2015年高考数学试题分类汇编(22个专题)

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）

目录

专题一 集合 (1)

专题二 函数 (6)

专题三 三角函数 (21)

专题四 解三角形 (32)

专题五 平面向量 (40)

专题六 数列 (48)

专题七 不等式 (68)

专题八 复数 (80)

专题九 导数及其应用 .................................................................................................................................................... 84 专题十 算法初步 ........................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 .............................................................................................................................................. 120 专题十二 推理与证明 .................................................................................................................................................. 122 专题十三 概率统计 ...................................................................................................................................................... 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .......................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 .............................................................................................................................. 185 专题十六 平面几何初步 .............................................................................................................................................. 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .......................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .................................................................................................................................................... 217 专题十九 几何证明选讲 ............................................................................................................................................ 220 专题二十 不等式选讲 ................................................................................................................................................ 225 专题二十一 矩阵与变换 .............................................................................................................................................. 229 专题二十二 坐标系与参数方程 . (230)

专题一 集合

1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A

B =（ ） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<<

C ．{}33x x -<<

D ．{}

53x x -<<

【答案】A

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考点：集合的交集运算.

2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =

A ．?

B ．{}1,4--

C ．{}0

D ．{}1,4

【答案】A ．

【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题．

3.(15年广东文科) 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）

A ．{}0,1-

B ．{}0

C ．{}1

D ．{}1,1-

【答案】C

【解析】

试题分析：{}1M N =，故选C ．

考点：集合的交集运算．

4.（15年广东文科）若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且， (){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则 ()()card card F E +=（ ）

A ．50

B ．100

C ．150

D ．200

【答案】D

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考点：推理与证明．

5.（15年安徽文科）设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A

C B =( ) （A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （

D ）{}1234，，，

【答案】B

【解析】

试题分析：∵{}6,5,1=B C U ∴()U A

C B ={}1 ∴选B 考点：集合的运算.[学优高考网gkstk]

6.（15年福建文科）若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）

A ．{}0

B ．{}1

C ．{}0,1,2

D {}0,1

【答案】

D

考点：集合的运算．

7.(15年新课标1文科)

8.(15年新课标2理科) 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 【答案】A 【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-，故选A

9.(15年新课标2文科) 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A

B =（ ） A ．()1,3- B ．()1,0-

C ．()0,2

D ．()2,3

【答案】

A

考点：集合运算.

10.(15年陕西理科) 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）

A ．[0,1]

B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．(,1]-∞

【答案】A

【解析】 试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ．

考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．

11.(15陕西文科) 集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M

N =（ ）

A ．[0,1]

B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．(,1]-∞

【答案】A

考点：集合间的运算.

12.(15年天津理科) 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =e

（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8

【答案】A

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 【解析】

试题分析：{2,5,8}U B =e,所以{2,5

}U A

B =e，故选A. 考点：集合运算.

13.(15年天津理科) 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B =（）e（ ）

(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}

【答案】B

【解析】

试题分析：{2,3,5}A =,{2,5}U B =e,则{}A 2,5U B

=（）e,故选B. 考点：集合运算

14.(15年浙江理科)

1

5.(15年山东理科) 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A

B = (A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)

解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A B =-+<=<<=,答案选(C)

16.(15年江苏) 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______.

【答案】5

【解析】

试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==，，，，，，，，，个元素

考点：集合运算

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 专题二 函数

1.（15年北京理科）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是

A ．{}|10x x -<≤

B ．{}|11x x -≤≤

C ．{}|11x x -<≤

D ．{}

|12x x -<≤

【答案】C

【解析】

考点：1.函数图象；2.解不等式.

2.（15年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车

在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

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A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】

【解析】

试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.

考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.

3.（15年北京理科）设函数()(

)()2142 1.x a x f x x a x a x ?-

②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是

． 【答案】(1)1，(2) 112

a ≤<或2a ≥.

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.

