重庆市一中2011届高三最后一次模拟考试数学（理）试题

绝密★启用前

数 学 试 题 卷(理科) 2011.5

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M= {x|y?ln(1?x)}，集合N?{?x,y?|y?ex,x?R}(e为自然对数的底数），则M?N= （ ） A．{x|x?1} B．{x|x?1} C．{x|0?x?1} D．?

2i4，则z= （ ） 1-iA．4 B.?4 C．4i D．?4i

1imSn? （ ）3.在各项均为实数的等比数列?an?中，a1?4,a4?，则l n??22.已知复数Z?A. 2 B. 8 C. 16 D. 32

4.过点A?1,4?，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.在(0,2?)内，使sinx?cosx成立的x的取值范围为 （ ） A.[

?3?4,4] B.[

?5?4,4] C.[

5?7???,] D.[,] 4442?,6)6.已知数列{an}(n=1,2,3,?,6)满足an??1,2,3,4,5,6,?7,且当i?j(i,j?1,2,3,时,ai?aj. 若a1?a2?a3, a4?a5?a6，则符合条件的数列{an}的个数是 （ ） A.140 B.160 C. 840 D. 5040

7.一个总体共有600个个体，随机编号为001，002，? ，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600个个体分三组，从001到300在第1组，从301到495在第2组，从496到600在第3组．则第3组被抽中的个数为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8.a,b,c为互不相等的正数，且a?c?2bc，则下列关系中可能成立的是 （ ） A.a?b?c B.b?c?a C.b?a?c D.a?c?b

9. 在棱锥P?ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面?ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为1、2、3，则以线段PQ为直径的球的表面积为 （ ）

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22 A．10? B．12? 10.在直角梯形ABCD中，

C.14? D.16?

AB?AD,AD?DC?1,AB?3，动点P在以点C为圆心，且

????????????与直线BD相切的圆内运动，设AP??AD??AB??,??R?，则???的取值范围是

A.?0,? B.?,? C.?1,? D.?1,? 33333??4???45????4????5???

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.

111????? 1?44?72008?201112.若f?x?是R上的奇函数，则函数y?f?x+1?-2的图象必过定点 . 13.函数f(x)?(1?cosx)?(1?cosx)88?x?R?的最大值等于 . [x2y214.已知F1,F2分别是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点,以F1F2为直径的圆 ab与双曲线在第一象限的交点为P,则当?PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为 . 215. ?ABC的三边a、b、c和面积S满足: S?a??b?c?,且?ABC的外接圆的周长

2为17?,则面积S的最大值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)

已知函数f?x???1?tanx??1?2sin?2x?????????，求 4??? （Ⅰ）函数f?x?的定义域和值域；

（Ⅱ）写出函数f?x?的最小正周期和单调递增区间.

17. (本小题满分13分)

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重庆电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著A、B、C、D与它们的作者 连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对 一个得3分，连错得?1分，一名观众随意连线，将他的得分记作ξ． （Ⅰ）求该观众得分ξ为正数的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

18. (本小题满分13分) 已知函数f(x)?12mx?2x?1?ln(x?1)?m?R? 2 （Ⅰ）当m?0时，求函数f?x?的最大值；

（Ⅱ）当0?m?1时，曲线C:y?f(x)在点P(0,1)处的切线l与C有且只有一个公共 点，求m的值.

19. (本小题满分12分)

已知斜三棱柱ABC?A1B1C1，?BCA?90，

??2，A1在底面ABC上的射影恰 AC?BC 为AC的中点D，E为AB的中点，BA1?AC1.

（I）求证：AC1?平面A1BC；

（II）求二面角B?A1E?C余弦值的大小.

20.(本小题满分12分)

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆x?3y?1上的两点，O为坐标原点.

22B ?????? （Ⅰ）设m?(x1,3y1)，n?(x2,3y2)且m?n?0, OM?cos??OA?sin??OB ???????????????? （Ⅱ）若OA?OB?0,求OA?OB的最小值.

21.(本小题满分12分)

若实数列?an?满足ak?1?ak?1?2ak?k?2,3,????,则称数列?an?为凸数列.

???R?.求证:点M在椭圆上;

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?3? （Ⅰ）判断数列an????n?N??是否是凸数列?

?2? （Ⅱ）若数列?an?为凸数列, k、n、m?N?,且k?n?m, ?i?求证：

nam?anan?ak?;

m?nn?k[ ?ii?设Sn是数列?an?的前n项和,求证：

[xxk.Com]m?nn?km?kSk?Sm?Sn. kmn

2011年重庆一中高2011级高三下期第四次月考

数学答案(理科)

一．选择题 DBBCA ABCCD 二．填空题 三．解答题

[XK]670 ?-1，-?2 256 20112 64

sinx??????f(x)??1???1?2sin2xcos?2cos2xsin?44? ?cosx??16.解：

?sinx?2 ??1???2sinxcosx?2cosx??cosx? ?2?cosx?sinx??cosx?sinx? ?2?cos2x?sin2x? ?2cos2x

????x|x?R , x?k?? , k?Z?2? （Ⅰ）函数f(x)的定义域??2,2?∵2x?2k???,k?Z ∴2cos2x??2, 函数f(x)的值域为?.

(Ⅱ) f(x)的最小正周期为?,

令

2k????2x?2k?,?k?Z?得

k???2?x?k??k?Z?

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???k??,k???k?Z??2?∴函数f(x)的单调递增区间是?.

