万有引力定律复习资料

万有引力定律

一、开普勒三定律：

开普勒第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：对每个行星来说，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

开普勒第三定律：所有行星的椭圆轨道的长半轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。 即 二、万有引力定律：

1、内容：任何两个物体都是互相吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，

R3?常数（K） 2T跟它们的距离的平方成反比。这就是万有引力定律。

2、公式

F?Gm1m2 R2应注意：（1）公式中G称作万有引力恒量，经测定G?6.67?10?11N·m2/Kg2。 （2）公式中的R为质点间的距离。对于质量分布均匀的球体，可把它看做是质量集中

在球心的一个点上。

（3）从G?6.67?10?11N·m2/Kg2可以看出，万有引力是非常小的，平时很难觉

察，所以它的发现经历了对天体（质量特别大）运动的研究过程。 小结：

1、万有引力定律的公式：F?Gm1m2 只适用于质点间的相互作用。这里的“质点”要2r求是质量分布均匀的球体，或是物体间的距离r远远大于物体的大小d(r??d)，这两种情况。

2、运用万有引力定律解决具体问题时，要特别注意指数运算。 3、在计算过程中，如果要求精度不高，可取G?使计算简化。 三、公式的转换

1、根据环绕天体绕中心天体表面转动时

20?10?11N·m2/Kg2来运算，这样可3

2、根据环绕天体绕中心天体在以某高度转动时

3、已知中心天体的半径和表面重力加速度时

4、角速度，线速度，周期的关系

可得：

结论：线速度、角速度、周期都与卫星的质量无关，仅由轨道半径决定。当卫星环绕地球表面运行时，轨道半径最小为地球半径（r=R），此时线速度最大，角速度最大，周期最小。

111．火星的质量和半径分别约为地球的10和2，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的

重力加速度约为（ ）

A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g

2、据报道．我国数据中继卫星“天链一号01 星”于2008 年4 月25 日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4 次变轨控制后，于5 月l 日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01 星”，下列说法正确的是（ ） A． 运行速度大于7.9Kg/s

B．离地面高度一定，相对地面静止

C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D． 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

四、宇宙速度

1．第一宇宙速度7．9 km/s

定义：人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度。

高轨道发射卫星比低轨道发射卫星困难，原因是高轨道发射卫星时火箭要克服地球对它的引力做更多的功。

以第一宇宙速度发射卫星时其刚好能在地球表面附近作匀速圆周运动；如果卫星的速度小于第一宇宙速度，卫星将落到地面而不能绕地球运转； 进入半径越大的轨道，所需要的发射V 越大。 人造卫星的发射速度与运行速度是两个不同的概念。 （1）发射速度

所谓发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道。要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。若发射速度等于第一宇宙速度，卫星只能“贴着”地面近地运行。如果要使人造卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度。

（2）运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。根据

可知，人造卫星距

地面越高（即轨道半径r越大），运行速度越小。实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度。 卫星的运行速度与发射速度的区别；

·第一宇宙速度是卫星发射的最小速度，是卫星运行的最大速度。 运行速度 指卫星在稳定的轨道上绕地球转动的线速度 发射速度 指被发射物体离开地面时的水平初速度 2．第二宇宙速度（脱离速度）：

①意义：使卫星挣脱地球的引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度。 ②如果人造天体的速度大于11．2km/s而小于16．7km/s，则它的运行轨道相对于太阳将是椭圆，太阳就成为该椭圆轨道的一个焦点。 3．第三宇宙速度（逃逸速度）：

①意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

②如果人造天体具有这样的速度并沿着地球绕太阳的公转方向发射时，就可以摆脱地球和太阳引力的束缚而邀游太空了。

1．图是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是（ ） A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关 C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D．在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 2．一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，

如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F1＝7F2，设R、m、引力常量G以及F1为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是 ( ) A．该星球表面的重力加速度为

7mB．卫星绕该星球的第一宇宙速度为 F1

Gm RF1R2

C．星球的质量为

7GmD．小球在最高点的最小速度为零

3． “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 （ ） A．r、v都将略为减小 B．r、v都将保持不变