4.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）

A ．2sin y x x =

B ．2cos y x x =

C ．ln y x =

D ．2x y -=

【答案】B

【解析】

试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.

考点：函数的奇偶性.

5.(15年北京文科) 32-，12

3，2log 5三个数中最大数的是 ．

【答案】2log 5

【解析】

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 试题分析：3

1218-=<

，1231=>

，22log 5log 42>>>2log 5最大. 考点：比较大小.

6.（15年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A ．x e x y +=

B ．x x y 1+

= C ．x x y 212+= D ．21x y += 【答案】A ．

【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．

【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．

7.（15年广东理科）设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2。

(1) 求)(x f 的单调区间 ；

(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；

(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）,证明：123--≤e

a m ． 【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】（1）依题()()()()()222'1'1'10x x x f x x e x e x e =+++=+≥，

∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数；

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【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识，属于中高档题．

8.（15年广东文科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A ．2sin y x x =+

B ．2cos y x x =-

C ．122x x

y =+

D ．sin 2y x x =+ 【答案】A

【解析】

试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2

cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2

cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+

的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222

x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．

考点：函数的奇偶性．

4.9.（15年安徽文科）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

（A ）y=lnx （B ）21y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx

【答案】D

考点：1.函数的奇偶性；2.零点.

10.10.（15年安徽文科）函数()32

f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是(

)

（A ）a>0，b<0，c>0，d>0

（B ）a>0，b<0，c<0，d>0

（C ）a<0，b<0，c<0，d>0

（D ）a>0，b>0，c>0，d<0

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 【答案】

A

考点：函数图象与性质.[学优高考网]

11.（15年安徽文科）=-+-1)2

1(2lg 225lg

。 【答案】-1

【解析】 试题分析：原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+-

考点：1.指数幂运算；2.对数运算.

12．（15年安徽文科）在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 。 【答案】12

-

【解析】 试题分析：在同一直角坐株系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：由题意，可知 2

112-=?-=a a 考点：函数与方程.

13.（15年福建理科）下列函数为奇函数的是( )

A

．y =

B ．sin y x =

C ．cos y x =

D ．x x y e e -=-

【答案】D

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 考

点：函数的奇偶性．

14.（15年福建理科）若函数()6,2,3log ,2,

a x x f x x x -+≤?=?+>? （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 ．

【答案】(1,2]

考点：分段函数求值域．

15.（15年福建文科）下列函数为奇函数的是( )

A

．y =

B ．x y e =

C ．cos y x =

D ．x x y e e -=- 【答案】D

【解析】

试题分析：函数y =x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ． 考点：函数的奇偶性．

16.（15年福建文科）若函数()2

()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．

【答案】1

【解析】

试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2

x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1．

考点：函数的图象与性质．

17.（15年新课标1理科）若函数f(x)=xln （

a=

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 【答案】1

【解析】由题知ln(y x =

是奇函数，所以ln(ln(x x +-

=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.

18.（15年新课标2理科）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-

,2(2)(log 12)f f -+=( ) （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

【答案】C

【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故 2(2)(log 12)9f f -+=．

19.（15年新课标2理科）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为

【答案】

B

的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π

=对称，且()()42

f f ππ

>，且轨迹非线型，故选B ． 20.（15年新课标2文科）如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）

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A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】

B

考点：函数图像

21.（15年新课标2文科）设函数21()ln(1||)1f x x x =+-

+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）

A ．1,13?? ???

B ．()1,1,3??-∞+∞ ?

?? C ．11,33??- ??? D ．11,,33????-∞-+∞ ? ????? 【答案】A

【解析】

试题分析：由2

1()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113

f x f x f x f x x x x >-?>-?>-?<< .故选A. 考点：函数性质

22.（15年新课标2文科）已知函数()3

2f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．

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【解析】

试题分析：由()3

2f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=?=- . 考点：函数解析式

23.（15

年陕西文科）设10()2,0x x f x x ?≥?=?

