数列。但现实

情形中有许多形式很简单，但既非等差，又非等比的数列（可以举例）。我们能不能求得它们的通项公式呢？

问题一。已知某数列?an?的首项a1＝１，且 an=2an?1+1（n? 2），求它的通项公式。

让学生独立思考、相互讨论，教师则巡视。一旦发现有部分学生已经获得求解的途径或问题的答案（许多学生很容易得到解），让他们表述自己的解。

师：这数列的通项确实很简单， 1，3，7，15，31，?大概我们都同意，它的通项公式“一定”是 an=2n-1。不过，这个“一定”还需要证明一下，要不谁能保证到了第一千项以后不会有意外呢？

问题二。你能证明自己的猜测吗？

（很自然地提出一个学生需要做，并乐于从事的活动。）

仍然可以先让学生自己活动：独立思考与相互合作相结合。而且，学生的解题途径可能与教师的预先设计相同（在递推式两端加上1），也可能不同（从原数列1，3，7，15，?进而注意到其相邻两项的差依次是 2，4，8，16，?，也可以获得求解的途径）。让学生交流一下自己的想法。

师：现在，我们可以处理更复杂一些的问题了

问题三。已知某数列?an?的首项a1＝60，且 an=an?1+60 (n?2) 求其

51通项。

还可以先是学生自主活动：可能是模仿问题一，递推式两边加上1，15，30，?但行不通。简单地凑数字未能奏效，会导致学生去思考问题的核心是什么，问题一求解的关键在哪里（可以是教师引导学生去思考这些）。进而寻求有效的

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解决方法。有必要可以让一个学生作“抛砖引玉”式的发言，以引起讨论。最后，时间允许的话，让学生自己设计几个类似的问题，相互间求解。

课例分析：这一教学过程的表述看起来很简单，但实施起来相当复杂——主要原因在于我们无法事先完全确定学生所可能提出的问题，遇到的困难和表现的理解水平等等。而这一切又都是教师所必须给出评价，回答和帮助的。因此，这种教学设计和实施对绝大多数教师而言是一种挑战，一种对其数学教学观念，教学素养，应变能力和专业水平的综合检测。其教学难度远非“教师讲——学生听”的模式所能比的。

有研究表明，学生在建构主义观点指导下的数学教学活动中，同样可以获得在传统数学课堂里所得到的数学知识与数学技能，但迁移得更多，而且对数学有着更好的态度。

3．一些数学教学设计案例

在实际教学过程中，服务于不同教学目的的课通常有不同的教学要点，这在教学设计中也会有具体的体现。以下是一些常见课程形式的设计案例。

⑴ 知识形成的教学设计

课题：发现一类具有某种特性的实数数列﹛an﹜，例如：对无穷多个n而言，an=0。

⑴ 教学目标：

① 让学生经历知识的产生与形成过程； ② 发展学生的创造性思维； ③ 帮助学生综合数列的相关知识。

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⑵ 教学过程

师：当我们谈论一个数学对象时，最好能够先给它起个名字，这里的数列﹛an﹜我们可以把它叫做“断续数列”，你们同意吗？还有其他合适的名字（笔者注：给对象起名字，实际上也是对它所满足的数学特性的一种形象化语言描述。究竟采用哪个名字不是很重要，起名字的过程就是熟悉对象、表达自己对于对象的了解的过程。）

师：断续数列存在吗，为什么？（笔者注：让学生借用寻找“正例”的方式，说明断续数列的存在性。这一活动本身既是熟悉对象的过程，也为后续的活动做准备。这一任务可以有不同程度和不同水平的完成，交流

各自的结果有益于对问题的理解）

所有的数列都是断续数列吗（笔者注：借用寻找“反例”的方式，说明结论是否定的，这也是一种数学证明的方法。）

断续数列有哪些数学性质，比如说：两个断续数列的和还是断续数列吗？两个断续数列的积呢（笔者注：对于数列基本知识的一个复习过程。）

你能找到断续数列的其他数学性质吗（笔者注：综合运用所学相关数列知识的过程，是一个极好的创造性活动机会。若学生之间以交流的方式了解彼此的想法，则每一个人的收获都会更大。）