C．r将略为减小，v将略为增大 D． r将略为增大，v将略为减小 五、关于第一宇宙速度 1．当人造卫星的速度

周运动，轨迹如图3中的“4”示。

时，卫星必绕地球作轨道半径等于地球半径的匀速圆

2．当人造卫星的速度时，物体将以地球为焦点作椭圆运动，且物体速

度V越大椭圆将越扁。图3示轨迹“1”。 3．当人造卫星的速度中“2”。

4．当人造卫星的速度

时物体将作双曲线运动，轨迹图3中“3”示。 时物体恰作以地球为焦点的抛物线运动，轨迹图3

注意：当物体作抛物线运动、双曲线运动时物体将永远不可能再飞回到地球。 1．2008年9月25日21时10分“神舟七号”载人飞船发射升空，进人预定轨道绕地球自西向东作匀速圆周运动，运行轨道距地面343Km．绕行过程中，宇航员进行了一系列科学实验，实现了我国宇宙航行的首次太空行走．在返回过程中，9月28日17时30分返回舱主降落伞打开，17时38分安全着陆．下列说法正确的是 （ ） A．飞船做圆周运动的圆心与地心重合

B．载人飞船轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度

C．载人飞船绕地球作匀速圆周运动的速度略大于第一宇宙速度7.9km／s D．在返回舱降落伞打开后至着地前宇航员处于失重状态

2. 我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比（ ） A．卫星动能增大，引力势能减小 B．卫星动能增大，引力势能增大 C．卫星动能减小，引力势能减小 D．卫星动能减小，引力势能增大

3. 已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是（ ）

3A.卫星距离地面的高度为

GMT24?2 B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度

GC.卫星运行时受到的向心力大小为

MmR2

D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

4.月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为（A）

g1，

g2，则（ ）

g1?a （B）g2?a （C）g1?g2?a （D）g2?g1?a

5. 航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（ ） （A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 （B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 （D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 六、人造地球卫星运行问题的几个原则 1．轨道球心同面原则

轨道球心同面原则，是说人造地球卫星的运行轨道平面必通过地球球心。设想有一人造地球卫星的运行轨道不通过地心，而仅垂直于地轴，如图1所示。则卫星将在地球对其的万有引力F的分量F2作用下绕地轴做圆周运动；同时在F的分量F1的作用下在地球赤道平面上下振动。这样，这个卫星的运行轨道将成为螺旋线，而不是圆形轨道了，这样的轨道显然是不存在的。 2．轨道决定一切原则

设地球质量为M、半径为R，一质量为m的人造地球卫星在距地面h高度的轨道上做圆周运动，向心加速度为A、线速度为v、角速度为ω、周期为T。由牛顿第二定律和万有

引力定律有：以上几式得：

或，而、。解

，，，。

由此结果可以看出，影响卫星运动情况的与卫星有关的参数中仅仅是卫星的轨道半径。 3．速度影响轨道原则

在某确定轨道（半径一定）上圆周运动的卫星，由于某种原因的影响，若速度为生了变

化，由基本关系式可以得出：。由此知，轨道半径随

卫星运行速度的增大而减小，这一过程中引力对卫星做正功，又使卫星的速度增大；随卫星运行速度的减小而增大，这一过程中引力对卫星做负功，又使卫星速度减小，直到在新的轨

道上以新的速度运行，此时又有 4．近地卫星五最原则

。

所谓近地卫星，是指在距地面的高度远小于地球半径轨道上运行的卫星，此时R>>h，h≈0。在“2”中得出的几个结果中，令h=0得人造地球卫星的几个极值是：

向心加速度最大： 向心力最大：

（g为地面的重力加速度）

环绕速度最大：

角速度最大：

运行周期最小：

5．同步通讯卫星五定原则

同步通讯卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，卫星相对于地面静止，其周期与地球自转周期相等，即T=24h，将T值代入“2”中各结论表达式可得：

