微积分-常微分方程解题方法

北京理工大学

微积分-常微分方程解法

常微分方程各种解题方法

程功 2011/2/16

1.几个基本定义

（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.

分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数

分类2:

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程F(x,y,y?)?0,y??f(x,y);

高阶?n?微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0,y(n)?f(x,y,y?,?,y(n?1)).

分类3: 线性与非线性微分方程.y??P(x)y?Q(x),x(y?)2?2yy??x?0;

?dy?3y?2z,??dx分类4: 单个微分方程与微分方程组.?

?dz?2y?z,??dx（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.

微分方程的解的分类：

① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.

例y??y,通解y?Cex;

y???y?0,通解y?C1sinx?C2cosx;

② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.

（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

??y??f(x,y)一阶:?过定点的积分曲线;

y?y0??x?x0??y???f(x,y,y?)二阶:?过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.

??y?y,y?y00x?x0??x?x02.可分离变量的微分方程

?dy25可分离变量微分方程的形式g(y)dy?f(x)dx例如?2xy?y5dy?2x2dx,

dx44解法：设函数g(y)和f(x)是连续的,?g(y)dy??f(x)dx设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函数,G(y)?F(x)?C为微分方程的解.

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3.齐次方程

dyy?f()的微分方程称为齐次方程. 形如dxxydydu?u?x, 解法：作变量代换u?,即y?xu,?xdxdxduduf(u)?u?f(u), 即?.（可分离变量的方程） 代入原式u?xdxdxx（1）当f(u)?u?0时,得?du?lnC1x,

f(u)?uy即x?Ce,（?(u)???u)?()duy将u?代入,得通解x?Cex, ）xf(u)?u（2）当?u0,使f(u0)?u0?0,则u?u0是新方程的解,代回原方程,

得齐次方程的解y?u0x. 4．可化为齐次的方程 定义形如dyax?by?c?f()的微分方程 dxa1x?b1y?c1当c?c1?0时,为齐次方程.否则为非齐次方程. 解法：令x?X?h,y?Y?k，（其中h和k是待定的常数）dx?dX,dy?dY

dYaX?bY?ah?bk?c?ah?bk?c?0, ?f()?dXa1X?b1Y?a1h?b1k?c1?a1h?b1k?c1?0,（1）

a1b1?X?x?h,dYaX?bY?有唯一一组解. ?f()得通解代回?a2b2dXa1X?b1Y?Y?y?k，a1b1dyax?by?c???,方程可化为?f(),令z?ax?by, abdx?(ax?by)?c1（2）

则dzdy1dzz?c?a?b，(?a)?f().可分离变量. dxdxbdx?z?c1 5.其它类型：通过变量代换化为可分离变量方程

(1)f(x?y)(dx?dy)?g(x)dx令u?x?y,du?dx?dy,方程化为f(u)du?g(x)dx (2)f(xy)(xdy?ydx)?g(x)dx令u?xy,du?xdy?ydx,代入方程得f(u)du?g(x)dx

yyxdy?ydxg(x)(3)f()(xdy?ydx)?g(x)dx令u?,则du?,f(u)du?dx 代入方程得22xxxx2

(4)f(x2?y2)(xdx?ydy)?g(x)dx令u?x2?y2, 则du?2xdx?2ydy,代入方程得

f(u)du?2g(x)dx

6.线性方程

一阶线性微分方程的标准形式:

dy?P(x)y?Q(x) dx当Q(x)?0,上方程称为齐次的.当Q(x)?0,上方程称为非齐次的. 例如

dydx?y?x2,?xsint?t2,线性的; dxdtyy??2xy?3,y??cosy?1,非线性的。

一阶线性微分方程的解法

dy（1）线性齐次方程?P(x)y?0.(使用分离变量法)

dxdydy??P(x)dx,????P(x)dx,lny???P(x)dx?lnC, yy??P(x)dxy?Ce. 齐次方程的通解为

（2）线性非齐次方程讨论?dy?P(x)y?Q(x). dx?dy?Q(x)???P(x)?dx, y?y?Q(x)Q(x)dx??P(x)dx,设?dx为v(x),?lny?v(x)??P(x)dx, yy两边积分lny??即y?ev(x)e??P(x)dx.非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:C?u(x) ?作变换y?u(x)e?P(x)dx??P(x)dx??P(x)dx??y?u(x)e?u(x)[?P(x)]e,

