江苏省常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题(word版)含答案

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常州市教育学会学生学业水平监测

高三数学Ⅰ试题 2011.1

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

1．若()()125a i i i ++= （其中,a R i ∈为虚数单位），则a 的值是 ▲ ． 2．从集合{}1,0,1,2-中任取两个不同的元素,a b ，则事件“乘积0ab <”发生的概率为 ▲ ． 3．函数()sin 2042f x x x ππ?

??

?

=+

≤≤ ? ?????

的单调递增区间是 ▲ ． 4．某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出 了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于 20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示， 则其中支出在[]50,60元的同学有 ▲ 人． 5．已知函数()11,02(1),0

x x f x f x x -???≤? ?=????

->? ， 则()21log 3f += ▲ ．

6．如图所示的算法流程框图中，若输入4,48a b ==，则最后 输出的a 的值是 ▲ ．

7．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若()*31n n S n N =-∈,则

2

009

2011

2010

a a

a +的值为 ▲ ．

8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且 ()0,2x ∈时，()2

1f x x =+，则()7f 的值为 ▲ ．

9．设1e 、2e 是夹角为60?的两个单位向量，已知O M = 1e ，

O N = 2e ，O P x O M y O N =?+?

(,x y 为实数) ．若△P M N 是以M 为直角顶点的直

角三角形，则x y -取值的集合为 ▲ ．

频率

0.01

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10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线

()222

2

10,0x y a b a

b

-

=>>的焦点到一条渐近线

l 的距离为4，若渐近线l 恰好是曲线3232y x x x =-+在原点处的切线，则双曲线的标

准方程为 ▲ ． 11．给出下列四个命题：

⑴“直线a ∥直线b ”的必要不充分条件是“a 平行于b 所在的平面”；

⑵“直线l ⊥平面α”的充要条件是“l 垂直于平面α内的无数条直线”；

⑶“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件； ⑷“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l 垂直于β”． 上面命题中，所有真命题的序号为 ▲ ．

12．已知实数,x y 满足112

21

3y x y x ?

≥-????≤-+??

，则214z x y =+的最大值为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy 中，若与点()2,2A 的距离为1且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为 ▲ ．

14．若对任意的x D ∈,均有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()1f x 到函数()2f x 在区间D 上的“折中函数”．已知函数()()()11,0,f x k x g x =--= ()()1l n h x x x =

+，且()f x 是()g x 到()h x 在区间[]1,2e 上的“折中函数”，则实数k

的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A 、B 、C 的 对边分别为a 、b 、c ，且2

2

8cos 21b C a

=-

．

⑴求11tan tan A

C +的值；

⑵若8tan 15

B =，求tan A 及tan

C 的值．

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16．（本小题满分14分）

如图，直四棱柱1111ABC D A B C D -的底面A B C D 是 菱形，1120,1AD C AA AB ∠=?==,点1O 、O

上、下底面菱形的对角线的交点． ⑴求证：1A O ∥平面11C B D ； ⑵求点O 到平面11C B D 的距离．

17．（本小题满分14分）

某公司2009年9月投资14400万元购得上海世界博览会某种纪念品的专利权及生产设备，生产周期为一年．已知生产每件纪念品还需要材料等其它费用20元，为保证有一定的利润，公司决定纪念品的销售单价不低于150元，进一步的市场调研还发现：该纪念品的销售单价定在150元到250元之间较为合理（含150元及250元）．并且当销售单价定为150元时，预测年销售量为150万件；当销售单价超过150元但不超过200元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1万件；当销售单价超过200元但不超过250元时，预测每件纪念品的销售价格每增加1元，年销售量将减少1.2万件．

根据市场调研结果，设该纪念品的销售单价为x （元），年销售量为u （万件），平均每件纪念品的利润为y （元）．

⑴求年销售量为u 关于销售单价x 的函数关系式；

⑵该公司考虑到消费者的利益，决定销售单价不超过200元，问销售单价x 为多少时，平均每件纪念品的利润y 最大？

A

B

A 1

D

good

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：

()222

2

10x y a b a

b

+

=>>的右焦点为()4,0F m

（0m >，m 为常数），离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于

、

N 两点． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若90θ=?时，

119

M F

N F

+

=

，求实数m ；

⑶试问11M F

N F

+的值是否与θ

19．（本小题满分16分）

已知数列{}n a 满足121,1a a ==-，当3n ≥，*n N ∈时， ()()

13

1

2

12n n a a n n n n --

=

----．

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵是否存在*k N ∈，使得n k ≥时，不等式()2184n n S a λλ+-+≥对任意实数[]0,1λ∈恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由． ⑶在x 轴上是否存在定点A ，使得三点()5

,2n

a

n n P a +、()5

,2

m a m

m

P a

+、()5

,2

k a k

k

P a

+（其

中n 、m 、k 是互不相等的正整数且2n m k >>≥）到定点A 的距离相等？若存在，求出点A 及正整数n 、m 、k ；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知a 为实数，函数()()1x

f x ax e =+，函数()11

g x ax

=

-，

令函数()()()F x f x g x = ． ⑴若1a =，求函数()f x 的极小值； ⑵当12

a =-

时，解不等式()1F x <；

⑶当0a <时，求函数()F x 的单调区间．

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高三数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。 1．2 2．

13

3．0,

8π?

?

?

??

?

（写成开区间也对） 4．150 5．

83

6．96

7．

103

8．2- 9．{}1 10．

2

2

14

16

x

y

-

= 11．⑶⑷ 12．29

13

．(

)(222,2-?+ 14 ．{}2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。 15．解：⑴∵2

2

8cos 21b C a

=-

，∴2

2

2

4sin b C a

=

．

∵ C 为三角形内角，∴sin 0,C >∴2sin b C a

=．

∵

sin sin a b A

B

=

，∴

sin sin b B a

A

=

． ∴2sin sin sin B A C =

∵A B C π++=，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+． ∴2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=． ∵sin sin 0A C ≠ ，∴

11

1

t a n t a n 2

A

C +

=

．

⑵∵111tan tan 2A C +=，∴2tan tan tan 2

C

A C =- ． ∵A

B

C π++=, ∴2

2

tan tan tan tan tan()1tan tan 2tan tan 2

A C c

B A

C A C

C C +=-+=-

=

--+．

∴

2

2

8tan 15

2tan tan 2

c

C C =

-+ 整理得2

tan tan 160C C -+=

解得，tan 4C =，tan 4A = ．

16．

good

⑵

17．

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18．

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19．

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20．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5o54.html