福建省南安一中2017届高三上学期期末考试（数学理）（含答案）wo

南安一中2017届高三上期末试卷（理科）

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题： 10小题，每小题5分，共50分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题意． 1．若集合A?{x|?2?x?3}，B?{x|x??1或x?4}，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A．{x|x?3或x?4} B．{x|?1?x?3} C．{x|3?x?4} D．{x|?2?x??1}

2．已知a,b是实数，则“a?0且b?0”是“a?b?0且ab?0”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

43．在二项式(x?)的展开式中，含x的项的系数是 （ ）

21x5A．?10 B．10 C．?5 D．5

4．函数f(x)?x3?x在点(1,f(1))处的切线方程为 （ ）

A．4x?y?2?0 B．4x?y?2?0 C．4x?y?2?0 D．4x?y?2?0 5．向量a?(1,2),b?(?2,3),若ma?nb与a?2b共线（其中m,n?R且n?0)则A．?m等于（ ） n1 2B．

1 2C．－2 D．2

cosAb

6．在△ABC中，角A、B、C所对应的边位a、b、c ，若 ＝ ，则△ABC的形状是 （ ）

cosBaA.等腰直角三角形

B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形

7．设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn=（ ）

n27nn25nn23n? C．? ?A． B．332444则P(|?|?1.96)= （ ） A.0.025

B.0.050

C.0.950

D．n?n

21)，在某项测量中，8．设随机变量?服从标准正态分布N(0，已知?在（-∞，-1.96]内取值的概率为0.025，

D.0.975

x2y2??1和直线ax?by?1?0 (a,b为非零实数)在同一坐标系中，它们的图形可能是 9．已知曲线

ab

（ ）

y y o x x y y o o x o x A B C D 10．已知定义域为D的函数f(x)，如果对任意的x?D，存在正数k，有|f(x)|?k|x|成立， 则称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：（1）f(x)?2x；（2）f(x)?sin(x?（3）f(x)?（4）f(x)?x?1；?4)

x；其中是“倍约束函数”的是 （ ）

x2?x?1A．（1）（3）（4） B.（1）（2） C.（3）（4） D.（2）（3）（4）

第Ⅱ卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．复数

1等于 2(1?i)?2x?y?2?12．设变量x、y满足约束条件?x?y??1，则z?2x?3y的最大值为

?x?y?1??x2(0?x?1)213．设f(x)?? 则?0f(x)dx=

?2?x(1?x?2)14．已知二面角??l??平面角大小为60，动点P、Q分别在面?、?内，P到?的距离为3， Q到?的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为

15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中利用动点轨迹的方法，

y?1)?可以求出过点A(2,1)且法向量n?(?1,2)的直线(点法式)方程为?(x?2)?2(0简后得化

x?2y?0；类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(3,?1,3)且法向量为n?(1,?2,1)的平面(点法

式)方程为 （请写出化简后的结果）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)

设函数f(x)?(sin?x?cos?x)?2cos22?x(??0)的最小正周期为

2?． 3

（Ⅰ）求?的值．

（Ⅱ）若函数y?g(x)的图像是由y?f(x)的图像向右平移

?个单位长度得到，求y?g(x) 2的单调增区间．17．(本小题满分13分)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

1，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间?的分布列及期望.

18．(本小题满分13分)

已知几何体A?BCED的三视图及直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小；

（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值； （Ⅲ）试探究在DE上是否存在点Q，使得

4正视图4D14侧视图ACBEAQ?BQ，并说明理由.

19．(本小题满分13分)

俯视图x2y2已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?过点A(2,1)，且点A在x轴上的射影恰为椭圆的一个焦点

ab（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过A作两条倾斜角互补的直线与椭圆分别交于B、C两点.试问：四边形OABC能否为平行四边形？若能，求出直线BC的方程；否则说明理由.

20．(本小题满分14分)

已知函数f(x)?x?(?1)2lnx(k?N)． （1）讨论函数f(x)的单调性；

2an?3（2）当k为偶数时，正项数列?an?满足a1?1,f'(an)??1，求?an?的通项公式；

an2k*

（3）当k为奇数且x?0、n?N时，求证：[f'(x)]n?2n?1f'(xn)?2n(2n?2)．

21．(本小题满分14分)

本题是选作题，考生只能选做其中两个小题．三个小题都作答的，以前两个小题计算得分。 ①选修4－4《坐标系与参数方程》选做题（本小题满分7分）

*??x?2?2cos?已知曲线C的参数方程是?(?为参数)，且曲线C与直线x?3y=0相交于两点A、B求弦

??y?2sin?AB的长。

②选修4－2《矩阵与变换》选做题（本小题满分7分） 已知矩阵M???a1??1??1的一个特征值为,它对应的一个特征向量e?1???。

?c0???3?（Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）点P(1, 1)经过矩阵M所对应的变换,得到点Q，求点Q的坐标。

③选修4－5《不等式选讲》选做题（本小题满分7分）

函数y?loga(x?3)?1(a?0,a?1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx?ny?1?0上,其中

mn?0,求

12?的最小值。 mn

南安一中2017届高三上期末试卷（理科）参考答案

一、选择题答案：（每小题5分，共50分）

题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 B 5 A 6 C 7 A 8 C 9 C 10 A 二、填空题答案：（每小题4分，共20分）

11．?15i 12． 18 13． 14．23 15．x?2y?z?8?0

62三、解答题答案：

（Ⅱ）由题意，可得?可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.