17.解: (1)?的可能取值为?4,0,4,12．

211C41，P(??4)?4?． P(??12)?4?A424A44该同学得分正数的概率为P(??12)?P(??4)?7． 2413?39C4?21P(???4)(2) P(??0)?,． ?的分布列为: ???44A424A43

? ?4[来 0 4 12P 924 13 14 124数学期望

911?4??12??0． 244242x?1'18. （Ⅰ）m?0时,f?x?1?2x?ln?x?1?,f?x???

x?11??1???1?f?x?在??1,??上?,在??,???上?,故f?x?max?f????2?ln2.

2??2???2?(Ⅱ)由题设知：P?C,f'(0)??1,切线l的方程为y??x?1,于是方程:

11?x?1?mx2?2x?1?ln(x?1)即mx2?x?ln(x?1)?0有且只有一个实数根;

221g(x)?mx2?x?ln(x?1)设,得

2mx2?(m?1)xmx1?[x?(?1)] g(0)?0;g'(x)?x?1x?1mx2?0,g(x)为增函数,符合题设; ①当m?1时，g'(x)?x?11②当0?m?1时，有0??1,得

mx?(?1,0),g'(x)?0,g(x）在此区间单调递增,g(x)?0;

1x?(0,?1),g'(x)?0,g(x)在此区间单调递减,g(x)?0;

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11?1,??),g'(x)?0,g(x)在此区间单调递增, g(x)?(g(?1),??);此区间存在零mm点,即得m?1不符合题设. 综上可得m?1. x?(19. 法一:（I）如图，因为BC?AC，所以DE?AC，又A1D?平面ABC， DE//BC，

以DE,DC,DA ,0?，C?0,1,0?，B?2,1,0?，1为x,y,z轴建立空间坐标系，则A?0,?1?????A1?0,0,t?，C1?0,2,t?，E?1,0,0?,AC1??0,3,t?， ????????????????，，由ACBA1???2,?1,t?CB??2,0,0?1?CB?0，

知AC?CB，又BA1?AC1，从而AC1?平面A1BC； 1

?????????2（II）由AC1?BA1??3?t?0，得t?3。

?????????设平面A1?0,1,3，AB??2,2,0?，所以 1AB的法向量为n??x,y,z?，AA??????????n?AA1?y?3z?0，设z?1，则n?3,?3,1 ????????n?AB?2x?2y?0??????????CA?0,?1,3再设平面A，EC???1,1,0? 11EC的法向量为m??x,y,z?，

??????????????m?CA1??y?3z?0所以??????，设z?1，则m?3,3,1 ???m?EC??x?y?0??????11m?n 故cos?m,n??????, 可知二面角B?A余弦值的大小. E?C177m?n??法二: （I）如图， DE//BC，因为BC?AC，A1D?平面ABC，所以A1D?BC,又

?BCA?90?,所以BC?面A1ACC1，BC?AC1,又BA1?AC1从而AC1?平面A1BC；

0（II）由（I）知AC1?AC1,ACC1A1为菱形，?A1AC?60

. AA1?AC?AC?2,又CE?EA,故?A1AE≌?ACE11作AF?A1E于F,连CF,则CF?A1E,

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故?AFC为二面角A?A1E?C的平面角，

?AE?AE?AA???7?2?22A1E?A1D?DE?2,AF?CF??A1E4212AF2?CF2?AC21cos?AFC???.

2AF?CF7故二面角B?A1E?C余弦值的大小

???20. （Ⅰ）m?n?0?x1x2?3y1y2?0,设M?x0,y0?,则

1. 7?x0,y0???x1cos?,y1cos????x2sin?,y2sin????x1cos??x2sin?,y1cos??y2sin??22则x0?3y0??x1cos??x2sin???3?y1cos??y2sin??

222222 ?x1?3y1cos??x2?3y2sin??2sin?cos??x1x2?3y1y2?

22???? ?cos??sin??1. 故点M在椭圆上. (Ⅱ)设OA?p,OB?q,?xOA??, 则A?pcos?,psin??,B?qcos?22????????????,qsin????? ?2??2??1?22cos?+3sin???p2cos2??3p2sin2??1?p2??则?2 ??即?2??22???qcos?2????3qsin?2????1?sin2?+3cos2??1??????q2?从而

1112222p?q?4pq?2pq,pq?. ??4,故222pqOA?OB?p?q?2pq?2. ?3?21. （Ⅰ）?ak?1?ak?1?2ak????2?k?1?3?????2?k?1?3?1?3??2?????4?2??2?kk?1?0,

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?3? ?数列an????n?N??是凸数列.

?2?(Ⅱ) ?i?由ak?1?ak?1?2ak?k?2,3,????得ak?1?ak?ak?ak?1

nam?an??am?am?1???am?1?am?2???????an?1?an???m?n??an?1?an?

?am?an?an?1?an,

m?nan?ak??an?an?1???an?1?an?2???????ak?1?ak???n?k??an?an?1???n?k??an?1?an?

?an?aka?anan?ak?an?1?an,故m?. n?km?nn?kam?anan?ak?得?m?n?ak??n?k?am??m?k?an.① ?ii?由m?nn?k故先证??Sn??是凸数列. ?n?在?m?n?ak??n?k?am??m?k?an中令m?n?1得

ak??n?k?an?1??n?1?k?an,令k?1,2,???,n?1,?n?2?叠加得

11Sn?1?n?n?1?an?1??n?2??n?1?an,

22?2Sn?1?n?n?1??Sn?1?Sn???n?2??n?1??Sn?Sn?1? ?n?n?1?Sn?1?n?n?1?Sn?1?2?n2?1?SnSSS?n?1?n?1?2n.n?1n?1n故?[]

m?nn?km?k?Sn?S?S?Sn. 是凸数列, 由①得?kmkmnn?? 神州智达教研中心 “源于一线，服务一线”

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