2012年江苏高考理科数学试题及答案（免费）

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

棱锥的体积V?Sh，其中S为底面积，h为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．

132，4}，B?{2，4，6}，则A?B? ▲ ． 1．（2012年江苏省5分）已知集合A?{1，【答案】?1,2,4,6?。 【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得A?B??1,2,4,6?。

2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。 【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由50?3 =15知应从高二年级抽取15名学生。

3?3?4b?R，a?bi?3．（2012年江苏省5分）设a，【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。 【

分

析

】

由

11?7i（i为虚数单位），则a?b的值为 ▲ ． 1?2ia?bi?11?7i1?2i，

所

得

a?bi?11?7i?11?7i??1?2i?11?15i?14===5?3i1?2i?1?2i??1?2i?1?4以

a=，b5，a?b=8 。

4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．【答案】5。【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：

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循环前 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 第六圈

∴最终输出结果k=5。

是否继续循环

是 是 是 是 是 否

k 0 1 2 3 4 5 输出5

k2?5k?4

0 0 －2 －2 0 4

5．（2012年江苏省5分）函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ▲ ．

6?【答案】0，?。

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

??x>0?x>0?x>0?????0

3。 5【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，?3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是

63 =。

1057．（2012年江苏省5分）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3cm，AA1?2cm，则四棱锥A?BB1D1D的体积为 ▲

cm3．

【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

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【解析】∵长方体底面ABCD是正方形，∴△ABD中BD=32 cm，BD边上的高是32cm（它也是213。∴四棱锥A?BB1D1D的体积为?32?2?A?BB1D1D中BB1D1D上的高）2=6。

32x2y2??1的离心率为5，则m的值为 8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线

mm2?4▲ ． 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。

x2y2?2?1得a=m，b=m2?4，c=m?m2?4。 【解析】由

mm?4cm?m2?4 ∴e===5，即m2?4m?4=0，解得m=2。

am9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD中，AB?2，BC?2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB?AF?2，则AE?BF的值是 ▲ ．【答案】2。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

????????????????????????????????????【解析】由AB?AF?2，得AB?AF?cos?FAB?2，由矩形的性质，得AF?cos?FAB=DF。

∵AB?2，∴2?DF?2，∴DF?1。∴CF?2?1。

???????? 记AE和BF之间的夹角为?，?AEB??,?FBC??，则?????。

又∵BC?2，点E为BC的中点，∴BE?1。

???????????????????????????????? ∴AE?BF=AE?BF?cos?=AE?BF?cos?????=AE?BF??cos?cos??sin?sin??

????????????????=AEcos??BF?cos??AEsin??BFsin?=BE?BC?AB?CF?1?2?2 本题也可建立以AB, AD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

?2?1?2。

?1]上， 10．（2012年江苏省5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1，?1≤x?0，?ax?1，?f(x)??bx?2b?R．若其中a，，0≤x≤1，??x?1?1??3?f???f??， ?2??2?则a?3b的值为 ▲ ．【答案】?10。【考点】周期函数的性质。

【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数，∴f??1??f?1?，即?a?1=b?2①。 2第 4 页 共 4 页

1?3??1? 又∵f???f???=?a?1，

2?2??2?∴a?3b=?10。

1b?4?1??3?f???f??， ∴?a?1=②。 联立①②，解得，a=2. b=?4。

23?2??2????4?11．（2012年江苏省5分）设?为锐角，若cos?????，则sin(2a?)的值为 ▲ ．

6?512?【答案】172。 50【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵?为锐角，即0

?6

6?56?53?6?6?5525???????7???????????? ∴cos?2????。 ∴sin(2a?)=sin(2a??)=sin?2a??cos?cos?2a??sin

3?2512343?43?4???=2427217???=2。 2522525012．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2?y2?8x?15?0，若直线y?kx?2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ． 【答案】