?P(x)dx?Q(x), 将y和y?代入原方程得u?(x)e?积分得u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C,

一阶线性非齐次微分方程的通解为:

??P(x)dx??P(x)dxP(x)dxP(x)dx??P(x)dx???Ce?e??Q(x)edx y?[?Q(x)edx?C]e对应齐次方程通解非齐次方程特解

7.伯努利方程

伯努利(Bernoulli)方程的标准形式

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1) dx3

方程为线性微分方程.当n?0,1时，方程为非线性微分方程. 当n?0,1时，解法:需经过变量代换化为线性微分方程.

dydzdy?P(x)y1?n?Q(x),令z?y1?n,则?(1?n)y?n， 两端除以yn，得y?ndxdxdxdz代入上式 ?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x),

dx求出通解后，将z?y1?n代入即得y1?n?z?e??(1?n)P(x)dx(1?n)P(x)dx?(?Q(x)(1?n)edx?C)

8.可降阶高阶微分方程 （1）y???f(x)型的微分方程 方程特点：方程右端仅含有自变量x

只需积分两次就可以得到方程的通解.

y???f(x)dx?C1y??[?f(x)dx?C1]dx?C2??[?f(x)dx?dx?C1x?C2

这种逐次积分的方法可以用于解更高阶的方程y(n)?f(x) 依次通过n次积分, 可得含n个任意常数的通解 . （2）y???f(x,y?)型的微分方程 方程特点：方程右端不显含未知函数y

设y??p(x),则y???p?,原方程化为p??f(x,p)（一阶微分方程） 设其通解为p??(x,C1)则得y???(x,C1)

再一次积分, 得原方程的通解y???(x,C1)dx?C2 （3）y???f(y,y?)型的微分方程 方程特点：右端不显含自变量x

则y???令y??p(y),即把y作为自变量，P为新的未知函数，dpdpdydp ???pdxdydxdy故方程化为pdp?f(y,p)（一阶微分方程）设其通解为p??(y,C1), 即得y???(y,C1) dydy?x?C2

?(y,C1)分离变量后积分, 得原方程的通解?9.线性方程解的结构

(n?1)?n(x)y?f(x). （1）n阶线性非齐次微分方程y(n)?P(x)y???P1n?1(x)y?P4

(n?1)?n(x)y?0 （2）相应的齐次微分方程为y(n)?P???P1(x)yn?1(x)y?P10.二阶齐次方程解的结构:

y???P(x)y??Q(x)y?0(1)

定理1.如果函数y1(x)与y2(x)是方程?1?的两个解,那末y?C1y1?C2y2

此性质称为解的线性性质 也是?1?的解.(并不是通解（)C1,C2是常数）为解决通解的判别问题。下面引入函数的线性相关与线性无关概念.

定义：设y1,y2,?,yn为定义在区间I内的n个函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当x在该区间内有恒等式成立k1y1?k2y2???knyn?0， 那么称这n个函数在区间I内线性相关．否则称线性无关。 特别的：若在I上有

y1(x)?常数，则函数y1(x)与y2(x)在I上线性无关 y2(x)定理2：如果y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解, 那么y?C1y1?C2y2就是方程(1)的通解.

例如y???y?0,y1?cosx,y2?sinx,且y2?tanx?常数,y?C1cosx?C2sinx. y1则解的实部(1)的解，

定理3.若y1(x)?iy2(x)是齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?0y1(x)和虚部y2(x)也是方程的解.

11.二阶非齐次线性方程的解的结构:

定理4.设y*是二阶非齐次线性方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)(2)的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么y?Y?y*是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.