断续数列与其他数列有什么关系（笔者注：仍然是一个综合运用所学相关数列知识的过程，和一个极好的创造性活动机会。相信对每一个学生而言，都能够得到一些答案，也都具有挑战性，也就是说，这是一个面向全体学生的数学问题——所有的学生都能够在探索与交流的过程中获益。）

要求学生回顾上面的研究过程，整理一个有关断续数列的小知识框架：它的起点是什么？有哪些基本结论？不同结论之间的逻辑关系是什么（笔者注：这是一个整理数学知识、构建数学知识结构的过程。学生通过具体的活动可以感受

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到：“数学是可以创造的”，概念是创造的源头，数学知识之间的关系是数学知识结构的基本要素??）

课例分析：数学是哪里来的？我们能够创造数学吗？学生学习数学的任务是什么？??

我们许多学生在学习数学的过程中，很少有意识地思考这些问题——尽管他们在潜意识中对此都有自己的看法：数学是由数学家（一群非常聪明的人）创造的，学生学习数学都只是接受、模仿和记忆。而这些想法对他们的学习态度、学习方式有着极为明显的负面影响。

这一个教学设计显然对此有着明显的冲击——我们也能创造数学；数学学习过程存在着大量的探索与交流、猜测与论证、发现与整理的活动。

值得一提的是：这里也表现出对基础知识与基本技能的一种新的处理方式——让学生在解决问题的过程中复习旧有的基础知识与基本技能，而不是单纯的做复制性练习。

实际教学过程中，学生们在探索“断续数列有哪些数学性质”和“断续数列与其他数列有什么关系”时，可能找到许多数学性质，甚至有一些是教师事先未能考虑到的，对教师而言是一个挑战性活动——也许“我”不能对学生所提出的猜想都给出令他们满意的答案，但这很关键吗？

⑵ 建立定理的教学设计 课例 探索三角形全等的条件1 ⑴ 教学目标：

① 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

② 掌握三角形全等的“边边边”“边角边”“角边角”条件，了解三角形的

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稳定性．

③ 在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．

⑵ 设计意图

三角形全等的判定条件原本可以采用比较简单的“直接给出ＳＡＳ，ＡＳＡ和 ＳＳＳ等条件，让学生分别做出符合条件的三角形后，经过比较确认这几个条件”的教学过程。但那是一种“传授”的模式，以接受知识为最终目的。而作为一种探索性学习方式，教材安排了比较充分的实践、探究和交流活动。活动围绕核心问题“需要怎样的有关边或角的条件才能做出与已知三角形全等的三角形，即需要怎样的边或角的条件才能保证两个三角形全等”展开。基本思路是：条件能否尽可能少？一个条件行吗？两个条件、三个条件呢？ ⑶ 教学过程

① 教师呈现问题情境：要画一个三角形与已知三角形全等，需要几个边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件??

只给一个条件行吗——一条边或一个角，大家画出的三角形一定全等吗？（目的是明确问题的含义）

② 师生讨论：给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下做出的三角形一定全等吗？

主要目的在于让学生经历“做数学”的过程。因此，首先鼓励学生自己设定进一步的条件，形成猜测，随后设法证明所获得的猜测，形成确定的结论。

③ 师生讨论：如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？

除了服务于形成“定理”的教学目标以外，这一活动还有让学生获得重要的

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数学方法的意图，因此，这里首先应引导学生关注“如何给三角形分类？”这样的任务。

④ 类似于②的工作——学生自己设定进一步的条件，形成猜测，随后设法证明所获得的猜测，形成“定理”。由于这里的结论比较复杂，所以需要逐个探讨。

⑤ 学生归纳以上探索性活动所获得的结论，以“定理”的形式将结论呈现。 课例分析：作为一种新型的教学模式，这里实际上反映出对数学、对数学教学的新思考。正如前面所转述的弗洛登太尔所说：

数学是现成的——作为结果，它是静态的、固定的，清晰的、没有矛盾的。学习者的目的是了解它的意思，并能够模仿与复制它；

或者数学是做出来的——作为活动，它是动态的、可创作的，结论或操作程序未知的。学习者的目的是理解其意义，寻求在合适水平上的合理解答，数学方面的漏洞可以随着学习的深入逐渐弥补。