共有五个确定值。

6．加速度相切相同原则

人造地球卫星发射时一般经历三个阶段，先将其发射至距地球较近的环绕轨道1上，使卫星环绕地球做圆周运动。在适当的位置，如Q点改变卫星运行的切向速度大小，使其改变轨道绕地球做椭圆轨道2（转移轨道）运行，再在椭圆轨道的远地点P改变卫星运行的切向速度，使其在距地面较远的轨道3（运行轨道）上绕地球做圆周运动，如图2所示。

在两轨道的相切处如图2中的Q、P两点，两次离地心距离相等，由万有引力定律及牛顿第二定律可知卫星在两个轨道上运行经过两轨道相切点时的向心加速度相同。

，

，

，

，再加上

7．速度近大远小原则

行星绕太阳的运动轨迹一般是椭圆，卫星发射时在转移轨道的运动轨迹也是椭圆，太阳（或地球）处在椭圆的一个焦点上，当行星（或卫星）由近日（地）点向远日（地）点运动时，万有引力做负功，动能减小，速度减小，远日（地）点速度最小；当行星（或卫星）由远日（地）点向近日（地）点运动时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，近日（地）点速度最大。

七、“万有引力定律”习题归类例析 一、求天体的质量(或密度)

1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量

MmR2g由mg=G2 得 M?.（式中M、g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速

GR度和天体的半径．）

[例1]宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度ρ.

2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量

卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得

Mmv24?22G2?m?mr??mr2

rrT若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度?或线速度v，可求得中心天体的质

rv24?2r3?2r3??量为M? GGGT2[例2]下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（ ） A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r

C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

D.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r

二、人造地球卫星的运动参量与轨道半径的关系问题

Mmv24?22?mr??mr2?ma 根据人造卫星的动力学关系G2?mrrTGMGM4?2r3GM可得v? ,??,T?,a?32rGMrr由此可得线速度v与轨道半径的平方根成反比；角速度?与轨道半径的立方的平方根成反比，周期T与轨道半径的立方的平方根成正比；加速度a与轨道半径的平方成反比． [例3两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA:TB?1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）

A. RA:RB?4:1,vA:vB?1:2 B. RA:RB?4:1,vA:vB?2:1 C. RA:RB?1:4,vA:vB?2:1 D. RA:RB?1:4,vA:vB?1:2 三、地球同步卫星问题

卫星在轨道上绕地球运行时，其运行周期（绕地球一圈的时间）与地球的自转周期相同，这种卫星轨道叫地球同步轨道，其卫星轨道严格处于地球赤道平面内，运行方向自西向东，运

Mm4?2动周期为23小时56分（一般近似认为周期为24小时），由G2?mr2得人造地球

rT同步卫星的轨道半径r?4.24?10km，所以人造同步卫星离地面的高度为3.6?10km,

44Mmv2利用G2?m可得它运行的线速度为3.07 km/s.总之，不同的人造地球同步卫星的

rr轨道、线速度、角速度、周期和加速度等均是相同的．不一定相同的是卫星的质量和卫星所受的万有引力．

人造地球同步卫星相对地面来说是静止的，总是位于赤道的正上空，其轨道叫地球静止轨道．通信卫星、广播卫星、气象卫星、预警卫星等采用这样的轨道极为有利一颗静止卫星可以覆盖地球大约40％的面积，若在此轨道上均匀分布3颗卫星，即可实现全球通信或预警．为了卫星之间不互相千扰，大约3左右才能放置1棵，这样地球的同步卫星只能有120颗．可见，空间位置也是一种资源。

[例4]关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（ ）

0

A.已知它的质量是1.24 t，若将它的质量增为2.84 t，其同步轨道半径变为原来的2倍 B.它的运行速度为7.9 km/s

C.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播

D.它距地面的高度约为地球半径的5倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的

1 36四、求天体的第一宇宙速度问题

Mmv2GM人造地球卫星的线速度可用G2?m求得v?可得线速度与轨道的平方根成

rrr反比，当r=R时，线速度为最大值，最大值为7.9 km/s. (实际上人造卫星的轨道半径总是大于地球的半径，所以线速度总是小于7.9 km/s）这个线速度是地球人造卫星的最大线速度，也叫第一宇宙速度．发射人造卫星时，卫星发射的越高，克服地球的引力做功越大，发射越困难，所以人造地球卫星发射时，一般都发射到离地很近的轨道上，发射人造卫星的最小发射速度为7. 9 km/ s.

