一元二次方程经典测试题(含答案解析)

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一元二次方程测试题

考试范围： 一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育

题号 一

二

三

总分

得分

第Ⅰ卷（选择题）

评卷人 得 分

一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x （x ﹣2）=3x 的解为（ ）

A ．x=5

B ．x 1=0，x 2=5

C ．x 1=2，x 2=0

D ．x 1=0，x 2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A ．ax 2+bx +c=0

B ．3x 2﹣2x=3（x 2﹣2）

C ．x 3﹣2x ﹣4=0

D ．（x ﹣1）2+1=0 3．关于x 的一元二次方程x 2+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1

C ．1或﹣1

D ．3

4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．12（1+x ）=17 B ．17（1﹣x ）=12

C ．12（1+x ）2=17

D ．12+12（1+x ）+12（1+x ）2=17

5．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，

B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点

C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ） A ．2秒钟 B ．3秒钟 C ．4秒钟

D ．5秒钟

6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（ ）

A ．x （x +12）=210

B ．x （x ﹣12）=210

C ．2x +2（x +12）=210

D ．2x +2（x ﹣12）=210

7．一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中，若b ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有一正根一负根且正根的绝对值大 C ．有两个负根 D ．有一正根一负根且负根的绝对值大

8．x 1，x 2是方程x 2+x +k=0的两个实根，若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立，k 的值为（ ）

A ．﹣1

B ．或﹣1

C ．

D ．﹣或1

9．一元二次方程ax 2+bx +c=0中，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根

C ．有一正根一负根且正根绝对值大

D ．有一正根一负根且负根绝对值大

10．有两个一元二次方程：M ：ax 2+bx +c=0；N ：cx 2+bx +a=0，其中a ﹣c ≠0，以下列四个结论中，错误

的是（ ）

A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根

B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同

C ．如果5是方程M 的一个根，那么是方程N 的一个根

D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1

11．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根，则（m +2）（n +2）的最小值是（ ） A ．7

B ．11

C ．12

D ．16

12．设关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

第Ⅱ卷（非选择题）

评卷人 得 分

二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）

13．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根，则代数式x 12﹣3x 1﹣x 2﹣6的值是 ．

14．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，且x 1+x 2=﹣2，x 1?x 2=1，则b a 的值是 ． 15．已知2x |m |﹣2+3=9是关于x 的一元二次方程，则m= ． 16．已知x 2+6x=﹣1可以配成（x +p ）2=q 的形式，则q= ．

17．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣3x +1=0有两个不相等的实数根，且关于x 的不等式组

的解集是x ＜﹣1，则所有符合条件的整数m 的个数是 ．

18．关于x 的方程（m ﹣2）x 2+2x +1=0有实数根，则偶数m 的最大值为 ．

.

.

19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为 米．

20．如图是一次函数y=kx +b 的图象的大致位置，试判断关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1=0的根的判别式△ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）． 评卷人 得 分

三．解答题（共8小题） 21．（6分）解下列方程．

（1）x 2﹣14x=8（配方法） （2）x 2﹣7x ﹣18=0（公式法）

（3）（2x +3）2=4（2x +3）（因式分解法）

22．（6分）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣x ﹣2=0 （1）若x=﹣1是方程的一个根，求m 的值及另一个根． （2）当m 为何值时方程有两个不同的实数根．

23．（6分）关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9=0有实根． （1）求a 的最大整数值；

（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x 2﹣的值．

24．（6分）关于x 的方程x 2﹣（2k ﹣3）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；

（2）若x 1x 2+|x 1|+|x 2|=7，求k 的值．

25．（8分）某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间存在如图所示的变化规律． （1）求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式．

（2）若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x 为多少元．

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专业知识 整理分享 26．（8分）如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，宽为40米．

（1）求通道的宽度；

（2）晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求种植“四季青”的面积．

27．（10分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：

信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；

信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；

信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求甲、乙两种商品的零售单价；

（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m （m ＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m 为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？

28．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +6）x +3m +9=0的两个实数根分别为x 1，x 2． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若n=4（x 1+x 2）﹣x 1x 2，判断动点P （m ，n ）所形成的函数图象是否经过点A （1，16），并说明理由．

.

. 一元二次方程测试题参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．方程x（x﹣2）=3x的解为（）

A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x 1=0，x2=﹣5

【解答】解：x（x﹣2）=3x，

x（x﹣2）﹣3x=0，

x（x﹣2﹣3）=0，

x=0，x﹣2﹣3=0，

x1=0，x2=5，

故选B．

2．下列方程是一元二次方程的是（）

A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣1）2+1=0

【解答】解：A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

B、由原方程得到2x﹣6=0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；

C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

故选D．

3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）

A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，

∴02+a2﹣1=0，

解得，a=±1，

故选C．

4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12

C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17

【解答】解：设游客人数的年平均增长率为x，

则2016的游客人数为：12×（1+x），

2017的游客人数为：12×（1+x）2．

那么可得方程：12（1+x）2=17．

故选：C．

5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）

A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟

【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，

则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，

×（8﹣t）×2t=15，

解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．

答：动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．

6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（）

A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210

【解答】解：设场地的长为x米，则宽为（x﹣12）米，

根据题意得：x（x﹣12）=210，

故选：B．

7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（）

A．有两个正根

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B ．有一正根一负根且正根的绝对值大

C ．有两个负根

D ．有一正根一负根且负根的绝对值大 【解答】解：x 2+bx ﹣2=0， △=b 2﹣4×1×（﹣2）=b 2+8， 即方程有两个不相等的实数根， 设方程x 2+bx ﹣2=0的两个根为c 、d ， 则c +d=﹣b ，cd=﹣2，