这里自然是将数学作为“做出来的”来看待。因此，数学学习就是一种认识活动，而建立在这一基础上的教学方法就是“再创造”的方法——学生在教师创设的数学学习情境中，通过自我思考、与同伴和教师的交流，“创造”了自己所理解的数学。而且，这样的教学方式不仅有助于学生理解数学，还有益于他们获取比单纯知识（结论）本身更重要的东西——数学方法、数学能力和对数学的积极情感。比如：在讨论问题活动中，学生通过画图、观察、比较、推理、交流，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论．在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动的经验．

⑶ 整理知识的教学设计

课例 有关平行四边形的一个问题

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⑴ 教学目标

① 通过解决问题的活动，让学生整理相关知识，了解不同知识之间的

联系，达到复习的效果；

②

提高学生观察问题和分析的能力．

⑵ 设计意图

学生学完平面几何基础知识复习以后，需要有一个整理知识、总结学习内容的过程。本节课教学设计的思路是：首先给出一个比较一般化的问题，然后，让每个学生根据自己的观察和已有的水平，尽可能独立得出图形中有关角、线段、图形、面积的有关结论．在此基础上，师生共同进行补充和讨论，达到复习的目的。

⑶ 教学过程

① 教师提出问题：如图１，四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，ＡＢ，ＣＤ的中点分别为 Ｍ，Ｎ。ＡＣ与 ＤＭ，ＢＮ分别相交于Ｐ，Ｑ．试就有关图形的形状、大小和关系得出尽可能多的结论．

教师提出题目的条件，让每个学生都各自在纸上画好图形，然后一面让学

生观察图形，一面说：在这个简单的图形中有角。线段、三角形和四边形，请你从各个角度考虑它们之间的大小、形状等各种关系，得出尽可能多的结论． ② 要求学生在各自的纸上写出得到的结论，一段时间后，叫几位学生口述

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所得的结论．

本题可以得出的结论有：

? 角的相等 对顶角 四对 内错角 六对 外错角 二对 同位角 四对

平行四边形的两对角 四对

由判定定理 ?ADP??CBQ,?AMP??CNQ

? 角的互补 邻补角 十对 同旁内角 八对 同旁外角 二对 ? 直线的平行 三对 ? 平行四边形 MBND为平行四边形 ? 全等三角形 五对 ? 全等四边形 一对

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? 线段的相等 平行四边形对边 四对

全等三角形对应边 五对（不重复计算）

ＡＰ=ＰＯ＝ＱＣ 线段成比例

MPBQ?NQDP?MPDP?NQBQ?12

? 面积的比例关系（如图２）

Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ＝1：2：3 Ⅰ：SABCD=1:12

③ 对上述学生各自独立作答的结论，组织同学讨论（必要时可重复类似的过程，以便将问题逐步引向深人）。其中，为提高学生的观察能力，对于有多个答案的问题（如内错角相等）应力求将全部答案列出。

④ 收集学生作答的情况，进行分类统计，分析不同结论之间的数学关系．

戴再平

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课例分析：怎样上复习课？这是一个老的话题，答案多种多样。可以肯定的是：复习不一定非要采用“教师讲解知识框架、学生记忆解题方法”的形式（实际上，这样的形式有很多弊病）。如何有效地进行平面几何基本知识的复习，本教案提供了一种全新的教学模式．设计者没有采用罗列概念定理，分析典型题目的方式，而是直接提出一个常见的几何问题，题目是开放性的，不是计算或求证某个结论，学生可根据自己已有的水平，通过观察、推理，得到许多结论．有利于学生回顾自己学得的知识．在此基础上，通过学生个别回答，师生共同补充讨论每个学生都能在原有的水平上获得提高．在此过程中，学生的观察能力得到发展，分析问题、解决问题也得到发展。而且，创造能力也得到一定的发挥．其复习效果是十分明显的．特别是，在这样的教学活动中，无论基础好坏，每个学生都有事做，都有所得．通过讨论，能很好地促进学生的合作交流能力，而这正是现代教育对数学教育的要求．

⑷ 问题解决的教学 课例：直觉 猜想 证明1

师：问题 若y=f(x)， 且 f(ab)=f(a)+f(b) (1)

ab 求证： f(

ab)=f(a)—f(b) (2)

生1（证明）： 视

ab=A， 则 a=bA， 由(1): f(a)=f(bA)=f(A)+f(b)

所以， f()=f(a)+f(b)。

师：证明已经完成。但我希望大家再仔细地看一看这个函数f(x)，是否有似曾相识的感觉？

（让学生经历解题后的评价或反思的活动。而较为“一般化”的问题有助于学生广开思路）

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学生： ??？

师：注意一下a与b之间的运算关系的变化?