14 C ．12 D ．32

【答案】C

考点：1.分段函数；2.函数求值.

24.（15年陕西文科）设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）

A ．既是奇函数又是减函数

B ．既是奇函数又是增函数

C ．是有零点的减函数

D ．是没有零点的奇函数

【答案】B

【解析】

试题分析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-?-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；

()1cos 0()f x x f x '=-≥?是增函数.

故答案选B

考点：函数的性质.

25.（15年陕西文科）设()ln ,0f x x a b =<<

，若p f =，(

)2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）

A ．q r p =<

B ．q r p =>

C ．p r q =<

D ．p r q =>

【答案】C

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试题分析：1ln 2p f ab ===；()ln 22a b a b q f ++==；11(()())ln 22

r f a f b ab =+=

因为2a b +>()ln f x x =

是个递增函数，()2a b f f +> 所以q p r >=，故答案选C

考点：函数单调性的应用.

26.（15年天津理科）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<

【答案】C

【解析】

试题分析：因为函数()21x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x

f x =-，所以 221lo

g log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ??===-=-=-= ??

? ()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=

所以c a b <<，故选C.

考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.

27.（15年天津理科）已知函数()()22,2,2,2,

x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是

（A ）7,4??+∞ ??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ???（D ）7,24?? ???

【答案】D

【解析】

试题分析：由()()22,2,2,2,

x x f x x x -≤??=?->??得222,0(2),0x x f x x x --≥??-=??

，

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 即222,0()(2)2,

0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+?

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程

()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72

b <<. 考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.

28.（15年天津理科）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .

【答案】16

【解析】

试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积

()1

122300111236S x x dx x x ??=-=-= ????. 考点：定积分几何意义.

29.（15年天津文科）已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）

(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<

【答案】B

【解析】

试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B.

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.

30.（15年天津文科）已知函数22||,2()(2),2

x x f x x x ì- ?=í->??,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为

(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5

【答案】

A

考点：函数与方程.

31.（15年湖南理科）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数

B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数

C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数

D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数

【答案】A.

【解析】

试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-，∴)(x f

32.（15年湖南理科）已知32,(),x x a f x x x a

?≤=?>?，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围

是 .

【答案】),1()0,(+∞-∞ .

【解析】

试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3a x b x ≤=与方程)(2

a x

b x >=的根的个数和为2，

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组???

????≤->≤a

b a b a

b 31

有解，从而1>a ；

若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a x b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组?????>->a

b a b 31

有解，从而

0

考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.

33.（15年山东理科）要得到函数sin(4)3y x π=-

的图象，只需将函数sin 4y x =的图像 (A)向左平移12π

个单位 (B) 向右平移12

π个单位 (C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3

π个单位 解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12

π个单位答案选(B) 34.（15年山东理科）设函数31,1,()2,

1.x x x f x x -

[,)3+∞ (D) [1,)+∞

解析：由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥??≥?或1311

a a

b =+(0,1)a a >≠的定义域

和值域都是[1,0]-，则a b += .

解析：当1a >时1010

a b a b -?+=-?+=?，无解； 当01a <<时1001

a b a b -?+=?+=-?，解得12,2b a =-=， 则13222

a b +=-=-. 36.（15年江苏）已知函数|ln |)(x x f =，???>--≤<=1

,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为

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b17ed773f705cc175427093e/ b17ed773f705cc175427093e/ 【答案】

4

考

点：函数与方程

专题三 三角函数

1.（15

北京理科）已知函数2()cos 222

x x x f x ． (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；

(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．

【答案】（1）2π，（2

）1--

【解析】

试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ω?=++形

式，再利用周期公式2T π

ω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-

≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当4

2x π

π+=-，即34x π=-时，()f x

取得最小值为：12--. 试题解析：(Ⅰ

) 211cos ()sin cos sin sin 22222x

x

x

x f x x -=-=?

-?=

sin cos x x =+

-sin()4x π=+-

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