2018年高考江苏省南通学科基地密卷数学理科(4)

2018年高考模拟试卷（4）

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．设复数z满足(2?i)z?1?i（i为虚数单位），则复数z? ▲ ． 2．已知集合A???1,0?，B??0,2?，则A?B共有 ▲ 个子集． 3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的1，且第一组

5数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的渐近线方程为y??x，且它的一个焦点为

(2,0)，则双曲线C的方程为 ▲ ． 16．函数f(x)?()x?4的定义域为 ▲ ．

2S←1 I←1 While I?7 S←S＋3 I←I＋2 End While Print S y y0 O ?y0 5π2411π24 x 7．若函数y?sin(?x??)(??0)的部分图象如图所示，

（第7题） 则?的值为 ▲ ．

8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．

9．在三棱锥P?ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D?ABE的体积为V1， 三棱锥P?ABC的体积为V2，则

V1? ▲ ． V2????????????10．设点P是?ABC所在平面上的一点，点D是BC的中点，且BC?2BA?3BP，设

????????????，则???? ▲ ． PD??AB??AC11．已知数列{an}中，a1?1，a2?4，a3?10．若{an?1?an}是等比数列，则?ai? ▲ ．

i?11012．已知a，b?R，a?b，若2a2?ab?b2?4?0，则2a?b的最小值为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy中，动圆C:(x?3)2?(y?b)2?r2（其中r2?b2?9）截x轴所得的

弦长恒为4．若过点O作圆C的一条切线，切点为P，则点P到直线2x?y?10?0距离的 最大值为 ▲ ．

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14．已知???0,2??，若关于k的不等式sin??cos??ksin3??cos3?在???,?2?上恒成立，

则?的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

????????1xx115．已知向量m?(sin，)，n?(，3cos)，函数f(x)?m?n．

2222??（1）求函数f(x)的最小正周期；

?????（2）若m//n，且x?(0,)，求f(4x)的值．

2

16．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为梯形，CD//AB，AB?2CD， AC交BD 于O，锐角?PAD所在平面PAD⊥底面ABCD，PA?BD，点Q在侧棱PC上，且PQ?2QC． （1）求证：PA//平面QBD； （2）求证：BD?AD．

PQDCO A(第16题图) B17．如图所示，圆O是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE．其中AD为圆O的直径，B,C,G在圆O上，BC//AD， E,F在AD上，且 1BC,EG?FG． 2 （1）设?AOB??，试将多边形ABCDFGE面积S表示成?的函数关系式； （2）多边形ABCDFGE面积S的最大值． BC AO?FE

G

（第17题）

OE?OF?高三数学试卷 第 2 页 共 14 页

D

2y2x18．在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右 ab0)和点(1，焦点，且椭圆经过点A(2，3e)，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM?MA．

若MF1?BF2，求直线l的斜率．

（第18题）

y B M F1 O A x F2 19．已知函数f(x)?(x?1)ex?ax2，其中a?R，e是自然对数的底数．

（1）若a?0，求函数y?f(x)的单调增区间； （2）若函数f(x)为R上的单调增函数，求a的值；

（3）当a?0时，函数y?f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1?x2?0．

20．已知数列?an?的前n项和为Sn，把满足条件an?1?Sn(n?N*)的所有数列?an?构成的集合

记为M．

1，求证：?an??M； 2n （2）若数列?an?是等差数列，且?an?n??M，求2a5?a1的取值范围； （1）若数列?an?通项公式为an?4n（3）设bn?(n?N*)，数列?an?的各项均为正数，且?an??M．问数列?bn?中是否存在

an无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列?an?的通项；若不存在，说明理由．

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2018年高考模拟试卷（4）

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4?1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． 若DA = DC， 求证：AB = 2BC．

B．[选修4?2：矩阵与变换] （本小题满分10分）

????2??a2?已知a,b?R，向量为????是矩阵A???的属于特征值?3的一个特征向量． 1b1????（1）求矩阵A的另一个特征值； （2）求矩阵A的逆矩阵A?1．

C．[选修4?4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

4?x??1?t??5(t为参数)．以原点O为 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?3?y?1?t?5?极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??22cos(??)．

4求直线l被曲线C所截得的弦长．

D．[选修4?5：不等式选讲] （本小题满分10分）

已知实数x，y，z满足x + y + z = 2，求2x?3y?z的最小值．

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222?