在其他的星体上发射人造卫星时，第一宇宙速度也可以用类似的方法计算，即

v?度．

GM?Rg，式中的M、R、g 分别表示某星体的质量、半径、星球表面的重力加速r[例5]若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ ） A. 2 km/s B. 4 km/s C. 16 km/s D. 32 km/s 五、人造卫星的变轨问题

发射人造卫星要克服地球的引力做功，发射的越高，克服地球的引力做功越多，发射越困难．所以在发射同步卫星时先让它进入一个较低的近地轨道（停泊轨道）A，然后通过点火加速，使之做离心运动，进入一个椭圆轨道（转移轨道）B，当卫星到达椭圆轨道的远地点时，再次通过点火加速使其做离心运动，进人同步轨道C。

[例6]如图所示，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是（ ）

A.卫星在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越小

B.卫星在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率

C.卫星在轨道B上经过P时的向心加速度与在轨道A上经过P点的向心加速度是相等的 D.卫星在轨道B上经过Q点时受到地球的引力小于经过P点的时受到地球的引力 六、人造天体的交会对接问题

交会对接指两个航天器（宇宙飞船、航天飞机等）在太空轨道会合并连接成一个整体．它是实现太空装配、回收、补给、维修、航天员交换等过程的先决条件．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接．所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体． [例7]关于航天飞机与空间站对接问题，下列说法正确的是（ ）

A.先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机加速，即可实现对接 B.先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机减速，即可实现对接 C.先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接 D.先让航天飞机进入较高的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接 七、双星问题

两棵质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫做双星．双星中两棵子星相互绕着旋转看作匀速圆周运动的向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，因两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，线速度与两子星的轨道半径成正比．

[例8]两棵靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（ ） A.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比 B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比 C.它们做圆周运动的半径与其质量成正比 D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比 八、地面上物体随地球自转做圆周运动问题

因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图所示． 实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持

物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图所示．这个重力与地面对物体的支持力是一对平衡力．在赤道上时这些力在一条直线上．

在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律可得其动力学关

Mm4?22系为G2?N?mR??ma，式中R、M、?、T分别为地球的半径、质量、向?mR2RT自转角速度以及自转周期。

当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零，即N=0，这时物体做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件是：由地球对物体的万有引力提供向心力。以上的分析对其它的自转的天体也是适用的。 [例9]地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( ) A.

g?ag?aga B. C. D. gaaa练习：1. 在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。

2. 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104 km和r B＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示） ⑴求岩石颗粒A和B的线速度之比； ⑵求岩石颗粒A和B的周期之比；

⑶土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

3. 如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为 g，O为地球中心。 （1）求卫星B的运行周期。

（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相

距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？

4. 火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器，如图所示。火箭从地

go面起飞时，以加速度2竖直向上做匀加速直线运动(g0为地面附近的重力加速度)，已知地

球半径为R。

17(1)升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的18，求此时火箭

离地面的高度h；

(2)探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T0，试问：该行星的平均密度为多少？ (假定行星为球体，且已知万有引力常量为G)

5. 已知万有引力常量G，地球半径R，月球与地球间距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1,地球自转周期T2,地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：

4?2h3Mm2?2G2?m(2)hM?2GThT2同步卫星绕地心做圆周运动，由得

（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。 （2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法，并解得结果。

6. 国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征-2F运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R， 求：（1）飞船在近地点A的加速度aA为多大？ （2）远地点B距地面的高度h2为多少？