4。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离 32【解析】∵圆C的方程可化为：?x?4??y2?1，∴圆C的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线y?kx?2上至少存在一点A(x0,kx0?2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；∴存在x0?R，使得AC?1?1成立，即ACmin?2。∵ACmin即为点C到直线y?kx?2的距离4k?2k?12，

∴4k?2k2?1?2，解得0?k?44。∴k的最大值是。

33??)，b?R)的值域为[0，13（．2012年江苏省5分）已知函数f(x)?x2?ax?b(a，若关于x的不等式，f(x)?cm?6)，则实数c的值为 ▲ ． 的解集为(m，【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。

a2??)，当x?ax?b=0时有V?a?4b?0，即b?【解析】由值域为[0，，

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a2?a?a?a?∴f(x)?x?ax?b?x?ax???x??。 ∴f(x)??x???c解得?c?x??c，

4?2?2?2?2222?c?aaaam?6)，∴(c?)?(?c?)?2c?6，解得?x?c?。∵不等式f(x)?c的解集为(m，2222b的取值范围是 ac?9。

b，c满足：5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a?clnc，则14．（2012年江苏省5分）已知正数a，▲ ．

【答案】?e， 7?。 【考点】可行域。

clnb≥a?clnc可化为：【解析】条件5c?3a≤b≤4c?a，?ab?3???5?cc?ab???4。 ?cca?b??ec?c?3x?y?5?x?y?4aby? 设=x，y=，则题目转化为：已知x，求的取值范围。作出（x，y满足?，y）所在平面区xccx?y?e?x>0，y>0?域（如图）。求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P?x0，y0?的切线为y=ex?m?m?0?， 则

y0ex0?mmy==e?，要使它最小，须m=0。∴的最小值在P?x0，y0?处，为e。此时，点P?x0，y0?在y=exx0x0x0x?y=4?x?5y=20?5xyy上A,B之间。当（x???y=7x?=7， ∴的最大值在C，y）对应点C时， ?xx?y=5?3x?4y=20?12x处，为7。 ∴

yb的取值范围为?e， 7?，即的取值范围是?e， 7?。

ax二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 ．．．．．．．演算步骤．

????????????????15．（2012年江苏省14分）在?ABC中，已知AB?AC?3BA?BC．（1）求证：tanB?3tanA；

5，求A的值． 5????????????????【答案】解：（1）∵AB?AC?3BA?BC，∴AB?AC?cosA=3BA?BC?cosB，即AC?cosA=3BC?cosB。 由

（2）若cosC?

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正弦定理，得

ACBC cosB>0。，∴sinB?cosA=3sinA?cosB。 又∵00，=sinBsinA2?5?525sinBsinA，0

tanA?tanB4tanA?1cosA>0tanA=1，解得。 ∵，∴。∴。 ??2A=tanA=1 tan，A=?21?3tanA43【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】（1）先将AB?AC?3BA?BC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由cosC?????????????????5，可求tanC，由三角形三角关系，得到tan?????A?B???，从而根据两角和的正切公式和（1）5的结论即可求得A的值。

D，EAB16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，11?AC11，F为B1C1的中CC1上的点（点D 不同于点C）分别是棱BC，，且AD?DE，点．求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1；（2）直线A1F//平面ADE．

【答案】证明：（1）∵ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴CC1?平面ABC。 又∵AD?CC1，DE?平面BCC1B1，CC1?DE?E，∴AD?平面平面ABC，∴CC1?AD。 又∵AD?DE，BCC1B1。 又∵AD?平面ADE，∴平面ADE?平面BCC1B1。（2）∵A1B1?AC11，F为B1C1的中点， B1C1?平面∴A1F?B1C1。 又∵CC1?平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，∴CC1?A1F。 又∵CC1，BCC1B1，CC1?B1C1?C1，∴A1F?平面A1B1C1。 由（1）知，AD?平面BCC1B1，∴A1F∥AD。