（学生一时不能把握住想象的线索，可以适当明确思考的主线）。 生（几个）：原先是a与b相乘，后来变成了f(a)与f(b)相加。那不是对数函数吗？

师：有什么联想？

生2：由（2）的证明过程可以得到“两个数商的对数运算公式”（即logamn=logam—logan）的另外一种证明方法：

mnmn因为：loga m=loga(

mnn)=loga+logan，

所以loga=loga m—logan。

（这里，若学生没有很快发现这一点，教师可以给予适当的提示——（1）式与（2）式各表明了什么样的对数运算等）

师：还有没有其它的函数满足性质（1）？ 生（几个）：好象没有了。

师：因此我们可以得到一个猜想是?

生2：符合性质（1）的函数一定是对数函数。 师：可以肯定吗？（很自然地诱导出对证明的需求）

生2：差不多。比如，在（1）中令：a=b=1， 得到 f(1)=f(1)+f(1)， 即 f(1)=0。 而 loga1=0。

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生3：不过对数函数的定义域是x>0，而这里的函数f(x)可以取任意值。比如，取a=0，则f(x) =0（是常数函数而不是对数函数！）。

生4：还可以取a=b=-1，由f(1)=f(-1)+f(-1)，而且，f(1)=0，得到 f(-1)=0，但是loga（-1）也是没有意义的。

（学生此时所经历的是一种比较自然的论证过程——首先是感受猜想的可靠性与准确性，然后去设法证明其正确性，而不是就去进行逻辑证明。而且这种“自然“的过程往往有助于学生发现证明的方法。） 师：可以改变原先的“猜想”吗？

生（几个学生略为思考与讨论后）：设y=f(x) (x>0)，而且满足f(ab)=f(a)+f(b)，那么f(x)一定是对数函数或者恒为零，即，f(x)=clogax （c?0），或 f(x)=0。

师：这次可以肯定吗？能够证明吗？（以下过程略）

课例分析：这是一个较为明显的发现式教学设计——让学生经历一个“发

现式”学习过程：从提出问题，给出猜测性结论到构想解决问题的思路。不同的班级所经历的教学活动可能不尽相同；不同背景学生的“收获”也不一样。但他们都通过自己的主动学习——独立思考或者与他人的交流，去“发现”对自己而言是全新的知识。教师的作用不再是提供现成的结论，而表现为：设置一个有益于学生“主动介入”的学习情境，提供“有利于思维发展”的学习活动；在活动中引导学生去思考，探求合理的结论与解决问题的思路；在学生需要的时刻提供必要的帮助；营造一个“理解他人，尊重科学和表达自我”的学习氛围。

对于认知发展与教学方法之间的关系，布鲁纳认为：由于学生的学习主要遵

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循自己所固有的认知程序，因此，教师的职责在于“把知识转换成一种适应正在发展着的学生的形式，通过设置一个适当的学习情境，去帮助学生获得一种认知的发展”。由此，布鲁纳提倡使用“发现式”的方法去从事教学。

这里的“发现式”学习是指学生在数学学习的过程中以一个探究者的身份积极，主动地介入学习活动，经历知识的形成过程。通过自己的观察，思考，尝试，推理和相互间的交流去“发现”那些对自己而言是全新的知识。教师的作用则在于创设一个有益于发现式学习的情境，而不是提供现成的结论（认识是一个过程，而不是一个产品——布鲁纳）。因此，布鲁纳特别强调要注重学习的过程，而不只是学习的结果。

