Bp-pgvtd保险精算学讲义2

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① 我们‖打〈败〉了敌人。

②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。

第三章 人寿保险趸缴纯保费的厘定

第一节 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 一、 人寿保险简介 1、什么是人寿保险

（1） 狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。

（2） 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。 2、人寿保险的分类

根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：

（1） 以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。 （2） 以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。

（3） 以保单签约日和保障期是否同时进行划分，可分为：非延期保险和延期保险。 （4） 以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。 3、人寿保险的性质

（1） 保障的长期性：寿险的保障期通常比较长。这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。因而，寿险产品纯保费的厘定通常要考虑利率的影响。

（2） 保险赔付金额和赔付时间的不确定性：人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。以狭义的定期变额人寿保险为例，如果被保险人在保障期内没有死亡，到期赔付金额为零；如果被保险人在保障期内死亡，保险公司将在被保险人死亡时给付与死亡时间相关的某个数额的赔偿金。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。

（3） 被保障人群的大数性：对单个被保险人而言，他会在什么时刻死亡是不可估计的。但对大量的被保险人构成的一个大数群体而言，他们的剩余寿命分布是有统计规律的。这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。 二、 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 1、假定

传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：

假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。

假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。 2、原理

保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。

所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。 而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。 记

：保单生效到赔付的时间

：从赔付时刻回溯至保单生效时的利息贴现，称为贴现函数。

：赔付时刻赔付的金额，或者说是被保险人的受益金额，称为受益函数。

：受益赔付额回溯到保单生效时的现时值，称为现时随机变量，它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数的随机变量，简记为

，有

按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于 。

第二节 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 一、 死亡即刻赔付的含义

1、 死亡即刻陪付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。

2、 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻陪付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。 二、 主要险种死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定 1、

年定期寿险

年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又

（1）定义：保险人只对被保险人在投保后的 称为

年死亡保险。

（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期寿险

（3）基本函数关系

（4） 年定期寿险死亡即刻陪付趸缴纯保费（ ）的厘定

（5）现值随机变量的方差

记

则

2、终身寿险

（1）定义：保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。

（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的终身寿险

（3）基本函数关系

（4）终身寿险死亡即刻赔付趸缴纯保费（

）的厘定

（5）现值随机变量的方差

记

则

3、延期

年的终身寿险

年后发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种。

（1） 定义：保险人只对被保险人在投保

（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的延期 年的终身寿险

（3）基本函数关系

（4）延期 年的终身寿险死亡即刻陪付趸缴纯保费（ ）的厘定

（5）现值随机变量的方差

记

则

4、

年定期生存险

年期满时，保险人在第

年末支付保险金的险种。

（1）定义：被保险人投保后生存至

（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期生存险

（3）基本函数关系

（4） 年定期生存险趸缴纯保费（ ）的厘定

（5）现值随机变量的方差

5、

年定期两全险

年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果

年末支付保险金的保险。所以

年定期两全险实际上等价于

（1）定义：被保险人投保后如果在 被保险人生存至 年生存保险加上

年期满，保险人在第 年定期寿险的组合。

（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期两全险

（3）基本函数关系

（4） 记

年定期两全险死亡即刻赔付趸缴纯保费（

）的厘定

年定期寿险现值随机变量为 量为

，已知

， 年定期生存险现值随机变量为 ， 年定期两全险现值随机变

则有

这一等式显示了保单发行时 之间的平衡关系。 （3）现值随机变量的方差

个 岁的被保险人的净趸缴保费总和与按死亡预期流出的资金量现时值

记

则

（4）比较

显然，和死亡即刻赔付情况下趸缴纯保费的计算模型相比，这两个精算模型的构造思想、计算步骤都一样，唯一不同的就是一个连续（ 是求累加和得到（ 2、其它险种场合

显然，其它险种场合的情况和定期寿险场合一样。我们容易得到如下结果：

险种 终身寿险 延期 年终身寿险 净趸缴保费 ）。

），一个离散（

）；一个的期望是求积分得到（

），一个的期望

年两全保险 延期 年 年两全保险 递增终身寿险（一年递增一次） 递减 年定期寿险（一年递减一次） 三、 死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期均匀分布假定下） 以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：

则

同理可以验证，在如下两个条件：

（1）

（2） 则有

只依赖于剩余寿命的整数部分，即

换言之，满足如上两个条件，死亡即刻赔付即为死亡年末赔付的 第四节 递归方程 公式一：

倍。

理解：

的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于

。

在第一年死亡的情况下1单位的赔付额，或

生存满一年的情况下净趸缴保费 公式二：

理解： 个 岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次

，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的

。

年的净趸缴保费 公式三：

理解：年龄为 的被保险人在活到 一年利息减去提供一年的保险成本。

岁时的净趸缴保费与当初

岁时的净趸缴保费之差等于保费的

公式四：

理解：

的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。

第五节 计算基数 一、 什么是计算基数

定义：在保险精算学中，有些保费的计算过程往往很繁琐，为简化计算步骤，引入一些换算函数，这些换算函数是一些根据假定条件事先算好的中间量，也称为计算基数，一般的保费计算都可以表示成这些计算基数的函数形式。 二、 常用计算基数

三、 用计算基数表示常见寿险的趸缴纯保费

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