事件“??2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k?0，1，2，3，4），

?1??2?∴P???2k??C?????3??3?4kk4?k?k?0,1,2,3,4?，

∴即?的分布列是

? P 0 2 4 6 8 16 32 8 8 1 81278181811632881818?2??4??6??8??（E??4??2?亦可） ∴?的期望是E??0?818127818133318．解：（Ⅰ）由该几何体的三视图知AC?面BCED，且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

1?(4?1)?4?10． 21140∴V??S梯形BCED?AC??10?4?．

333∴S梯形BCED?即该几何体的体积V为16．

zED（Ⅱ）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）．

ACyB∴DE?(0,?4,3),AB?(?4,4,0)，

x∴cos?DE,AB???2222，∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为． 55（Ⅲ）设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则AQ?(?4,m,n),BQ?(0,m?4,n)，

EQ?(0,m,n?4)，QD?(0,4?m,1?n)．

∵AQ?BQ， ∴m(m?4)?n2?0． ①

∵点Q在ED上，∴存在??R(??0)使得EQ??QD， ∴(0,m,n?4)??(0,4?m,1?n)?m?②代入①得(4?4??,n?．② 1??1????4216?)???2?8??16?0，解得??4． 21??(1??)168,)． 55∴满足题设的点Q存在，其坐标为(0,19．解：(I)由已知易知椭圆的一个焦点为F(2,0)，则椭圆的另一个焦点为F/(?2,0).

/22由2a?AF?AF?1?[2?(?2)?(1?0)?4，得：a?2，所以所求的椭圆方程

x2y2??1. 是42

x2y2??1， (II)能.证明如下：设直线AB的方程为y?1?k(x?2)，代入42并整理得：(1?2k2)x2?4k(1?2k)x?2(1?2k)2?4?0.

22k2?4k?24k(1?2k)设B(xB,yB),C(xC,yC)，则由2?xB??得：xB?， 221?2k1?2k?2k2?22k?122k2?4k?2?2k2?22k?1代入y?1?k(x?1)得：yB?，所以B(,). 2221?2k1?2k1?2kyB?yC?42k22k2?4k?2?2k2?22k?12将k换成?k，得C(从而. ,)k???BC221?2k1?2kxB?xC?8k2由于kOA?2，OA//BC，故当CB?OA?3时,四边形OABC为平行四边形. 2x2y22?1并整理得：x2?2tx?t2?2?0. 设直线BC的方程为y?x?t，代入?422由??0得(2t)2?4(t2?2)?0.?2?t?2，则有xB?xC??2t,xBxC?t2?2, 所以CB?(xB?xC)2?(yB?yC)2?6(xB?xC)2?4xBxC?34?t2. 22x?3. 2令34?t2.?3，解得t??3,所以BC得方程为y?20．解：(1)由已知得，x＞0且f(x)?2x?(?1)?''k2． x当k是奇数时,则f(x)?0,则f(x)在(0,+?)上是增函数; 当k是偶数时,则,f(x)?2x?''22(x?1)(x?1)?, xx'所以当x?(0,1)时,f(x)?0, 当x?(1,+?)时,f(x)?0， 故当k是偶数时,f(x)在(0,1)是减函数,在(1,+?)是增函数．

2?32an22(2)由已知得 2an???1即2(an?1)?an?1?1．

anan2所以{an?1}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an?2n?1．

(3) 由已知得f(x)?2x?'2(x?0)， x

所以左边=(2x?)?22xnn?1?(2xn?2n1n?22n?4n?21n?11)2(Cx?Cx?????C?C)， =nnnnxnxn?4xn?2令S=C1nxn?2?C2n?4?Cn?21nx????xn?4?Cn?11nnxn?2． 由倒序相加及组合数的性质得: 2S=C11411?2n(xn?2?n?2)?C2xn(xn??n?4)?????Cn?1xn(xn?2?xn)

?2(C12n?1n?Cn?????Cn)?2(2n?2)． 所以 S?(2n?2)．

所以, ??f'(x)?n??2n?1?f'(xn)?2n(2n?2)成立．

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