定理5.设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函数之和,

**如y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)而y1与y2分别是方程,

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)

**的特解,那么y1就是原方程的特解. ?y2定理6.若y1(x)?iy2(x)是线性非齐次方程y???p(x)y??q(x)y?f1(x)?if2(x)的解，则解的实部y1和虚部y2分别是方程y???p(x)y??q(x)y?f1(x)和y???p(x)y??q(x)y?f2(x)的

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解，其中p,q,f1,f2,y1,y2都是实数。

12.常数变易法

设对应齐次方程通解为y?C1y1?C2y2 （3）

?(x)y2?c1(x)y1??c2(x)y2? 设非齐次方程通解为y?c1(x)y1?c2(x)y2y??c1?(x)y1?c2??(x),设为使y??中不含C1??(x),C2??(x), 为使y??中不含C1??(x),C2?(x)y2??c1(x)y1???c2(x)y2?? y???c1?(x)y1??c2将y,y?,y??代入方程(2),得

?(x)y2??c1(x)(y1???P(x)y1??Q(x)y1)?c2(x)(y2???P(x)y2??Q(x)y2)?f(x) c1?(x)y1??c2?(x)y2??f(x)(5) 即c1?(x)y1??c2?(x)y2?0y?c1?(x)y1?c2(4),(5)联立方程组??系数行列式w(x)?1?(x)y2??f(x)y1??c1?(x)y1??c2?c1?(x)??y2f(x)yf(x)?(x)?1,c2,

w(x)w(x)y2f(x)yf(x)dx,c2(x)?C2??1dx, w(x)w(x)y2f(x)yf(x)dx?y2?1dx. w(x)w(x)y2?0 ?y2积分可得c1(x)?C1???非齐次方程通解为y?C1y1?C2y2?y1?13.定义

(n?1)?ny?f(x) n阶常系数线性微分方程的标准形式y(n)?P???P1yn?1y?P二阶常系数齐次线性方程的标准形式y???py??qy?0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y???py??qy?f(x)

14.二阶常系数齐次线性方程解法y???py??qy?0(特征方程法)

设y?erx,将其代入上方程, 得(r2?pr?q)erx?0?erx?0,故有r2?pr?q?0

?p?p2?4q特征根r1,2?,

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?p?p2?4q?p?p2?4q① 有两个不相等的实根(??0)特征根为r1?,r2?,

22rxrx两个线性无关的特解y1?e1,y2?e2,得齐次方程的通解为y?C1e1?C2e2;

rxrx② 有两个相等的实根(??0)特征根为r1?r2??p, 2?，y2??代入原方程并化简，一特解为y1?er1x,设另一特解为y2?u(x)er1x,将y2，y2

u???(2r1?p)u??(r12?pr1?q)u?0,知u???0,取u(x)?x,则y2?xer1x,

得齐次方程的通解为y?(C1?C2x)er1x;

③ 有一对共轭复根(??0)特征根为r1???j?,r2???j?,

y1?e(??j?)x,y2?e(??j?)x,

下面讨论实数形式的解：(欧拉(Euler)公式eix?cosx?isinx) 重新组合y1?11(y1?y2)?e?xcos?x,y2?(y1?y2)?e?xsin?x, 22j得齐次方程的通解为y?e?x(C1cos?x?C2sin?x). 综上所述：

特征根的情况 实根r1?r2 实根r1?r2 复根r1,2???i? 15.n阶常系数齐次线性方程解法

(n?1)n?1?ny?0特征方程为rn?Pry(n)?P???P???P1yn?1y?P1n?1r?Pn?0

通解的表达式 y?C1er1x?C2er2x y?(C1?C2x)er2x y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) 特征方程的根 若是k重根r 通解中的对应项 (C0?C1x???Ck?1xk?1)erx 若是k重共轭复根??j? [(C0?C1x???Ck?1xk?1)cos?x?(D0?D1x???Dk?1xk?1)sin?x]e?x 16.待定系数法 7

（1）首先求相应齐次方程的特征根，确定Q(x)的形式。 （2）设非齐方程特解为y?Q(x)e?x代入原方程

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)根据多项式恒等，确定待定系数。

特别地y???py??qy?Ae?xA??xe??2?p??q,?不是特征方程的根?A?y??xe?x?是特征方程的单根?2??p?A2?xxe?是特征方程的重根?2?,

