刚体转动练习答案

第2章 刚体定轴转动

一、选择题

1(B)，2(B)，3(A，)4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题

(1). v ≈15.2 m /s，n2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l) (4). 5.0 N·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg·m2 (7).

1Ma 2l11(8). ?mgl参考解：M＝?dM＝???gm/l?rdr??mgl

022(9).

6v0

?4?3M/m?l(10). 2E0

三、计算题

A1. 如图所示，半径为r1＝0.3 m的A轮通过皮带被半径为r2＝0.75 m r1的B轮带动，B轮以匀角加速度? rad /s2由静止起动，轮与皮带间无滑动发生．试求A轮达到转速3000 rev/min所需要的时间．

解：设A、B轮的角加速度分别为?A和?B，由于两轮边缘的切向加速度相同， at = ?A r1 = ?B r2

则 ?A = ?B r2 / r1 A轮角速度达到?所需时间为 t?B r2

???r1??3000?2?/60??0.3s＝40 s ?A?Br2??0.75

2.一砂轮直径为1 m质量为50 kg，以 900 rev / min的转速转动．撤去动力后，一工件以 200 N的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s内停止．求砂轮和工件间的摩擦系数．(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为

1mR2，其中m和R分别为砂轮的质量和半2径).

解：R = 0.5 m，?0 = 900 rev/min = 30? rad/s，

根据转动定律 M = -J? ① 这里 M = -?NR ②

?为摩擦系数，N为正压力，J?1mR2． ③ 2 设在时刻t砂轮开始停转，则有：

1

?t??0??t?0

从而得 ?＝??0 / t ④

将②、③、④式代入①式，得 ??NR?1mR2(??0/t) 2∴ ??mR?0 / (2Nt)≈0.5

3. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量J?1mR2，其中m为圆形平板的质量） 2

解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为

mg?2?r?rdr ?R2R2总摩擦力矩 M??dM??mgR

03 dM??故平板角加速度 ? =M /J

设停止前转数为n，则转角 ? = 2?n 由

2J?02?3R?0/16π?g 可得 n?4?M2?0?2???4?Mn/J

4. 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－k? (k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为?0时所需的时间．

解：根据转动定律： ?????????????? ???? Jd? / dt = -k?????????????????????????????????????????????????? ∴ 两边积分：

12 r Okdt

?J?0/21tk??0?d????0Jdt

??d?m

得 ln2 = kt / J ∴ t＝(J ln2) / k

5.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．

解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得：

mg-T＝ma ① T r＝J? ②

2

由运动学关系有： a = r? ③ 由①、②、③式解得： J＝m( g－a) r2 / a ④ 又根据已知条件 v0＝0

??12at， a＝2S / t2 ⑤ 222gt将⑤式代入④式得：J＝mr(－1) 2S∴ S＝

r T a T mg

6.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r， 对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时 r 系统静止，试求t时刻滑轮的角速度． m2 m 1解：作示力图．两重物加速度大小a相同，方向如图.

m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a 设滑轮的角加速度为?，则 (T1－T2)r＝J? 且有 a＝r? ?由以上四式消去T1，T2得： rT2T1?m1?m2?grT2 ?? T1 a?m1?m2?r2?J a开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度．

m2gm1g?m1?m2?grt

??? t? 2

?m1?m2?r?J

7.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定 光滑轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为l = 1.0 m，对轴的转

m, l O m? v

12动惯量为J = ml．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地

3射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为m?= 0.020 kg，速率为v = 400 m·s-1．试问：

(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度?有多大？

(2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N·m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度?？

解：(1) 角动量守恒：

m?vl??ml?m?l?? ∴ ??＝15.4 rad·s-1

?1?3m?v22???1??m?m??l?3?122 (2) 由转动定律，得： －Mr＝(ml＋m?l)?

3 0－??2＝2??

3

?1?22?m?m??l??3?∴ ??＝15.4 rad

2Mr

8.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J＝10 kg·m2 和 J＝20 kg·m2．开始时，A轮转速为600 rev/min，B轮静

AB止．C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A、B分别与

C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到C加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的转速n； ?A (2) 两轮各自所受的冲量矩．

解：(1) 选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒

JA?A＋JB?B = (JA＋JB)?，

又?B＝0得： ???? JA?A / (JA＋JB) = 20.9 rad / s 转速 n?200 rev/min (2) A轮受的冲量矩

负号表示与?A方向相反． B轮受的冲量矩

方向与?A相同．

9.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰

?

?M?MAdt= JA(JA＋JB) = ?4.19×10 2 N·m·s

?

Bdt= JB(? - 0) = 4.19×102 N·m·s

121L L L v0 O 1撞．碰撞点位于棒中心的一侧L处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬

2时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时

2v0 12的转动惯量为ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)

3

解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为

?3L/20?v0xdx??L/20?v0xdx??v0L2?mv0L

212式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为

1?3?3?1?1? J???m?L??m?L?3?4?2??4?2?因碰撞前后角动量守恒，所以 7mL?/12?22?72???mL?

12??1mv0L 2∴ ? = 6v0 / (7L)

4

10. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为?0．质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r<

解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点．

小球到B点时： J0?0＝(J0＋mR2)? ① 

?0ABRC

11122J0?0?mgR?J0?2?m?2R2?vB ② 222??式中vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度．由式①得：

?＝J0??0 / (J0 + mR2) 1分

22J0?0R代入式②得 vB?2gR? 当小球滑2mR?J0

到C点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至?0，又由机械能守恒定律知，小球在C的动能完全由重力势能转换而来．即： 四 研讨题

1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。

参考解答： 不能．

因为刚体的转动惯量

12mvC?mg?2R? , vC?4gR 2?r2i?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对

过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为

1mR2，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴2的转动惯量为零．

2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？

参考解答：

根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。

由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。

非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。

3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？

5

参考解答：

分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．

当质心平动的速度vc= 0而角速度? ?0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系．

解题：由质心运动定理:?Fdvr?mcdt

因Fr?? mg, 得 vc?vc0??g (1)

由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律M?I?

?RF22d?, 得 ???3r?(3mR)dt0?2R?gt (2) 由(1),(2)两式可得 ???3v0?c.?vc2R, 令 vc?0 ； ??0 可得 ?3v0?c.2R 这说明当vc= 0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．

6

参考解答：

分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．

当质心平动的速度vc= 0而角速度? ?0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系．

解题：由质心运动定理:?Fdvr?mcdt

因Fr?? mg, 得 vc?vc0??g (1)

由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律M?I?

?RF22d?, 得 ???3r?(3mR)dt0?2R?gt (2) 由(1),(2)两式可得 ???3v0?c.?vc2R, 令 vc?0 ； ??0 可得 ?3v0?c.2R 这说明当vc= 0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．

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