又∵AD?平面ADE, A1F?平面ADE，∴直线A1F//平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】（1）要证平面ADE?平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD?平面BCC1B1即可。它可由已知

ABC?A1B1C1是直三棱柱和AD?DE证得。（2）要证直线A1F//平面ADE，只要证A1F∥平面ADE上的AD即可。

17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y?kx?与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

1(1?k2)x2(k?0)表示的曲线上，其中k20第 7 页 共 7 页

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高

度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，

炮弹可以击中它？请说明理由．

11(1?k2)x2(k?0)中，令y?0，得kx?(1?k2)x2=0。 由实际意义和题设条202020k2020件知x>0，k>0。 ∴x=（2）=?=10，当且仅当k=1时取等号。 ∴炮的最大射程是10千米。211?k2?kk1∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k?0，使ka?(1?k2)a2=3.2成立，

20【答案】解：（1）在y?kx? 即关于k的方程a2k2?20ak?a2?64=0有正根。 由?=??20a??4a2a2?64?0得a?6。 此时，

2??k=20a???20a?2?4a2?a2?64?2a2。 ∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 >0（不考虑另一根）

【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】（1）求炮的最大射程即求y?kx?1 (1?k2)x2(k?0)与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

20 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。

18．（2012年江苏省16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点。已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点．

（1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；（3）设h(x)?f(f(x)c?，

2]，求函数y?h(x)的零点个数． 其中c?[?2，【答案】解：（1）由f(x)?x3?ax2?bx，得f'(x)?3x2?2ax?b。 ∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点， ∴ f'(1)?3?2a?b=0，f'(?1)?3?2a?b=0，解得a=0，b=?3。（2）∵ 由（1）得，

f(x)?x3?3x ， ∴g?(x)?f(x)?2=x3?3x?2=?x?1??x?2?，解得x1=x2=1，x3=?2。 ∵当x0， ∴x=?2是g(x)的极值点。∵当?21时，g?(x)>0，t)c?。∴ x=1不是g(x)的极值点。 ∴g(x)的极值点是－2。（3）令f(x)=t，则h(x)?f( 先讨论关于x 的

方程f(x)=d 根的情况：d???2, 2?

当d=2时，由（2 ）可知，f(x)=?2的两个不同的根为I 和一2 ，注意到f(x)是奇函数，∴f(x)=2的两

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个不同的根为一和2。当d<2时，∵f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0，f(1)?d=f(?2)?d=?2?d<0 ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是f(x)=d的根。由（1）知f'(x)=3?x?1??x?1?。① 当x??2，???时，f'(x)>0 ，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)=2。此时f(x)=d在?2，② 当x??1 2???无实根。，?时．f'(x)>0，于是f(x)是单调增函数。又∵f(1)?d<0，f(2)?d>0，y=f(x)?d的图象不间断，∴f(x)=d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，f(x)=d在（一2 ，一I ）内有唯一实根。③ 当x???1 ，1?时，f'(x)<0，于是f(x)是单调减两数。又∵f(?1)?d>0， f(1)?d<0，y=f(x)?d的图象不间断，∴f(x)=d在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同的根x1，x2满足x1=1， x2=2；当d<2 时f(x)=d有三个不同的根x3，x1，x5，满足xi<2， i=3, 4, 5。现考虑函数y?h(x)的零点：( i ）当c=2时，f(t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1，t2=2。而f(x)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y?h(x)有5 个零点。( 11 ）当c<2时，f(t)=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足ti<2， i=3, 4, 5。而f(x)=ti ?i=3, 4, 5?有三个不同的根，故y?h(x)有9 个零点。综上所述，当c=2时，函数y?h(x)有5 个零点；当c<2时，函数y?h(x)有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出y?f(x)的导数，根据1和?1是函数y?f(x)的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，f(x)?x3?3x，求出g?(x)，令g?(x)=0，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分d=2和d<2讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况；再考虑函数y?h(x)的零点。

x2y219．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为

ab?3?e)和?e，?都在椭圆上，其中e为椭圆的离0)．已知(1，F1(?c，0)，F2(c，?2???心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1?BF2?线AF1的斜率；（ii）求证：PF1?PF2是定值．