7. 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是（ ）

A、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。 8. 如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则（ ） A．v1＞v2＞v3 B．v1＜v2＜v3 C．a1＞a2＞a3 D．a1＜a3＜a2

9. ．发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近（ ） A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大 C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大

10. 2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远

地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ） A．飞船变轨前后的机械能相等

Q 地球 轨道2 轨道1 P预定圆轨道

地球 B A B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 11. 为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则（ ）

M?A. X星球的质量为

4?2r1GT1

gX?4?2r1T122B. X星球表面的重力加速度为

C. 登陆舱在r1与r2轨道上运动是的速度大小之比为

v1?v2m1r2m2r1

D. 登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为

T2?T1r2r133

12. 甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是（ ） A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度 C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方

13. 火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为运行周期为比为

T1，

神州飞船在地球表面附近圆形轨道

T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1、T2之

A.pq3 B.

1pq3 C. pq3 D.

q3p 14. 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运

行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ）

A. 甲的运行周期一定比乙的长 B. 甲距地面的高度一定比乙的高 C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大

15．2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是 A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

1．答案：B

Mm

解析：考查万有引力定律。星球表面重力等于万有引力，G2 = mg，故火星表面的重力加

R

g火M火R地2

速度 = = 0.4，故B正确。

g M地R火2 2．答案：BC

解析：由题目可以后出“天链一号卫星”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9m/s,而他

Q 地球 轨道2 轨道1 P??的位置在赤道上空，高度一定，A错B对。由D错。

【高考考点】万有引力定律在航天中的应用。

2?GMa?2T可知，C对。由R可知，

a?【易错提醒】D选项，不能应用1. 【答案】C

GMR2，凭借直观感觉选上此选项。

【解析】由于发射过程中多次变轨，在开始发射时其发射速度必须比第一宇宙速度大，不需

Mm4?2F?G2?m2rrT要达到第三宇宙速度，选项A错误。在绕月轨道上，根据可知卫星

的周期与卫星的质量无关，选项B错误，选项C正确。由于绕月球运动，地球对卫星的引力较小，故选项D错误。

v12v22

2. 解析：小球在最低点有F1－mg＝m；小球在最高点有F2＋mg＝m；小球从最低点到

RR11

最高点的过程中遵循机械能守恒定律mv12＝mg2R＋mv22，又F1＝7F2，联立解得该星球表

22m星mF1v12

面的重力加速度为g＝，选项A正确；由G2＝m得卫星绕该星球的第一宇宙速度为7mRRGm星m星mF1F1R2

，选项B错误；由G2＝mg和g＝解得星球的质量为，选项C正确． RR7m7Gm答案：AC

3．C解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大 1.AB解析：飞船做圆周运动的向心力由地球对飞船万有引力提供，故“两心”（轨道圆心和

Mmv2G?m2R?h以及地心）重合，A项正确；根据万有引力提供向心力可知：(R?h)GMm?mgR2计算可知：飞船线速度约为7.8km/s（C错）；卫星离地面高度343km远小于

4同步卫星离地高度3.6?10km，B项正确；在返回舱降落伞打开后至着地前宇航员，宇航员减速向下运动，加速度方向向上，故处于超重状态，D项错。

2. 解析：周期变长，表明轨道半径变大，速度减小，动能减小,引力做负功故引力势能增大选D

Mm2?2Mmv2G?m()(R?H)G?m22TR?H，B正(R?H)3. 解析：根据，A错，由(R?H)G确，由

Mm?mg2(R?H)，C错D对。选BD

4. 解析：根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，选B。 5.答案：ABC

解析：A．根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，A正确； B．由I轨道变到II轨道要减速，所以B正确；

R3?c2 C．根据开普勒定律，T，R2?R1，所以T2?T1。C正确；

a? D．根据

GMR2,应等于，D错误；

例1、[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．

12gt 212222设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt．有(gt)?(vt)?L ○1

21当以2v的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt．所以有(gt2)2?(2vt)2?(3L)2 ②