布鲁纳曾专门列举了六种有利于学生智力发展的教学基本策略：

● 帮助学生从对特定现象和问题的反应中脱离出来，重建自己一般性策略并有效控制自我反应，从而形成自我的，符合社会群体的反应；

● 根据特定的学习情境，帮助学生形成“转变外部事物为内在结构”的能力，由此而发展其从特殊到一般的思维能力。数学教学中学生直觉能力与创造性能力的培养就显得非常重要；

● 提高学生使用抽象符号以获得超越给定信息的能力。数学教学中让学生经历“一般化”，“概括化”等思维活动，以从直观，特例中获得更一般的发现是非常有意义的教学策略；

● 学生的智力发展有赖于师生之间，学生之间系统的，建设性的交流活动。在许多情形下，创设一个“交流”的机会和氛围是非常有效的教学策略；

● 合理的使用语言可以有效地促进教与学的进行。教师应当帮助学生有效地使用多种语言表达自己的理解。教学中教师自己更应当尽可能地使用不同的语言去表达同一数学对象；

● 同一时刻处理多种信息的能力提高是智力发展的重要标志之一。教师

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在教学中可以就一个问题情境提供多种形式，甚至相互间有冲突的信息，以培养学生在复杂情况下作出理智选择与判断的能力。

课例 做数学能力的培养

证明一个又一个现成的数学结论，这固然重要，但囿于结论已定，可供研究的领域就小。能否在一个问题的基础上，给读者以自由想象的时间和空间，用以提高研究能力？下面是 “师生互动”方式的一个教学实例。

问题一 P是正⊿ABC内任意一点，P到三角形三边距离之和为S，证明：S的值与点P的位置无关。

这是你已证过的问题，只不过在叙述上略有改变，它是说，当P点在⊿ABC内运动时，S的值不变——始终为三角形一边上的高这个常量，或者说，S的值不受P点位置的影响。

如果P点运动到正三角形的周界上，S的值仍然不变吗？ 学生：不变。S的值仍旧等于高h。

师：如果P点越出三角形，点P到三角形三边距离之和S还是不变吗？ 生：（脱口而出）变了，P点越远，S的值越大。 师：“P点越远”何所指？ 生：??

师：点到直线的距离有远近之分，点到点的距离有远近之分，点到正三角形的距离是否也有远近之分？——这是我们前所未闻的概念。

生：P点到正三角形中心点O的距离有远近之分，我们能否用P点到O点的距离来规定P点到正三角形的距离呢？

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将正三角形退缩为一点，想法合理，这项建议立得公认，于是问题可以继续研究下去。

问题二 P点在⊿ABC的外部，P点到⊿ABC中心点O越远，则P点到⊿ABC三边距离之和越大吗？

学生：凭直觉，我猜想OP越大，和S越大。

师：我对这个猜想是持怀疑态度的（大出学生意料之外！）

教师不支持学生的“猜想”，这并不是坏事，因为，科学是来不得半点虚假的。果然，下次上课前就有几为学生“倾向”教师一边，他们举出反例：

反例之一 设?ABC是单位圆O的内接正三角形（图1），AO的延长线交BC于M，交圆O于P1，AB的延长线交过P1的切线于P1，则AB=3，A P2=

AP1cos30?=

43。

AOBP2MP1CP3D 图1

S1与S2分别是点P1、P2到三角形的三边距离之和，则 S1=P1B+P1C+P1M

1252 =1+1+=；

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S2=0+APsin60°+

12=

43·

32+

12=

52。

得结论：尽管P1O?P2O，但S1= S2。 反例之二 （续上例并参考图1）

1?1?1AC延长线交过P1点的切线于D，P3是CD的中点，则AP3?24?7 ?cos3023,所以 S3?AP3?sin60??14?74,

于是又得结论：尽管P1O?P3O，但S1＞S3。

再把这两个反例放在一起，得到P1O?P3O?P2O, 而 S1= S2＞S3

的现象！这又说明“猜想”不成立。

教师：“问题二”虽然解决，但“和S的不变性”却被三角形外部的点破坏了，这不能说不是一件憾事！能否变“憾事”为“快事”呢？或者说，在某种规定下，仍旧保持“和S的不变性”呢？这是我们进一步研究的问题。