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答． ．．．．．．．．22．（本小题满分10分）

某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．

（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率； （2）设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学

期望．

23．（本小题满分10分）

在各项均不相同的数列a1，a2，a3，?，an(n?N*中，任取k(k?N,且k?n)项变动位 ）置，其余n?k项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为Pn(k)．

（1）求P4(0)?P4(1)?P4(2)?P4(3)的值； （2）求P5(5)的值；

An??kPn(n?k)k?1n（3）设

，求证：

An?1?(n?1)?Pn(n?k)k?0n．

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2018年高考模拟试卷（4）参考答案

数学Ⅰ

一、填空题：

1?i(1?i)(2?i)1?3i13??1．+i【解析】z?． 2?i(2?i)(2?i)5552．8【解析】由条件得A?B?{?1,0,2}，所以A?B的子集有8个．

3．10【解析】由题意可知S?1?3?3?3?10．

4．150【解析】设第一个小矩形面积为x，由6x?1，得x?1，从而样本容量为25?6?150．

6x2y25．x?y?1【解析】设双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，因为双曲线C的渐近线方

ab程为y??x，所以a?b，又因为一个焦点为(2,0)，所以c?2，所以a?b?1，所以双曲线

22C的方程为x2?y2?1

16．(??,?2]【解析】由已知得，()x?4?0，所以x??2

27．4【解析】由图知函数的周期为11??5??2??，所以??2??4．

?242422??38．【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有205123种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为?．

205111h11h19．【解析】因为V2?VC?PAB?S?PABh，V1?VE?ABD?S?DAB???S?PAB??V2，

43323224V1所以1?．

V24??????????????????????????????????????1????2C?AP210．【解析】因为BC?2BA?3BP，所以BC?BP?2(BP?BA)，即P，所以AP?AC，

33????????????1????????????????1????所以AD?AP?PD?AC??AB??AC??AB?(??)AC，又点D是BC的中点，所以

33????1????1????1112AD?AB?AC，所以??,???，所以????．

22232311．3049 【解析】an?1?an?3?2n?1，所以an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1) ?3?2n?1?2，所以?ai?3049．

i?11012．8【解析】因为a，b?R，a?b，2a2?ab?b2?4?0，所以(a?b)(2a?b)?4． 3高三数学试卷 第 6 页 共 14 页

令a?b?t，2a?b?4，t?0， 则a?1t?4，b?22?t，

t3t3t所以2a?b?4(t?1)≥4?2t?1?8，当且仅当t?1时取等号．

3t3t3所以2a?b的最小值为8．

313．35【解析】因为动圆C:(x?3)2?(y?b)2?r2（其中r2?b2?9）截x轴所得的弦长恒为4，

2222所以r2?b2?4，设P(x0,y0)，由已知条件得，9?b2?r2?x0，所以x0?y0?y0?5，即点P在

10?5?35． 圆x2?y2?5，所以点P到直线2x?y?10?0距离的最大值为5???14．?0,?【解析】f(k)?k?sin3??cos3???sin??cos?，题意即为f(k)≥0在???,?2? ?4???????上恒成立，即fmin(k)≥0．由于???0,2??，sin?≥0且cos?≥0，则???0,??．

?2???当???时，f(k)?0≥0恒成立，符合；

4当??(?,?]时，sin3??cos3??0，所以f(k)在???,?2?上单调递增，不符合；

42当??[0,?)时，sin3??cos3??0，所以f(k)在???,?2?上单调递减，

4此时fmin(k)?f(?2)??2?sin3??cos3???即2sin3??sin?≤2cos3??cos?．

令f(x)?2x3?x（x≥0），不等式即为f(sin?)≤f(cos?)，

?由于f?(x)?6x?1x2≥0，所以f(x)在?0,???上单调递增，

221?sin??cos?≥0，

?而当??[0,?)时，sin??cos?，所以f(sin?)≤f(cos?)恒成立．

4???综上所述，?的取值范围是?0,?．

?4?????15．解：（1）?m?(sinx，1)，n?(1，3cosx)，

2222???1x3x?f(x)?m?n?sin?cos ?? 2分

2222?sinxcosπ+cosxsinπ?sinx?π， ?? 4分

232323所以函数f(x)的最小正周期为T?2π?4π． ?? 6分

12????????1xx1（2）?m?(sin，)，n?(，3cos)，且m//n，

2222??高三数学试卷 第 7 页 共 14 页

xx11?sin?3cos???0， ?? 8分

2222

3?sinx?，

6?x?(0,?2)，?cosx?1?sin2x?1?(3233 ?? 10分 )?6633311??， ?? 12分 66635cos2x?1?2sin2x?1?2?()2?，

66131113511?53?f(4x)?sin2x?cos2x?????． ?? 14分

22262612 P16．证明：（1）如图，连接OQ， 因为AB//CD，AB?2CD，

所AO?2OC， ???2分 又PQ?2QC，

?sin2x?2sinx?cosx?2?QC所以PA//OQ， ????4分 又OQ?平面QBD， PA?平面QBD， 所以PA//平面QBD. ??? 6分

DHOA(第16题图) （2）在平面PAD内过P作PH?AD于H，

因为侧面PAD?底面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD， PH?平面PAD，所以PH?平面ABCD， ???????8分 又BD?平面ABCD，所以PH?BD， ???????10分 因为?PAD是锐角三角形，所以PA与PH不重合， 即PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，