2Mm在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G2 ③

R根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为y?23LR2联立以上三个方程解得M? 23Gt而天体的体积为V?43M3L?R，由密度公式??得天体的密度为??。 3V2?Gt2R例2、[解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由GMm?mr?2可以求出中心天体地球的质量，所以C项正确．由2rMm4?24?2r3G2?mr2求得地球质量为M?，所以D项正确． rTGT24?2r3例3、[解析]由T?可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比，由

GMTA:TB?1:8可得轨道半径RA:RB?1:4，然后再由v?所以正确答案为C项．

例4、[解析]同步卫星的轨道半径是一定的，与其质量的大小无关．所以A项错误．因为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度近似等于7.9 km/ s，而卫星的线速度随轨道半径的增大而减小，所以同步卫星的线速度一定小于7.9 km/s,实际计算表明它的线速度只有3.07 km/s。所以B项错误．因同步卫星的轨道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以

GM得线速度vA:vB?2:1。r同步轨道不可能过北京的正上方．所以C项错误．同步卫星的向心加速度a?在地面上的重力加速度g?GM，物体r2GM1r?6Ra?g。D选项正确。 ，依题意，所以236RMmv2GM例5、[解析]由G2?m得v??8 m/s，某行星的第一宇宙速度为

RRRv??GM?6GM??16 m/s ?R1.5R例6、[解析]卫星在轨道B上由P到Q的过程中，远离地心，克服地球的引力做功，所以要做减速运动，所以速率是逐渐减小的，A项正确．卫星在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据v?GM可知轨道半径越大，线速度小，所以有vP?vQ,所以B项错误．卫星r在A、B两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，C项正确、卫星在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，所以D项正确．

例7、[解析]航天飞机在轨道运行时，若突然对其加速时，地球对飞机的万有引力不足以提供航天飞机绕地球做圆周运动的向心力，航天飞机就会做离心运动，所以选项A、B、D不可能实现对接。正确答案为C项。

例8、[解析]两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等．由v?r?得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的．因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由GM1M2?M1r1?2可知M1r1?2?M2r2?2，所以它们2L的轨道半径与它们的质量是成反比的．而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的．正确答案为B、D选项．

例9、[解析]设地球原来自转的角速度为?1，用F表示地球对赤道上的物体的万有引力, N表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律得F?N?mR?1?ma ① 而物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有N?G?mg ②

当当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为?2，有F?mR?2 ③

22联立①、②、③三式可得

?2??1g?a，所以正确答案为B项。 aMmMmπ ′ = m( 2 )2r ② 1. G── = m′g′ ① G────22r0rT 2─────────υ1 =2 g′h ③ υ = √υ12 +υ02 ④ υ =

√

──────3─2

r8πh 2

──── ─── +υ20T 2r0

2. 解：⑴设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据

GM0GM0mmv2v??2r rr 解得：牛顿第二定律和万有引力定律：

vA?对于A、B两颗粒分别有：

GM0rAvB?和

GM0rBvA6?v2

得： BT?⑵设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：

2πrv

TA?对于A、B两颗粒分别有：

2πrA2πrBTA26TB??vA和vB 得： TB9

⑶设地球质量为M，地球半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0/＝3.2×105 km处的引力为G0/，根据万有引

G0?力定律：

GMm0GM0m0/M0G?2?950/2r0 r0M 解得：

?2??Mm?G?m?T??(R?h)(R?h)2?B?(R?h)3TB?2?gR2gR2(R?h)323. （Ⅰ）由万有引力定律和向心力公式得 …①

GMm?mgR2…② 联立①②得

…③

（2）由题意得

?B??0t?2?…④ 由③得

?B?…⑤

t?代入④得

2?gR2??03(R?h)