17.线性常系数非齐次方程 (1)f(x)?e?xPm(x)型

y???py??qy?f(x)二阶常系数非齐次线性方程

对应齐次方程y???py??qy?0,通解结构y?Y?y,

?x?x?x常见类型Pm(x),Pcos?x,Psin?x, m(x)em(x)e,Pm(x)e解法：设非齐方程特解为y?Q(x)e?x代入原方程

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)

①若?不是特征方程的根，?2?p??q?0,可设Q(x)?Qm(x),y?Qm(x)e?x; ②若?是特征方程的单根，?2?p??q?0,2??p?0,

可设Q(x)?xQm(x),y?xQm(x)e?x;

③若?是特征方程的重根，?2?p??q?0,2??p?0,

可设Q(x)?x2Qm(x),y?x2Qm(x)e?x.

?0?不是根?综上讨论设y?xke?xQm(x)k??1?是单根,?2?是重根?

上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. （2）f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

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ei?x?e?i?xei?x?e?i?x?Pn] 方法一：f(x)?e[Plcos?x?Pnsin?x]利用欧拉公式e[Pl22i?x?xPlPn(??i?)xPlPn(??i?)x?(?)e?(?)e?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x,

22i22i设y???py??qy?P(x)e(??i?)x,y1?xkQme(??i?)x,

k(??i?)x, y???py??qy?P(x)e(??i?)x,y2?xQme(1)(2)?y?xke?x[Qmei?x?Qme?i?x]?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],

?0??i?不是根其中R(x),R(x)是m次多项式，m?max?l,n?k??,

1??i?是单根?(1)m(2)m注意：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.

方法二：f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]?ePl(x)cos?x?ePn(x)sin?x

?x?x?x?Re[Pl(x)e??i?x]?Im[Pn(x)e??i?x]?????????????f1(x)???????????????????f2(x)

**y???py??qy?f1(x),y???py??qy?f2(x) 分别求下面两个方程的特解y1,y2：** 则y*?Re(y1)?Im(y2)为原方程的特解。（3）n阶线性常系数非齐次方程

二阶方程的待定系数法可以推广用来求解n阶方程，只需根据?与特征根的重数关系把特解形式作相应的修改。 （4）欧拉方程

形如xny(n)?p1xn?1y(n?1)???pn?1xy??pny?f(x)的方程(其中p1,p2?pn为常数)叫欧拉方程

特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程 作变量变换x?et或t?lnx,

1?d2ydy?dydydt1dyd2y?2?2??, ??,将自变量换为tdt?x?dtdxdtdxxdtdx2d3y1?d3yd2ydy???3?2??,??

dt?dx3x3?dt3dt2用D表示对自变量t求导的运算

d, dt9

d2ydy?(D2?D)y?D(D?1)y 上述结果可以写为xy??Dy,xy???2?dtdt2d3yd2ydyxy????3?32?2?(D3?3D2?2D)y?D(D?1)(D?2)y??

dtdtdt3一般地，xky(k)?D(D?1)?(D?k?1)y.将上式代入欧拉方程，则化为以t为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后，把t换为lnx，即得到原方程的解.

18.常系数线性微分方程组

（1）微分方程组：由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组．

注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数． （2）常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组．

（3）常系数线性微分方程组的解法 步骤:

①从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程．

②解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.

③把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数．

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d2ydy?(D2?D)y?D(D?1)y 上述结果可以写为xy??Dy,xy???2?dtdt2d3yd2ydyxy????3?32?2?(D3?3D2?2D)y?D(D?1)(D?2)y??

dtdtdt3一般地，xky(k)?D(D?1)?(D?k?1)y.将上式代入欧拉方程，则化为以t为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后，把t换为lnx，即得到原方程的解.

18.常系数线性微分方程组

（1）微分方程组：由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组．

注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数． （2）常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组．

（3）常系数线性微分方程组的解法 步骤:

①从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程．

②解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.

③把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5nt3.html