由cd=﹣2得出方程的两个根一正一负，

由c +d=﹣b 和b ＜0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值， 故选B ．

8．x 1，x 2是方程x 2+x +k=0的两个实根，若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立，k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．或﹣1 C ． D ．﹣或1

【解答】解：根据根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣1，x 1x 2=k ． 又x 12+x 1x 2+x 22=2k 2， 则（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=2k 2， 即1﹣k=2k 2， 解得k=﹣1或．

当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去． ∴取k=﹣1． 故本题选A ．

9．一元二次方程ax 2+bx +c=0中，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根

C ．有一正根一负根且正根绝对值大

D ．有一正根一负根且负根绝对值大 【解答】解：∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴△=b 2﹣4ac ＞0，＜0，﹣＞0，

∴一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大． 故选：C ．

10．有两个一元二次方程：M ：ax 2+bx +c=0；N ：cx 2+bx +a=0，其中a ﹣c ≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）

A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根

B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同

C ．如果5是方程M 的一个根，那么是方程N 的一个根

D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1

【解答】解：A 、在方程ax 2+bx +c=0中△=b 2﹣4ac ，在方程cx 2+bx +a=0中△=b 2﹣4ac ， ∴如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根，正确； B 、∵“和符号相同，和符号也相同，

∴如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同，正确； C 、∵5是方程M 的一个根， ∴25a +5b +c=0， ∴a +b +

c=0，

∴是方程N 的一个根，正确；

D 、M ﹣N 得：（a ﹣c ）x 2+c ﹣a=0，即（a ﹣c ）x 2=a ﹣c ， ∵a ﹣c ≠1，

∴x 2=1，解得：x=±1，错误． 故选D ．

11．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根，则（m +2）（n +2）的最小值是（ ） A ．7

B ．11

C ．12

D ．16

【解答】解：∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根， ∴m +n=2t ，mn=t 2﹣2t +4，

∴（m +2）（n +2）=mn +2（m +n ）+4=t 2+2t +8=（t +1）2+7． ∵方程有两个实数根，

∴△=（﹣2t ）2﹣4（t 2﹣2t +4）=8t ﹣16≥0，

.

.

∴t ≥2，

∴（t +1）2+7≥（2+1）2+7=16． 故选D ．

12．设关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根， 则a ≠0且△＞0，

由（a +2）2﹣4a ×9a=﹣35a 2+4a +4＞0， 解得﹣＜a ＜， ∵x 1+x 2=﹣

，x 1x 2=9，

又∵x 1＜1＜x 2，

∴x 1﹣1＜0，x 2﹣1＞0， 那么（x 1﹣1）（x 2﹣1）＜0， ∴x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＜0， 即9++1＜0， 解得

＜a ＜0，

最后a 的取值范围为：＜a ＜0．

故选D ．

方法2、由题意知，a ≠0，令y=ax 2+（a +2）x +9a ， 由于方程的两根一个大于1，一个小于1， ∴抛物线与x 轴的交点分别在1两侧， 当a ＞0时，x=1时，y ＜0， ∴a +（a +2）+9a ＜0， ∴a ＜﹣

（不符合题意，舍去），

当a ＜0时，x=1时，y ＞0， ∴a +（a +2）+9a ＞0，

∴a ＞﹣，

∴﹣

＜a ＜0，

故选D ．

二．填空题（共8小题）

13．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根，则代数式x 12﹣3x 1﹣x 2﹣6的值是 ﹣3 ． 【解答】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根，

∴x 12﹣2x 1=5，x 1+x 2=2，

∴x 12﹣3x 1﹣x 2﹣6=（x 12﹣2x 1）﹣（x 1+x 2）﹣6=5﹣2﹣6=﹣3． 故答案为：﹣3．

14．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，且x 1+x 2=﹣2，x 1?x 2=1，则b a 的值是 ．

【解答】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根， ∴x 1+x 2=﹣a=﹣2，x 1?x 2=﹣2b=1， 解得a=2，b=﹣， ∴b a =（﹣）2=． 故答案为：．

15．已知2x |m |﹣2+3=9是关于x 的一元二次方程，则m= ±4 ． 【解答】解：由题意可得|m |﹣2=2， 解得，m=±4． 故答案为：±4．

16．已知x 2+6x=﹣1可以配成（x +p ）2=q 的形式，则q= 8 ． 【解答】解：x 2+6x +9=8， （x +3）2=8． 所以q=8． 故答案为8．