学生：（全神贯注）

教师：许多问题在小学的算术数内很难研究，一旦进入有理数，数有正负之分以后，有些问题研究起来就方便多了，例如，算术中的减法性质完全可以由加法性质来代替。

点到直线的距离本无正负之分，如果我们改变这个习惯，使得点到直线的距离也有正负之分，“问题二”能否再研究下去呢？——当然，我们的目标使要保持“和S的不变性”，如果这个目标能实现，那么这种“不变”的和谐性正是数学内部的美的一种表现，当然，要挖掘这种内部美是要花费一点气力的。

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学生：（全神贯注，心向往之，谁不渴望美的享受呢？）

教师：问题的关键是引入距离的正负。正?ABC的三边所在直线将平面分成7个区域（图2），这7个区域有三种类型：如图的1、2、3，相应的周界边也包括在内。

3A1B2C

图2 我们做如下规定：

（1） 如果P点在区域1内，则P点到三边距离都是正量；

（2） 如果P点在区域2内，则P点到直线AB与直线AC的距离为正量，

而到直线BC的距离为负量；

（3） 如果P点在区域3内，则P点到直线AB与直线AC的距离为负量，

而到直线BC的距离为正量。

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ABP 图3 在上述规定下，我们可得：

C 结论 设P是正?ABC所在平面内的任意一点，那么P到三角形各边距离之和为常量（正三角形的高h）。

现就区域2的点P证明如下：连结AP、BP、CP，设?ABC的边长为l，高为h面积为△，则

△ =?PAB的面积+?PCA的面积-?PBC的面积，

112即 lh?2l(|hAB|?|hCA|?|hBC|)或h?|hAB|?|hCA|?|hBC|

∵hAB,hCA为正量，hBC为负量 ∴h=hAB+hCA+hBC

即P点到三边距离之和为常量h。 同法可证区域3的情况。

本来，问题写到这里就可以结束，但

教师：如果将“问题”中的正三角形换成正四边形、正五边行、正六边行、??，相应的“问题”又将如何呢？

??

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如果再将正多边形换成正多面体（只有5种），情况又将如何呢？?? 这只有待学习立体几何时再去研讨吧！

应当说，设计一个合理的教学是没有一定的程序的；不过，设计一个合理的教学是有一定之规的，这个“规”就是数学教育的基本规律。这里所介绍的做法都是以特定的基本规律作为前提的，否则我们无法说明其合理性。但是，这并表明这里所介绍的课例都是“样板”。事实上，我们更愿意把它们看成是一个“样例”——符合我们所遵循的基本教育理念的，带有一般意义的“例子”，它们都是用来说明问题的。因此，对它们的任何改进都是可以尝试的。

主要参考文献

1．P．J．戴维斯 R．赫什 著 数学经验 俞晓群等 译 南京：江苏教育出版社 1991

2．D．A．格劳斯主编 数学教与学研究手册 陈昌平等 译 上海：上海教育出版社 1999

3．R．Biehler主编 数学教学理论是一门科学 唐瑞芬等 译 上海： 上海教育出版社 1998

4．H．Freudenthal著 作为教育任务的数学 陈昌平等 译

上海：上海教育出版社 1995

5．张奠宙主编 数学素质教育教案精编 北京：中国青年出版社 2000

36

6．马复主编 义务教育课程标准实验教科书 教师用书（数学7-9年级） 北京： 北京师范大学出版社 2001

7．马复编著 中学数学思想方法初论 合肥：安徽教育出版社 1993 8．李士琦 李俊主编 数学教育个案学习 上海： 华东师范大学出版社 2001 9．马明著 马明数学教育文集 北京：首都师范大学 1994

10．G．Leppan等著 Connected Mathematics Project USA：Dale Seymour Pbunications 1997

11．肖柏荣主编 高中数学典型课示例 北京：人民教育出版社 2001 12．李文林著 数学史概论 北京：高等教育出版社 2002 13．M．Kline著 张祖贵 译 西方文化中的数学

台湾： 九章出版社 1995

14．L．A．Steen主编 胡作玄等 译 站在巨人的肩膀上

上海：上海教育出版社 2000

15．J．Dieudonne 著 沈永欢等 译 当代数学——为了人类心智的荣耀 上海：上海教育出版社 1999

16. J.Hiebert: Concepturl and Procedural Knowledge—The Case of Mathematics LEA 1986

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5pmg.html