N1?mg0。

4. 解析：(1)起飞前

N217GMmmg0GMm??mgN2?mg??mg022N18(R?h)2 1起飞后 R。 。

h?联立以上各式解得

R2。

M13πGM1m2π2?mr()???22VGTrTM001(2)设行星半径为r，质量为，密度为??，则。

5. 解析：（1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略，正确解法和结果：

mM2?24?2(R?h)3G?m(2)(R?h)M?22(R?h)TGT2得

（2）方法一：月球绕地球做圆周运动，由

Mm2?G2＝mr()2rT14?2r3M?2GT1得

G方法二：在地面重力近似等于万有引力，由

Mm＝mgR2gR2M?G 得

4?2(R?h)3M?2GT2答案：（1）结果错误，正确结果

24?2r3gRM?M?2GTG 1（2） ；

6. 解答：（1）设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点受到的地球引力为 F?GMm?R?h1?2 2分 地球表面的重力加速度

FGMgR2aA???m?R?h1?2?R?h1?2T?2g?GMR2 2分

由牛顿第二定律得 2分

（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期

GMmtn 1分

h2?3由牛顿运动定律得

?R?h2?2?2???m???R?h2??T?3分 解得

gR2t2?R4?2n22分

7. 解析：同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h，角速度ω一定

mM4?2根据万有引力定律G2?m2r得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度

rT也是一定的。地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心

为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。故B正确，C错误。 不同通讯卫星因轨道半径相同，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A错误。

Mmv2由G2?ma?m知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大小一定。

rr故正确答案是：B、D

8. 析：本题是比较类型题。对于这类问题，一定要抓住相同的地方和不同的地方进行比较.山丘e和同步通信卫星q具有共同的角速度,山丘e与近地卫星p具有相同的万有引力,但支持力不同,近地卫星只受万有引力,而山丘e还受地面的支持力.同步卫星与近地卫星都是万有引力全部提供向心力.由于山丘e和同步通信卫星q具有共同的角速度,所以有

v1?v3,答案A

错误.又由于同步卫星与近地卫星都是万有引力全部提供向心力,所以根据万有引力充当向心

GMMmv2v?G2?mR,所以有半径越小,卫星的线速度越大,即v2?v3.所以答案R得R力有

B错误. 由于山丘e和同步通信卫星q具有共同的角速度,所以有a??R,即半径越大,加速度越大,有

2a3?a1.所以答案C错误.一道题中至少一有一个选项是正确的,所以可憎确定答案

a?GMR2,

D一定正确.另可以由于同步卫星与近地卫星都是万有引力全部提供向心力,得出即R越大,加速度越小,所以有

a2?a3,所以答案D正确.

9. 解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上的物体的线速度最大，发射时较节能，因此B正确。 10. 答案：BC

解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期

90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据

T?2??可知，飞船在此圆轨道上运动的角

度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。

11. 答案：AD

G解析：根据

Mm1r12?2??m1r1??T?1??2?Mm2??G?mr22?2?r2?、?T22?4?2r1?M?2?GT1、?，可得

2T2?T12r2r133，故A、D正确；登陆舱在半径为r1的圆轨道上运动的向心加速度

a?r1?1?4?2r1T12，此加速度与X星球表面的重力加速度并不相等，故C错误；根据

v1GMGMmv2?v??mr，则v2r，得r212. 答案：AC

r2r1，故C错误。

Mmv24?2G2?ma?m?mr2rrT，可得向心加速度之比解析：万有引力提供向心力，由

a甲a乙2T甲r乙??2?1T乙r甲，C正确；周期之比

3r甲3r乙?1，A正确；甲、乙均为两颗地球卫星，运

行速度都小于第一宇宙速度，B错误；甲为地球同步卫星运行在赤道上方，D错误。 13. 答案：D

解析：设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由

3?1Mm?2??43?3T??G2?m?RM??V???R????G?；又因R3GT2，即?T?和，解得

2??为

MMM3??33TqR14V?T??R3RpM，T23，所以。

14. 答案：D

GMR3v?T?2?rGM解析：由可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B错；由公式

可知甲的周期小故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；碎片

GMmGM?ma?a22的加速度是指引力加速度由R得R，可知甲的加速度比乙大，故D对。

15. 答案：BC

解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期

T?90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据

2??可知，飞船在此圆轨道上运动的角

度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。

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