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17．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣3x +1=0有两个不相等的实数根，且关于x 的不等式组

的解集是x ＜﹣1，则所有符合条件的整数m 的个数是 4 ．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣3x +1=0有两个不相等的实数根， ∴m ﹣1≠0且△=（﹣3）2﹣4（m ﹣1）＞0，解得m ＜且m ≠1，

，∵解不等式组

得

，

而此不等式组的解集是x ＜﹣1， ∴m ≥﹣1， ∴﹣1≤m ＜

且m ≠1，

∴符合条件的整数m 为﹣1、0、2、3． 故答案为4．

18．关于x 的方程（m ﹣2）x 2+2x +1=0有实数根，则偶数m 的最大值为 2 ． 【解答】解：由已知得：△=b 2﹣4ac=22﹣4（m ﹣2）≥0， 即12﹣4m ≥0， 解得：m ≤3，

∴偶数m 的最大值为2． 故答案为：2．

19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为 1 米．

【解答】解：设人行道的宽度为x 米（0＜x ＜3），根据题意得： （18﹣3x ）（6﹣2x ）=60， 整理得，（x ﹣1）（x ﹣8）=0．

解得：x 1=1，x 2=8（不合题意，舍去）．

即：人行通道的宽度是1米． 故答案是：1．

20．如图是一次函数y=kx +b 的图象的大致位置，试判断关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1=0的根的判别式△ ＞ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．

【解答】解：∵次函数y=kx +b 的图象经过第一、三、四象限，

∴k ＞0，b ＜0，

∴△=（﹣2）2﹣4（kb +1）=﹣4kb ＞0． 故答案为＞．

三．解答题（共8小题） 21．解下列方程．

（1）x 2﹣14x=8（配方法） （2）x 2﹣7x ﹣18=0（公式法）

（3）（2x +3）2=4（2x +3）（因式分解法） （4）2（x ﹣3）2=x 2﹣9．

【解答】解：（1）x 2﹣14x +49=57， （x ﹣7）2=57， x ﹣7=±，

所以x 1=7+

，x 2=7﹣

；

（2）△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）=121， x=

，

所以x 1=9，x 2=﹣2；

（3）（2x +3）2﹣4（2x +3）=0， （2x +3）（2x +3﹣4）=0， 2x +3=0或2x +3﹣4=0，

.

.

所以x 1=﹣，x 2=；

（4）2（x ﹣3）2﹣（x +3）（x ﹣3）=0， （x ﹣3）（2x ﹣6﹣x ﹣3）=0， x ﹣3=0或2x ﹣6﹣x ﹣3=0， 所以x 1=3，x 2=9．

22．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣x ﹣2=0

（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m 的值及另一个根． （2）当m 为何值时方程有两个不同的实数根．

【解答】解：（1）将x=﹣1代入原方程得m ﹣1+1﹣2=0， 解得：m=2．

当m=2时，原方程为x 2﹣x ﹣2=0，即（x +1）（x ﹣2）=0， ∴x 1=﹣1，x 2=2， ∴方程的另一个根为2．

（2）∵方程（m ﹣1）x 2﹣x ﹣2=0有两个不同的实数根， ∴

，

解得：m ＞且m ≠1，

∴当m ＞且m ≠1时，方程有两个不同的实数根．

23．关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9=0有实根． （1）求a 的最大整数值；

（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根； ②求2x 2﹣

的值．

【解答】解：（1）根据题意△=64﹣4×（a ﹣6）×9≥0且a ﹣6≠0， 解得a ≤

且a ≠6，

所以a 的最大整数值为7；

（2）①当a=7时，原方程变形为x 2﹣8x +9=0，

△=64﹣4×9=28， ∴x=， ∴x 1=4+

，x 2=4﹣

；

②∵x 2﹣8x +9=0， ∴x 2﹣8x=﹣9， 所以原式=2x 2﹣

=2x 2﹣16x + =2（x 2﹣8x ）+ =2×（﹣9）+ =﹣．

24．关于x 的方程x 2﹣（2k ﹣3）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；

（2）若x 1x 2+|x 1|+|x 2|=7，求k 的值．

【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣（2k ﹣3）]2﹣4（k 2+1）=4k 2﹣12k +9﹣4k 2﹣4=﹣12k +5＞0， 解得：k ＜

；

（2）∵k ＜，

∴x 1+x 2=2k ﹣3＜0， 又∵x 1?x 2=k 2+1＞0， ∴x 1＜0，x 2＜0，

∴|x 1|+|x 2|=﹣x 1﹣x 2=﹣（x 1+x 2）=﹣2k +3，

∵x 1x 2+|x 1|+|x 2|=7，

∴k 2+1﹣2k +3=7，即k 2﹣2k ﹣3=0， ∴k 1=﹣1，k 2=2， 又∵k ＜，

∴k=﹣1．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5one.html