又PA?BD，所以BD?平面PAD， ???????12分 又AD?平面PAD，所以BD?AD． ???????14分 17．解：连接EF,BE,OB,OG，

1?OE?OF?BC，?BC?EF，?BE?EO，

2?EG?FG，?OG?EF， ???2分 （1）在Rt?BEO中，BO?1，?AOB??， ?EO?cos?，BE?sin?，

?BC?EF?2cos?， ???4分

11?S?S梯形ABCD?S?EGF?(AD?BC)?BE?EF?OG

22?11?(2?2cos?)sin???2cos??1?sin?cos??sin??cos?，??(0,)． ???8分 222（2）令t?sin??cos?，??(0,)，

2B?高三数学试卷 第 8 页 共 14 页

?t2?1则sin?cos??，且t?2sin(??)?(1,2]， ???10分

42t2?1t211?S??t??t??(t?1)2?1，t?(1,2]， ???12分

22221?当t?2，即??时，Smax??2，

421即多边形ABCDFGE面积S的最大值为?2平方米． ???14分

20)和点(1，18．解：（1）因为椭圆经过点A(2，3e)，

?a?2，??19c2所以??2?1， ?? 2分

44b?222??b?c?a，

2y2x解得a?2，b?3，c?1， 所以椭圆的方程为??1． ?? 6分

43（2）解法一：由（1）可得F1(?1，0)，F2(1，0)， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?2)．

?y?k(x?2)，?由方程组?2y2 消去y，整理得(4k2?3)x2?16k2x?16k2?12?0，

x??1，?3?428k2?6，?12k?． ?? 8分 解得x?2或x?8k2?6，所以B点坐标为??2??4k?34k2?3?4k?3由OM?MA知，点M在OA的中垂线x?1上，

又M在直线l上，所以M点坐标为(1,?k)． ?? 10分 ??????????2k?4k2?9，?12k． 所以F1M?(2，?k)，F2B?8k2?6?1，?124k?34k2?34k2?34k2?3??????????8k2?1812k2220k?18?0． ?? 14分 若MF1?BF2，则F1M?F2B??2?224k?34k?34k?3????310310解得k2?9，所以k??，即直线l的斜率?． ?? 16分

1010100)，F2(1，0)， 解法二：由（1）可得F1(?1，22设B(x0,y0)（x0?2），则3x0?4y0?12 ①， ?? 8分

直线l:y?y0(x?2)， x0?2由OM?MA知，点M在OA的中垂线x?1上，

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?y又M在直线l上，所以M点坐标为1，0． ?? 10分

x0?2???????????y所以F1M?2，0，F2B?(x0?1，y0)，

x0?222??????????y02(x0?1)(x0?2)?y0??0， 若MF1?BF2，则F1M?F2B?2(x0?1)?x0?2x0?2????2所以y0?2(x0?1)(x0?2) ②， ?? 12分 2由①②可得11x0?24x0?4?0，即(11x0?2)(x0?2)?0，

610所以x0?2或x0?2(舍)，y0??．

1111y0310??310，即直线l的斜率?所以kl?． ?? 16分 x0?2101019．解：（1）当a=0时，f(x)?(x?1)ex，f?(x)?xex，

??)． ?? 3分 令f?(x)?0，得x?0，所以f(x)的单调增区间为(0，（2）f?(x)?x(ex?2a)，因为函数f(x)为R上的单调增函数，

所以f?(x)≥0在R上恒成立． ?? 5分 当x?0时，f?(x)?x(ex?2a)=0，f?(x)≥0显然成立；

当x?0时，f?(x)?x(ex?2a)≥0恒成立，则ex?2a≥0恒成立，此时a≥?1；

2当x?0时，f?(x)?x(ex?2a)≥0恒成立，则ex?2a≤0恒成立，此时a≤?1．

2综上，a??1． ?? 8分

2（3）不妨设x1?x2，当a?0时，f?(x)?x(ex?2a)， ??)上单调递增． 0)上单调递减，在(0，函数f(x)在(??，因为f(0)??1?0，所以x1?(??，0)，x2?(0，??)，?x2?(??，0)，?? 10分 f(x)在(??，0)上单调递减，所以要证x1?x2?0，即证x1??x2，

即证f(x1)?f(?x2)，又因为f(x1)?f(x2)，所以即证f(x2)?f(?x2)（*）．12分 ??)， 记g(x)?f(x)?f(?x)?(x?1)ex?(x?1)e?x，x?[0，高三数学试卷 第 10 页 共 14 页

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