【答案】解：（1）由题设知，a2=b2?c，2e=6，求直2c1e，由点(，a)在椭圆上，得

?12e21c23?2222222222??1??=1?b?c=ab?a=ab?b=1c=a?1，∴。由点?e，?在椭圆上，得

?2?a2b2a2a2b2??第 9 页 共 9 页

?3??3?????x2e2?2?c2?2?a2?13422??1?4??1?4??1?a?4a?4=0?a=2∴椭圆的方程为?y2?1。22214abaa0)，又∵AF1∥BF2， ∴设AF1、BF2的方程分别为my=x?1，my=x?1，（2）由（1）得F1(?1，0)，F2(1，22?x12m?2m2?2?y12?1?22?m?2y1?2my1?1=0?y1=。 A?x1，y1?，B?x2，y2?，y1>0，y2>0。 ∴?22m?2?my=x?111??? ∴

AF1=?x1?1???y1?0?=?my1?2?m2?1??mm2?1m2?22222?m2?1??mm2?1m?2m2?2?y=m?1??2m?2m2?2212。① 同理，

BF2=2mm2?12mm2?16=。② （i）由①②得，AF1?BF2?。解得m2=2。 ∵22m?2m?2212PBBF2=?。 （ii）证明：∵AF1∥BF2，∴，即m2PF1AF1注意到m>0，∴m=2。 ∴直线AF1的斜率为

BFPB?PF1BF2?AF1AF1PB?1?2?1??BF1。 由点B在椭圆上知，。 ∴PF1=PF1AF1PF1AF1AF1?BF2BF1?BF2?22，∴PF1=AF122?BF2AF1?BF2??。 同理。PF2=BF222?AF1AF1?BF2??。

∴

PF1+PF2=AF1BF22AF?BF222?BF2?22?AF1?22?AF1?BF2AF1?BF2AF1?BF2???? 由①②得，

A1F?22m2?=BF2m?2??，1AF?BF=m2?1m2?2， ∴PF1+PF2=22?23=2。 ∴PF1?PF2是定值。 22【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

e)和?e，【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1，???3?都在椭圆上列式求解。（2）根据已知条件??2?AF1?BF2?6，用待定系数法求解。 220．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an?1?an?bnan?bn22，n?N*，

（1）设bn?1?bn??b?求证：数列??n??1?，n?N*，

an??an??2??（2）设bn?1??是等差数列；

??2?bn，n?N*，且{an}an是等比数列，求a1和b1的值．

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【答案】解：（1）∵bn?1ba?b?1?n，∴an?1?nn=anan2?bn2?b?b。 ∴ n?1?1??n?。∴ 2an?1?an??bn?1????an?bn?1222?2?????bn?1??bn???bn???bn?b?n?? ∴数列????是以1 为公差的等差数列。（2）???????1????????1?n?N*? 。

aaaaa?n?1??n???n???n???n??????222∵an>0，bn>0，∴

?an?bn?22?an2?bn20，下面用反证法证明q=1， 若q>1,则a1=a22logqqa1时，an?1?a1qn>2，与（﹡）矛盾。 若0a2>1，∴当n>logq时，an?1?a1qn<1，qa1与（﹡）矛盾。 ∴综上所述，q=1。∴an?a1?n?N*?，∴11，于是

ana1a1a1

b1

项相同，与b1

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设an?1?22an?bnan?bn22和bn?1b?b?b?1?n，求出n?1?1??n?，从而证明an?1an?an?2?bn?1??bn?an?bn而得证。 （2）根据基本不等式得到1

bn22的等比=?bn知{bn}是公比是ana1a1

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